張 斌

(陜西省渭南市韓城市西莊中學(xué) 715403)

一、基本不等式的三種應(yīng)用

基本不等式的常見(jiàn)變形式如下：

提示(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值.當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值.正所謂“積定和最小，和定積最大”.

(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”.

(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問(wèn)題方面有廣泛的應(yīng)用.

應(yīng)用一：求最值

應(yīng)用二：基本不等式與恒成立問(wèn)題

A. (-∞,5] B. (-∞,4]

C. (-∞,2] D. (-∞,1]

應(yīng)用三：均值定理在比較大小中的應(yīng)用

∴R>Q>P.

二、應(yīng)用基本不等式的八種變形技巧

基本不等式的一個(gè)主要功能就是求兩個(gè)正變量和與積的最值，即所謂“和定積最大，積定和最小”.但有的題目需要利用基本不等式的變形式求最值，有的需要對(duì)待求式作適當(dāng)變形后才可求最值.常見(jiàn)的變形技巧有以下幾種：

1.加上一個(gè)數(shù)或減去一個(gè)數(shù)使和或積為定值

2.平方后再使用基本不等式

一般地，含有根式的最值問(wèn)題，首先考慮平方后求最值.

點(diǎn)撥由于已知條件式中有關(guān)x，y的式子均為平方式，而所求式中x是一次的，且根號(hào)下y是二次的，因此考慮平方后求其最值.

3.展開(kāi)后求最值

對(duì)于求多項(xiàng)式積的形式的最值，可以考慮展開(kāi)后求其最值.

例6 若實(shí)數(shù)a，b滿足ab-4a-b+1=0(a>1)，則(a+1)(b+2)的最小值為_(kāi)___.

4.變形后使用基本不等式

A.5 B.6 C.7 D.8

6.用“1”的代換法求最值

A.3 B.4 C.5 D.6

7.代換減元求最值

點(diǎn)評(píng)在含有兩個(gè)以上變?cè)淖钪祮?wèn)題中，通過(guò)代換的方法減少變?cè)褑?wèn)題化為兩個(gè)變?cè)膯?wèn)題使用基本不等式，或者把問(wèn)題化為一個(gè)變?cè)膯?wèn)題使用函數(shù)方法求解.

8.建立求解目標(biāo)不等式求最值

例11 已知x，y均為正實(shí)數(shù)，且xy=x+y+3，則xy的最小值為_(kāi)___.

利用基本不等式與已知條件建立求解目標(biāo)的不等式，求出不等式的解集即得求解目標(biāo)的最值.

三、基本不等式的應(yīng)用

歐拉是一位家喻戶曉的數(shù)學(xué)家，有驚人的數(shù)學(xué)才能和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，以他名字命名的有歐拉定理、歐拉公式、歐拉線等.當(dāng)然也有許多美麗的傳說(shuō)，小時(shí)候幫父親解決了一個(gè)棘手的問(wèn)題：

例12因羊繁殖增多，他父親計(jì)劃建一個(gè)長(zhǎng)40米，寬15米共600平方米的長(zhǎng)方形羊圈.可動(dòng)工時(shí)才發(fā)現(xiàn)原有的材料只夠圍100米的籬笆，該如何辦？正在為難時(shí)，小歐拉給了一個(gè)建議，把羊圈建成一個(gè)邊長(zhǎng)為25米的正方形.父親照著小歐拉設(shè)計(jì)扎了一個(gè)正方形的羊圈，100米長(zhǎng)的籬笆真的夠了，面積還比原來(lái)的稍大一些.這是為什么？如何解釋歐拉的設(shè)計(jì)？

事實(shí)上，歐拉總結(jié)出一條規(guī)律：在等周長(zhǎng)的矩形中，正方形的面積最大.

例13港珠澳大橋通車后，經(jīng)常往來(lái)于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行.由于燃油的價(jià)格有升也有降，現(xiàn)劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每次均加30升的燃油；第二種方案，每次加200元的燃油，則下列說(shuō)法正確的是( ).

A.采用第一種方案劃算 B.采用第二種方案劃算

C.兩種方案一樣 D.無(wú)法確定

所以無(wú)論油價(jià)如何變化，第二種都更劃算.故選B.

陶行知老先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“生活主義包含萬(wàn)狀，凡人生一切所需皆屬之.”生活就是教育的本源，生活中所產(chǎn)生的實(shí)際問(wèn)題，便是教育的沃土.教育的出發(fā)點(diǎn)正是為了解決生活中的一切問(wèn)題而產(chǎn)生的.在解決問(wèn)題中理解和學(xué)習(xí)知識(shí)，才是真正的“知行合一”.