崔永琴，徐洪焱

(1.景德鎮(zhèn)陶瓷大學(xué)信息工程學(xué)院，江西 景德鎮(zhèn) 333403；2.上饒師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 上饒 334001)

1 引言與主要結(jié)果

考慮Dirichlet級(jí)數(shù)

(1.1)

其中{an}?C，0<λn↑+∞，σ和t是實(shí)變量。當(dāng)級(jí)數(shù)(1.1)滿足

(1.2)

則根據(jù)文[1，2]中Valion公式可得，級(jí)數(shù)(1.1)的收斂橫坐標(biāo)是-∞，那么f(s)在全平面上解析，即為整函數(shù)。記D為級(jí)數(shù)(1.1)滿足條件(1.2)的整函數(shù)f(s)的全體集合。

定義1.1[2]若f(s)∈D，f(s)的q-級(jí)與下q-級(jí)的定義為

注log[0]x=x，log[q]x=log(log[q-1]x)，q∈+。

定義1.2[2]如果ρ=χ，那么稱Dirichlet級(jí)數(shù)(1.1)具有ρ[q]-正規(guī)增長;如果τ=T，則稱級(jí)數(shù)(1.1)具有完全ρ[q]-正規(guī)增長。

Dirichlet級(jí)數(shù)表示的整函數(shù)的增長性一直是復(fù)分析領(lǐng)域研究經(jīng)典且有趣的問題，過去的幾十年里，國內(nèi)外許多學(xué)者，如:Hardy，F(xiàn)ilevych，余家榮、孫道椿、高宗升等對(duì)Dirichlet級(jí)數(shù)的增長性做了大量重要且有意義的工作，得到了許多具有經(jīng)典與綱領(lǐng)性結(jié)果(見[1-6])。這里僅列出全平面收斂的Dirichlet級(jí)數(shù)的涉及(下)q-級(jí)和(下)q-型的幾個(gè)經(jīng)典結(jié)果(見[7-9])。

定理A設(shè)f(s)∈D，則

(1.3)

(1.4)

其中q=2，3，…。

定理B設(shè)f(s)∈D，則

(1.5)

其中q=2，3，…，上式中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)

(1.6)

為關(guān)于n的非減函數(shù)。

定理C設(shè)f(s)∈D，則

(1.7)

其中q=2，3，…，上式中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)(1.6)為關(guān)于n的非減函數(shù)，且log[q-2]λn-1～log[q-2]λn，(n→∞)。

2009年與2014年，孔蔭瑩等通過引入Dirichlet-Hadamard乘積定義，在兩種不同的系數(shù)條件下，討論了Dirichlet-Hadamard乘積級(jí)數(shù)的增長性，得到了其(下)q-級(jí)與(下)q-型的上界和下界的估計(jì)定理(見[10-11])。2018年，李云霞與孔蔭瑩文[12]定義了隨機(jī)Dirichlet-Hadamard乘積級(jí)數(shù)，同時(shí)討論了該乘積級(jí)數(shù)的增長性，得到了乘積級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)之間增長性的聯(lián)系，拓展了Dirichlet-Hadamard乘積的研究。2019年，應(yīng)銳與徐洪焱文[13]中在不同的系數(shù)限制下進(jìn)一步討論了隨機(jī)Dirichlet-Hadamard乘積的增長性。

本文通過引入隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的廣義Dirichlet-Hadamard乘積，進(jìn)一步討論乘積級(jí)數(shù)的增長性，并得到乘積級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)之間的(下)q-級(jí)和(下)q-型的關(guān)系定理。為敘述本文結(jié)果，先給出如下隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的廣義Hadamard乘積定義。

(1.8)

cn(ω)=[an1Xn(ω)]μ[an2Xn(ω)]υ，λn=αλn1+βλn2

(1.9)

其中anj，λnj(j=1，2)滿足條件(1.2);{Xn(ω)}是概率空間(Ω，Α，P)中的獨(dú)立復(fù)隨機(jī)變量列，μ和υ是正實(shí)數(shù)。

引理1.1[2](ⅰ) 若{Xn(ω)}滿足:?c>0，

(1.10)

那么對(duì)ω∈Ω，?N1(ω)，當(dāng)n>N1(ω)時(shí)，

(1.11)

(ⅱ) 若{Xn(ω)}滿足:?d>0，

(1.12)

那么對(duì)ω∈Ω，?N2(ω)，當(dāng)n>N2(ω)時(shí)，

(1.13)

(ⅲ) 若{Xn(ω)}滿足(1.10)和(1.12)，那么對(duì)ω∈Ω，?N(ω)，當(dāng)n>N(ω)時(shí)，

n-k0≤|Xn(ω)|≤nk0

(1.14)

若隨機(jī)Dirichlet-Hadamard乘積(1.8)滿足(1.2)式，且{Xn(ω)}滿足(1.10)式，由定義(1.3)及引理1.1中(1.11)式得

于是

因此σc(ω)=σc=-∞，即隨機(jī)Dirichlet-Hadamard乘積(1.8)于全平面收斂。

在系數(shù)條件

λn1～λn2，(n→+∞)

(1.15)

限制下，隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的廣義Hadamard乘積級(jí)數(shù)的增長性，我們有

(1.16)

(1.17)

(ⅰ) 若f1(s，ω)，f2(s，ω)是ρ[q]-正規(guī)增長的整函數(shù)，那么G(s，ω)也是ρ[q]-正規(guī)增長，且它的q-級(jí)滿足

(1.18)

(ⅱ) 若ρ1，ρ2∈(0，+∞)，則G(s，ω)的q-型滿足

log[q-2]λn1～log[q-2]λn-11(n→∞)，log[q-2]λn2～log[q-2]λn-12(n→∞)

(1.19)

以及(2.1)是兩個(gè)關(guān)于n的非減函數(shù)且滿足(2.2)，f1(s，ω)，f2(s，ω)是完全ρ[q]-正規(guī)增長的整函數(shù)，那么G(s，ω)也是完全ρ[q]-正規(guī)增長，且它的q-型和下q-型分別滿足

(1.20)

(1.21)

在系數(shù)條件

γn=ηξn

(1.22)

限制下，隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的廣義Hadamard乘積級(jí)數(shù)的增長性，我們得到

(1.23)

(1.24)

(ⅰ) 若f1(s，ω)，f2(s，ω)是ρ[q]-正規(guī)增長的整函數(shù)，那么G(s，ω)也是ρ[q]-正規(guī)增長，且它的q-級(jí)滿足

(1.25)

(ⅱ) 若ρ1，ρ2∈(0，+∞)，則G(s，ω)的q-型滿足

(1.26)

2 定理1.1～1.4的證明

為證明定理1.1～1.4，先給出Dirichlet級(jí)數(shù)的廣義Hadamard乘積的定義(見[14])。

cn=an1μan2υ，λn=αλn1+βλn2

其中μ和υ是正實(shí)數(shù);{an1}，{an2}?，0<λn1，λn2↑∞。

引理2.1[14]假設(shè)

(2.1)

為2個(gè)關(guān)于n的非減函數(shù)且滿足

λn+12-λn2|=kλn+11-λn1|，(k>0)

(2.2)

(ⅰ) 廣義Dirichlet-Hadamard乘積F(s)的q-級(jí)和下q-級(jí)滿足

(2.3)

(ⅱ) 若f1(s)，f2(s)是ρ[q]-正規(guī)增長的整函數(shù)，那么F(s)也是ρ[q]-正規(guī)增長，且它的q-級(jí)滿足

(2.4)

(ⅲ) 若ρ1，ρ2∈(0，+∞)，則F(s)的q-型滿足

(2.5)

(ⅳ) 若f1(s)，f2(s)是完全ρ[q]-正規(guī)增長的整函數(shù)，且滿足(1.19)，那么F(s)也是完全ρ[q]-正規(guī)增長，且它的下q-型滿足

(2.6)

(2.7)

定理1.1的證明先證ρ1(ω)=ρ1，ρ2(ω)=ρ2。由引理1.1中(1.14)知

|anj|n-k0≤|anjXn(ω)|≤anj|nk0，j=1，2

從而

于是

因此，ρj(ω)=ρj，j=1，2.

由定理A知?ε>0，?N1，N2>0，當(dāng)n>N=max{N1，N2}時(shí)，有

根據(jù)cn(ω)的定義可得

從而

(2.8)

又由λn1～λn2(n→∞)，則

log[q-1]λn1～log[q-1]λn2～log[q-1]λn(n→∞)，q=2，3，…

結(jié)合ε的任意性，可得

這樣，定理1.1證畢。

定理1.2的證明類似定理1.1的證明易得χ1(ω)=χ1，χ2(ω)=χ2。又根據(jù)定理B，?ε>0，?N1，N2>0，當(dāng)n>N=max{N1，N2}時(shí)，有

根據(jù)cn(ω)的定義有

從而

(2.9)

由λn1～λn2(n→∞)，則

log[q-1]λn-11～log[q-1]λn-12～log[q-1]λn-1(n→∞)，q=2，3，…

結(jié)合ε的任意性得

因此，定理1.2得證.

定理1.3的證明(ⅰ) 結(jié)合定理1.1與1.2可得

根據(jù)f1(s，ω)，f2(s，ω)是ρ[q]-正規(guī)增長的整函數(shù)，則ρ1=χ1，ρ2=χ2。因此ρ(ω)=χ(ω)，即G(s，ω)是ρ[q]-正規(guī)增長，且滿足

(ⅱ) 先證Tj(ω)=Tj，j=1，2。由引理1.1知

由引理2.2中(2.5)知

根據(jù)cn(ω)的定義和引理1.1中(1.14)知

定理1.4的證明(1) 結(jié)合引理2.2中(2.6)與引理1.1，類似于定理1.3易證之。

(2) 類似于定理1.3的證明τj(ω)=τj，j=1，2。由引理2.2中(2.7)知

根據(jù)cn(ω)的定義和引理1.1中(1.14)知

3 定理1.5～1.8的證明

為證明定理1.5～1.8，需以下引理.。

γn=ηξn

以及(2.1)是兩個(gè)關(guān)于n的非減函數(shù)且滿足(2.2)，則

(ⅰ) 廣義Dirichlet-Hadamard乘積F(s)的q-級(jí)和下q-級(jí)滿足

(3.1)

(ⅱ) 若f1(s)，f2(s)是ρ[q]-正規(guī)增長的整函數(shù)，那么F(s)也是ρ[q]-正規(guī)增長，且它的q-級(jí)滿足

(3.2)

(ⅲ) 若ρ1，ρ2∈(0，+∞)，則F(s)的q-型滿足

(3.3)

(ⅳ) 若f1(s)，f2(s)是完全ρ[q]-正規(guī)增長的整函數(shù)，且滿足(1.19)，那么F(s)也是完全ρ[q]-正規(guī)增長，且它的下q-型滿足

(3.4)

(3.5)

定理1.5的證明由定理1.1知ρ1(ω)=ρ1，ρ2(ω)=ρ2，且?ε>0，?N1，N2>0，當(dāng)n>N=max{N1，N2}時(shí)，(2.8)式成立。

由λn1=ηλn2，則λn=(αη+β)λn2與

log[q-1]λn1～log[q-1]λn2～log[q-1]λn(n→∞)，q=2，3，…

結(jié)合ε的任意性，可得

這樣，定理1.5即證.

定理1.6的證明由定理1.2可得χ1(ω)=χ1，χ2(ω)=χ2，且?ε>0，?N1，N2>0，當(dāng)n>N=max{N1，N2}時(shí)，(2.9)式成立。

由λn1=ηλn2，則λn=(αη+β)λn2以及

log[q-1]λn-11～log[q-1]λn-12～log[q-1]λn-1(n→∞)，(n→∞)，q=2，3，…

結(jié)合ε的任意性易得

定理1.7的證明(ⅰ) 結(jié)合定理1.5和1.6可得

由于f1(s，ω)，f2(s，ω)是ρ[q]-正規(guī)增長的整函數(shù)則ρ1=χ1，ρ2=χ2。因此ρ(ω)=χ(ω)，即G(s，ω)是ρ[q]-正規(guī)增長，且

(ⅱ) 由(3.3)知

再結(jié)合定理1.3中Tj(ω)=Tj(j=1，2)，T(ω)=T易得定理1.7成立.

定理1.8的證明(1) 由引理3.1與引理1.1，類似于定理1.4易證。

(2) 由引理3.1知

類似于定理1.4可得τj(ω)=τj(j=1，2)，τ(ω)=τ，則G(s，ω)的下q-型滿足(1.18)。這樣，定理1.8證畢。