張 慧

數(shù)學(xué)教育“既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用”。好的教學(xué)，與其說(shuō)是找到了好的教學(xué)方法，不如說(shuō)是精心準(zhǔn)備了合適的學(xué)習(xí)材料。鮑建生教授在指出：培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，關(guān)鍵是學(xué)習(xí)材料的設(shè)計(jì)。本文以《20 以內(nèi)進(jìn)位加法》教學(xué)為例，談?wù)勊惴ǘ鄻踊鸵源鷶?shù)思維啟發(fā)為手段，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的教學(xué)路徑。

一、探索多樣的算法，培養(yǎng)思維能力

算法多樣是在運(yùn)算教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力的重要路徑之一。新思維數(shù)學(xué)積極倡導(dǎo)在學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算程序的同時(shí)把訓(xùn)練重點(diǎn)從習(xí)得運(yùn)算技能轉(zhuǎn)向思考性訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，給學(xué)生提供創(chuàng)新機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生積累創(chuàng)新經(jīng)驗(yàn)。鼓勵(lì)學(xué)生探索多樣化的算法應(yīng)當(dāng)作為運(yùn)算教學(xué)始終如一的教學(xué)目標(biāo)，關(guān)鍵在于問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)以及教學(xué)反饋的組織?！?0 以內(nèi)的進(jìn)位加法》是新思維數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)新授課的最后一個(gè)單元。此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)掌握10 以內(nèi)的加減法、10 加幾和十幾減幾，而這一內(nèi)容也是以后學(xué)生學(xué)習(xí)多位數(shù)進(jìn)位加法的重要基礎(chǔ)，在加法學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用。如何在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展思維呢？筆者對(duì)《20 以內(nèi)的進(jìn)位加法》做了如下設(shè)計(jì)——

師：同學(xué)們玩過(guò)飛鏢嗎？你們喜歡玩嗎？不僅你們喜歡，森林里的小動(dòng)物們也非常喜歡玩呢！森林運(yùn)動(dòng)會(huì)的射擊比賽就要開(kāi)始了，狐貍裁判再一次邀請(qǐng)我們?nèi)ビ^看射擊比賽，大家愿意去看看嗎？

課件演示：射擊比賽場(chǎng)景；小動(dòng)物爭(zhēng)第一的場(chǎng)景；射擊成績(jī)表。

師：究竟誰(shuí)是第一名呢？（學(xué)生猜測(cè)）到底誰(shuí)是第一名，我們有什么辦法可以確切地知道？

?

生：通過(guò)計(jì)算可以知道。

師：我們先算誰(shuí)呢？先算小豬好嗎？怎么列式？

生：8+5。

（學(xué)生獨(dú)立計(jì)算）

方法1：10＋5＝15，9＋5＝14，8＋5＝13。

方法2：8 ＋2 ＝10，2+3 ＝5，8 ＋2+3=13。

方法3：5＋5＝10，5＋6＝11，5＋7＝12，5＋8＝13。

方法4：8＝10－2，8＋5＝10＋5－2＝13。

方法5：5 ＋5 ＝10，5 ＋3 ＝8，8 ＋5＝5＋5＋3＝13。

（學(xué)生匯報(bào)交流）

師：小組討論，哪些方法你能看懂？哪些方法你有不懂的要提出來(lái)。選擇能解釋的方法來(lái)說(shuō)一說(shuō)。

生：方法1 一個(gè)一個(gè)地推。10加5 等于15，那么9 加5 少了1，是14，8 加5 就再少1，是13。

生：方法3 兩個(gè)5 相加是10，5 加6 多1 個(gè)是11，5 加7 多2個(gè)是12，5 加8 多3 個(gè)是13。

生：方法5 把8 里面分出5，兩個(gè)5 相加是10，10 再加上3 就是13。

師：你們都解釋得很好。有沒(méi)有不懂的問(wèn)題？

生：方法4 為什么要減2 呢？

師：算加法怎么會(huì)跑出減法來(lái)呢？

生：把8 看成10，就多了2。10+5 是15，再把多加的2 減去，就是13。

師：真能干，不僅自己會(huì)算，還能解釋別人的算法。再來(lái)一個(gè)更有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，哪些方法有共同點(diǎn)？

生：方法1、2、3 都是根據(jù)我已經(jīng)會(huì)算的算式，然后根據(jù)之前學(xué)過(guò)的規(guī)律，其中一個(gè)加數(shù)不變另一個(gè)加數(shù)增加或者減少，和也相應(yīng)增加或者減少。

師：這是一個(gè)算式推導(dǎo)出來(lái)的。能利用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)解決問(wèn)題，這是一個(gè)好方法。

生：方法4、5 都先湊出一個(gè)10，然后再用我們之前學(xué)過(guò)的10加幾和十幾加減幾來(lái)計(jì)算。

師：你們給這種方法起個(gè)名字吧。我們叫“湊十法”。

師：湊十法的兩種方法有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生：相同點(diǎn)是都要找到10。

生：不同點(diǎn)是第一種湊十法是找8 和幾湊十，第二種湊十法是找5 和幾湊十。

師：方法2 是看大數(shù)拆小數(shù)；方法5 看小數(shù)拆大數(shù)。

師：我們?cè)谟?jì)算的時(shí)候可以拆大數(shù)也可以拆小數(shù)。

師：今天我們學(xué)習(xí)了“湊十法”，誰(shuí)能根據(jù)雞蛋的情境圖說(shuō)得更具體一點(diǎn)？

生：從5 個(gè)雞蛋里取2 個(gè)，放在8 個(gè)雞蛋的蛋架里，8 和2 湊成10，10 再加剩下的3 等于13。

生：我們是這樣想的，從8 個(gè)雞蛋里取5 個(gè)，放在5 個(gè)雞蛋的蛋架里，5 和5 湊成10，10 再加剩下的3 等于13。

對(duì)于大多數(shù)一年級(jí)上學(xué)期的學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們?cè)诮處熣浇虒W(xué)20 以內(nèi)進(jìn)位加法之前，都已經(jīng)能正確地算出答案。本課教學(xué)的目標(biāo)不能局限于算出結(jié)果，或是追求算得又對(duì)又快，更為重要的是通過(guò)算法多樣來(lái)發(fā)展學(xué)生的思維能力。算法多樣并不是對(duì)一個(gè)學(xué)生的要求，而是對(duì)全班學(xué)生集體思考的要求。教學(xué)只要留給學(xué)生足夠的時(shí)間去思考，學(xué)生就會(huì)想出很多的計(jì)算方法。進(jìn)一步，組織學(xué)生理解這些不同的方法，獲得廣泛的解決問(wèn)題的思路，積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，這既是算法多樣的教學(xué)目標(biāo)要求，也是通過(guò)算法多樣發(fā)展學(xué)生思維能力的路徑之一。

那么，學(xué)生何以產(chǎn)生如此豐富的思考呢？

一是前期教學(xué)打下的基礎(chǔ)。主要基于兩個(gè)方面：其一，在學(xué)習(xí)10 以內(nèi)的加減法時(shí)，掌握了對(duì)一個(gè)數(shù)進(jìn)行靈活拆分的方法。其二，在認(rèn)識(shí)十幾的數(shù)時(shí)經(jīng)歷了豐富的圈十?dāng)?shù)數(shù)的活動(dòng)。在這樣的活動(dòng)中，不僅有利于學(xué)生概括十幾的數(shù)的組成，同時(shí)也積累了十加幾就是十幾的思維經(jīng)驗(yàn)。

二是得益于本課的問(wèn)題情境。教材提供的放雞蛋的蛋架，是有結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的，學(xué)生根據(jù)已經(jīng)放的雞蛋和留存的空位，容易產(chǎn)生湊十的思路。這也就是說(shuō)，好的計(jì)算情境，不僅能從情境中引出要計(jì)算的題目，還要能對(duì)算法的探索提供智力支持。

二、萌發(fā)代數(shù)思維，培養(yǎng)思維能力

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解及能力發(fā)展不是一蹴而就的，是有一個(gè)逐步提高的過(guò)程。新思維小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系，致力于使學(xué)生在學(xué)習(xí)重要知識(shí)與形成能力時(shí)，像“滾雪球”那樣滾動(dòng)發(fā)展，經(jīng)歷由淺入深、由小到大、逐步積累的過(guò)程。

眾所周知，算術(shù)和代數(shù)知識(shí)是兩個(gè)不同階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容，通常是先學(xué)習(xí)算術(shù)，到了高年級(jí)才開(kāi)始學(xué)習(xí)代數(shù)，導(dǎo)致了算術(shù)和代數(shù)學(xué)習(xí)的脫節(jié)，這可能是影響學(xué)生從算術(shù)思維轉(zhuǎn)向代數(shù)思維困難的重要原因。新思維小學(xué)數(shù)學(xué)從一年級(jí)開(kāi)始就把算式計(jì)算與代數(shù)運(yùn)算有機(jī)整合，促進(jìn)代數(shù)思維的早期萌發(fā)。

在20 以內(nèi)進(jìn)位加法的練習(xí)課中，筆者設(shè)計(jì)的練習(xí)是8+7=10+（ ）。對(duì)于初次接觸這個(gè)問(wèn)題的一年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)頗具挑戰(zhàn)的數(shù)學(xué)任務(wù)，學(xué)生需要重構(gòu)對(duì)等號(hào)的理解：即把等號(hào)從原來(lái)所理解的“得到答案”調(diào)整為“左右兩邊平衡”。事實(shí)上，對(duì)等號(hào)的兩種不同理解，在一定程度上代表了算術(shù)思維與代數(shù)思維的差異。

一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生習(xí)慣于看到一個(gè)算式，馬上算出一個(gè)答案，如果這個(gè)問(wèn)題設(shè)計(jì)成8+7=（）+10，那么在括號(hào)內(nèi)填15 的學(xué)生將會(huì)很多?？紤]到代數(shù)思維早期萌發(fā)是一個(gè)有挑戰(zhàn)性的研究課題，學(xué)生習(xí)慣于根據(jù)既定的程序進(jìn)行計(jì)算，而不善用“平衡”來(lái)思考上述問(wèn)題，我們給出了如8+7=10+（）這樣的形式。

師：你在括號(hào)里填了幾？請(qǐng)你仔細(xì)地想一想，并說(shuō)明理由。

生：我填了5。

師：你是怎么想的？能與大家分享嗎？

生：我是這樣想的：先算左面的和是15，再想10 加幾是15，10+5=15。

生：先算左面的和是15，再算15-10=5，所以括號(hào)里填5。

師：先算出左邊的得數(shù)，再用它減10。哪些同學(xué)也是這樣想的？

師：還有不一樣的想法嗎？

生：我是這樣想的，可以把8看成10，這里多加了2，另一個(gè)加數(shù)就要減2，所以括號(hào)里填5。

師：這位同學(xué)的想法可行嗎？為什么括號(hào)里的數(shù)比7 少2 呢？

生：因?yàn)榘? 看成10，多看了2，所以另外一個(gè)加數(shù)7 要減去2，保持平衡。［使用天平進(jìn)行直觀演示：先在天平兩邊都放上兩袋（8+7）個(gè)小球，然后在天平右邊一個(gè)口袋里再放入2 個(gè)小球］

師：想要天平平衡，右邊另一個(gè)小袋里應(yīng)該——

生：拿出2 個(gè)小球。

師：還有別的想法嗎？

生：可以想把7 變成10，這樣等于多加了3；另一個(gè)加數(shù)8就要減3，所以括號(hào)里填5。

學(xué)生解決這個(gè)問(wèn)題的意義，主要不在計(jì)算上，而在于對(duì)等號(hào)的理解上。對(duì)等號(hào)的理解是從算術(shù)思維走向代數(shù)思維的關(guān)鍵步驟。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，學(xué)生第一次接觸等號(hào)是在數(shù)的大小比較中，得到兩個(gè)數(shù)的大小比較關(guān)系。之后一直在運(yùn)算中使用等號(hào)，如：1＋2＝3，因此學(xué)生很自然地將等號(hào)與得出結(jié)果聯(lián)系在一起，把等號(hào)看作一種運(yùn)算符號(hào)。而在代數(shù)思維中，等號(hào)的意義需要從“得出”拓展為“等價(jià)關(guān)系”。對(duì)于等價(jià)關(guān)系的理解，亦不僅局限在兩邊結(jié)果相等上，更應(yīng)該關(guān)注到等式中的“結(jié)構(gòu)”關(guān)系，即8→10 增加了2，如果要保證等式平衡，那么7就應(yīng)該相應(yīng)地減少2，得到5。從通過(guò)計(jì)算結(jié)果來(lái)判斷到通過(guò)分析關(guān)系來(lái)判斷，學(xué)生的代數(shù)思維又進(jìn)了一大步。

在教學(xué)中，我們需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)既能聯(lián)系基礎(chǔ)又能拓展思維空間的開(kāi)放教學(xué)情境，把加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)與培養(yǎng)思維有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，落實(shí)到具體的課堂行動(dòng)中。