張吉華

摘要：眾所周知，圓錐曲線是高中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是難點(diǎn)內(nèi)容之一，而有心圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形又是設(shè)計(jì)考題的熱點(diǎn)知識(shí)，于是弄清焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)和解題策略就顯得非常必要. 以下就作者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，列舉一些焦點(diǎn)三角形的基礎(chǔ)性質(zhì)和拓展性質(zhì)，并舉例說(shuō)明這類問(wèn)題的一般解題策略，供大家參考。

關(guān)鍵詞：有心圓錐曲線;焦點(diǎn)三角形;性質(zhì);策略

中圖分類號(hào)：G633.65 ????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

定義：在有心圓錐曲線上，焦點(diǎn)所在直線上的頂點(diǎn)除外的任意一點(diǎn)P和兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2稱為有心圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形，簡(jiǎn)稱焦點(diǎn)三角形。

為研究方便，以下在沒(méi)有特指的前提下，有心圓錐曲線均是焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)曲線，即：橢圓方程為，雙曲線方程為，其中點(diǎn)P坐標(biāo)為（x0，y0），焦距| F1F2|=2c，離心率為e，焦參數(shù)（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為p，∠F1PF2=，∠PF1F2=，∠PF2 F1=。

1焦點(diǎn)三角形的基礎(chǔ)性質(zhì)

2焦點(diǎn)三角形的拓展性質(zhì)

下面以橢圓為例對(duì)拓展性質(zhì)加以證明。

證明：由橢圓第二定義得，∴ ，同理可得 。

由三角形余弦定理得 = ┄┄①，由橢圓定義得，兩邊平方得=4a2┄┄②，②-①得

2| PF1| ?| PF2|（1+ cos）=4（a2-c2）=4b2，

∴。

∴

由三角形正弦定理得，

∴，即，

∴

，

∴。

要證明橢圓的光學(xué)性質(zhì)，只要證明直線PF1和PF2關(guān)于點(diǎn)P所在的切線對(duì)稱即可。

橢圓方程化為，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，化簡(jiǎn)得，∴切線的斜率，直線PF1、PF2的斜率分別為、，設(shè)從直線PF1到切線的角為，則，結(jié)合，化簡(jiǎn)得。同理，設(shè)從切線到直線PF2的角為，則。這就證明了直線PF1和PF2關(guān)于點(diǎn)P所在的切線對(duì)稱，即橢圓的光學(xué)性質(zhì)得證。

至于雙曲線的拓展性質(zhì)，依樣可證，這里就不再詳述。

3焦點(diǎn)三角形的解題策略

在解決有心圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題時(shí)，通常用到基礎(chǔ)性質(zhì)就可以，但必要時(shí)能用拓展性質(zhì)會(huì)顯得更加快捷，以下舉例說(shuō)明：

例1：已知F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF2是面積為1的正三角形，求b的值。

策略1：利用點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程求解，簡(jiǎn)稱坐標(biāo)代入法。

由△POF2是面積為1先求出c= |OF2|=和點(diǎn)P坐標(biāo)（，），把P坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合，解方程組便可求出b的值。

策略2：利用橢圓第一定義求解a，簡(jiǎn)稱定義法。

同樣先求出c后，在△POF1中通過(guò)三角形余弦定理求出|PF1|，再利用橢圓定義求2a=|PF1|+|PF2|，最后由求出b的值。

策略3：利用拓展性質(zhì)求解，簡(jiǎn)稱拓展法。

由|OF1|=|OF2|=|OP|得△PF1F2是∠F1PF2為直角的直角三角形，△PF1F2的面積是△POF2是面積的2倍，即：，由拓展性質(zhì)得，，∴b=。

顯然，策略1的坐標(biāo)代入法計(jì)算量大，通過(guò)解方程組，相對(duì)繁瑣;策略2的定義法計(jì)算有所簡(jiǎn)化;策略3的拓展法非常簡(jiǎn)便，口算就能得出答案。

例2：（2020屆江西省紅色七校高三年級(jí)第一次聯(lián)考（理）16題）雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在C上，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OP|= ????????。

策略1（坐標(biāo)代入法）：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（x0，y0），先求出PF1和PF2的斜率和，由到角公式建立一個(gè)方程，與點(diǎn)P坐標(biāo)代入雙曲線方程得到的方程聯(lián)立，通過(guò)解方程組得出x0，y0，再去求|OP|的值。

策略2（定義法）：先由已知求出的值，設(shè)|PF1|=m，|OF2|=n，在焦點(diǎn)三角形中，由余弦定理列出一個(gè)關(guān)于m，n的方程，再由雙曲線定義列出另一個(gè)關(guān)于m，n的方程，聯(lián)立求出m，n.再利用托萊梅定理（平行四邊形對(duì)角線的平方和等于各邊平方和）求出|OP|。

策略3（拓展法）：由已知可求出，利用拓展公式求面積，繼而求出的高，即點(diǎn)P縱坐標(biāo)，并代入雙曲線方程求橫坐標(biāo)，最后求出|OP|=。

策略1的計(jì)算非常麻煩，策略2會(huì)好一些，但比起策略3還是比較瑣碎。

例3：（2016年高考全國(guó)卷Ⅱ（理）11題）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：的左右焦點(diǎn)， 點(diǎn)M在E上，M F1與x軸垂直，，則E的離心率為（ ?）A. ????B. ???C. ???D. 2

策略1：由得，∴中，，于是可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)（），代入雙曲線方程便能求出離心率。

策略2：同上先求出，并求出，由雙曲線定義得，最后可求離心率。

策略3：由拓展公式，其中，，于是很容易求得，∴。

本例說(shuō)明定義法比坐標(biāo)代入法簡(jiǎn)單，拓展法又比定義法簡(jiǎn)便。

綜上所述，在解決有心圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形△PF1F2問(wèn)題時(shí)，通常有三種解題策略。問(wèn)題如果涉及焦點(diǎn)三角形的頂點(diǎn)P坐標(biāo)時(shí)可用策略1——坐標(biāo)代入法，否則可設(shè)出焦點(diǎn)三角形的兩邊|PF1|=m，|PF2|=n，利用三角形余弦定理和曲線第一定義列式求解，即策略2——定義法，當(dāng)問(wèn)題涉及焦點(diǎn)三角形的拓展性質(zhì)時(shí)，用策略3——拓展法解題會(huì)顯得更加簡(jiǎn)便、快捷。