岳斌

摘要：三等分任意角是古希臘人所提出來的，并且一直到現(xiàn)在都是數(shù)學界中的熱點難題。而此題的難點就在于采用尺規(guī)作圖法難以進行準確的等分。雖然有的學者從代數(shù)的角度出發(fā)，論證了其并不可行，但是如果用代數(shù)與幾何相結合的方法來進行分析，那么就能夠發(fā)現(xiàn)任何一個角都可以進行三等分。而如何來實現(xiàn)三等分任意角，也有很多學者進行了研究。自從計算機誕生以來，計算機所具有的強大的計算能力，為人們解決各種數(shù)學難題提供了有力的支持。文中，主要利用計算機，就對三等分任意角的作法及證明進行了介紹。

關鍵詞：三等分;任意角;作法;證明

中圖分類號：G267 ????文獻標識碼：A

前面的話：三等分任意角是一個自古希臘以來未解的世界難題。此難題的作法要求是采用尺規(guī)作圖法。但是如今有計算機，利用計算機卻可以解決這一千古難題。

文章研究方向：利用計算機解決三等分任意角（0-360敖牽┑奈侍?。?/p>

作圖工具：計算機（幾何畫板5.0）。

理論依據(jù)：幾何畫板5.0的特點。

幾何畫板5.0特點是移動圓心（在平面內，在直線或線段上，在圓周上）的位置，可以改變圓的大小。

1三等分任意角的發(fā)展歷史

在世界數(shù)學發(fā)展進程中，古希臘人做出了不可磨滅的貢獻，希臘也被后世稱作是幾何學的故鄉(xiāng)。在古希臘人看來，模棱兩可的事物不可取，只有直線和圓才具備審美的基本要求，明確得讓人無可挑剔。并且僅僅需要邊緣平直的相關工具便能夠從心所欲地繪制出一條直線，通過一端固定、一端旋轉的工具也能夠繪制出一個圓。因此古希臘人在進行幾何作圖時只能夠使用圓規(guī)及直尺。到了公元前六至四世紀，古希臘人不斷嘗試通過無標記直尺與圓規(guī)來實現(xiàn)以下目的：（1）三等分某一任意角;（2）根據(jù)任一立方體繪制出其體積兩倍的立方體;（3）根據(jù)任一圓繪制出等于于其面積的正方形。這三個問題被后人三等分角問題，倍立方積問題以及化圓為方問題。針對這三個問題，特別是任意角三等分問題，相關學者通過深入研究后發(fā)現(xiàn)，通過無標記直尺以及圓規(guī)無法有效解決這類問題。著名數(shù)學家萬澤爾于1837年證明了無法通過尺規(guī)來完成任意角三等分以及立方倍積的證明;克萊因也于1895年根據(jù)已有的研究成果，針對這三個問題做出了不可能應用尺規(guī)作圖的簡明證法。但隨著信息技術水平的不斷提升，當前通過計算機的輔助則能夠有效解決這類千古難題。

2三等分任意角的作法

如圖：已知任意∠AOB（為0—360度的角。）

（1）以∠AOB的頂點O為圓心，任意長為半徑畫弧交角兩邊，分別為A、B兩點。

（2）在AB弧上任取一點C。以C點為圓心，CA長為半徑作⊙C?！袰交AB弧分別為A、D兩點。

（3）再以D點為圓心，DC長為半徑作⊙D（使⊙D與⊙C為等徑圓）。圓D交AB弧分別為C、E兩點。連接O、E兩點。

（4）點擊拖動⊙C的圓心C點（C點則在AB弧上按順時針或逆時針方向運動），使OE與OB重合。

（5）分別連接O、C和O、D兩點。則OC和OD為∠AOB的三等分線。

類似地，可把0—360度角任意5等分、7等分……N等分。

證明：如圖。

（1）由作圖可知，CD既是⊙C的半徑，又是⊙D的半徑，即⊙D和⊙C為兩個等徑圓。

（2）因為幾何畫板的特點是移動圓心的位置，可以改變圓的大小，所以拖動⊙C的圓心C點時，C點則在AB弧上按順時針（或逆時針）方向運動，⊙C的半徑（CA和CD））則增大（或縮?。?。

（3）因為：CD既是⊙C的半徑，又是⊙D的半徑。（作法）

所以：當⊙C的半徑CD增大（或縮?。r，⊙D和⊙C兩個等徑圓的半徑則同時增大（或縮?。?。

即當半徑CD增大（或縮小）時，⊙D和⊙C兩圓總保持等徑圓關系。

故所以：C點在AB上的順逆運動中，同時改變了⊙D和⊙C兩個等徑圓的大小，但⊙D和⊙C仍保持等徑圓關系。

（4）因為：C點在AB弧上的運動中，⊙D和⊙C總保持等徑圓關系。

所以：C點在AB弧上的運動中，⊙D和⊙C的半徑關系是：AC=CD=DE。

故所以：當拖動C點，使OE與OB重合（或使E點與B點重合）時，則有：AC=CD=DB。（等徑圓關系）

（5）因為：AC=CD=DB。（已證）

所以：∠AOC=∠COD=∠DOB。（在同圓或等圓中，弦相等所對圓心角相等）也即OC和OD為∠AOB的三等分線。證畢。

3結語

綜上所述，任意角三等分是困擾歷史上無數(shù)數(shù)學名家的千古難題，雖然已經(jīng)被相關學者證明通過尺規(guī)作圖無法有效解決，但在科學技術日趨發(fā)達的當代社會，這一問題能夠通過信息技術的應用來得到突破。

參考文獻

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