陳琦軒 余華云

摘要：在機器學(xué)習(xí)誕生之時起，線性回歸分類器便體現(xiàn)出優(yōu)越的性能，然而，隨著時代的進步，每類訓(xùn)練樣本數(shù)量增大，線性分類器的速度變得很慢，也凸顯了線性分類的一個致命弱點：對大樣本數(shù)據(jù)束手無策。即當用于訓(xùn)練的樣本數(shù)量大于樣本的維數(shù)時，線性分類器會無法工作。解決的辦法之一是對分類器作局部化處理從而對數(shù)據(jù)進行篩選，避免大樣本數(shù)據(jù)問題的出現(xiàn)。然而，隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的興起，對于大樣本數(shù)據(jù)的處理，也有了更多的新興的處理辦法。

關(guān)鍵詞：機器學(xué)習(xí);線性回歸分類器;局部化處理;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);大樣本數(shù)據(jù)

中圖分類號：TP391? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2020）16-0198-02

1局部線性回歸分類器

在機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中，分類的目的是指將具有相似特征的對象聚集在一起。而一個線性分類器會透過特征的線性組合來做出分類決定，以達到此種目的。對象的特征通常被描述為特征值，而在向量中則描述為特征向量。

1.1 Softmax線性回歸

Softmax是除SVM（支持向量機）外，另一種常見的線性分類模型，是邏輯回歸推廣的一種形式。

Softmax作為線性分類器的一種，可以從兩個方面來研究它：評分函數(shù)，也有人稱之為目標函數(shù)（score function）和損失函數(shù)（loss function）。

1.1.1 Score function

Score function： f（xi;W;b）=Wxi+b。

Softmax的評分函數(shù)與多類別支持向量機是一樣的，都是“線性分類器”的一種，既然都是線性分類器，其計算目標的公式必定是經(jīng)典的線性公式。其中，Softmax對目標的解釋：轉(zhuǎn)換為概率分布。分類器將目標向量看成是沒有歸一化處理的對數(shù)概率分布。經(jīng)過轉(zhuǎn)化以后得到相對應(yīng)類的概率。例如，三個數(shù)字1、2、3，取max每次都會取到3，但是把它們映射成三個概率，取到3的概率最大，但也有取到其他兩個數(shù)的可能，三個概率和為1，這就是Softmax值。即分類器會對線性運算產(chǎn)生的目標向量進行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化：通過特定函數(shù)將當前樣本對各個類的評分轉(zhuǎn)換成當前樣本相對應(yīng)其相對類的概率，這個概率就是模型的輸出。這也是Softmax命名的緣由。因為線性運算的結(jié)果在某些情況下不具備很好的解釋性，因此在輸出之前“對目標進行轉(zhuǎn)化”（比如將目標轉(zhuǎn)化為概率）是一種很常見的做法。

1.1.2 Loss function

通過以下公式來計算模型在樣本xi上的loss：

Li[=-log（efyi∑jefj]）

這種損失的計算方式稱之為交叉熵，與多類別支持向量機的折葉損失不同，這是由于兩者對評分的解釋不一樣。Softmax的損失函數(shù)是希望正確的概率越高越好。

下面，在Jupyter Notebook中用Softmax分類器來處理下面模型。該數(shù)據(jù)集來源于斯坦福公開課程。數(shù)據(jù)圖形如下所示：

既然是線性分類器，就有線性公式y(tǒng)=wx+b。初始化w以及b。線性分類器只需要做簡單的乘法，就可得到各個類別的目標。用損失函數(shù)來計算損失，即預(yù)測結(jié)果和真實結(jié)果的差值。理想情況下希望正確的類要比其他類有更高的評分，這樣損失就會很低。如果正確類的評分低，則損失就會很高。量化這種數(shù)據(jù)的方法有很多。在這個例子中用前面提到的交叉熵損失。

正確類別的概率值[efyi∑jefj]越大，Li函數(shù)的值就會越小，損失就會很小，即得到的結(jié)果與期待的目標結(jié)果差距很小。若正確類別的概率值越小，Li函數(shù)的值就會越大，那么損失就會很大。那么得到的結(jié)果就與目標數(shù)值差距較大。

得到了單個樣本的損失，又知道訓(xùn)練樣本的容量，就可以計算出每個樣本的平均損失：1/N∑iLi。

由目標矩陣score計算得出訓(xùn)練樣本所對應(yīng)各個類別的概率值。通過softmax函數(shù)，把三個分數(shù)映射為三個概率。然后將得到的矩陣中的值進行?log運算。得到了一個一維數(shù)組，其中每個元素都是相應(yīng)訓(xùn)練樣本的正確類別的概率。之后計算完整的損失。

由此得到的loss會很大，需要減小loss的值。當導(dǎo)數(shù)為0的時候，會出現(xiàn)極值點。于是損失（loss）對目標（score）求導(dǎo)，根據(jù)鏈式求導(dǎo)法則得到?loss/?score=?loss/?prob*?prob/?score。這里損失由正確類別的概率值決定，而正確類別的概率值由各個類別分數(shù)共同決定，所以求得應(yīng)分別是對三個分數(shù)的導(dǎo)數(shù)，最后損失loss對各個分數(shù)的導(dǎo)數(shù)為Pk?1（k=yi）?，F(xiàn)在得到了?loss/?score，我們想得到的是?loss/?w（w為權(quán)重），而?loss/?w=?loss/?score*?score/?w。最后對權(quán)值和偏置進行更新。重復(fù)此過程10000次，得到的損失結(jié)果如下圖所示：

可以發(fā)現(xiàn)從很早開始損失就沒有變化了。打印出精度。

結(jié)果精確度為0.54，這不是一個令人滿意的結(jié)果。這也說明線性分類器在處理大量非線性數(shù)據(jù)時并不能很好的擬合數(shù)據(jù)曲線。

2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

之前已經(jīng)介紹了Softmax的工作原理：將分數(shù)轉(zhuǎn)換為概率，然后得到預(yù)測結(jié)果，把預(yù)測結(jié)果拿來和期待的目標結(jié)果作比較，并通過損失函數(shù)算出預(yù)測結(jié)果與目標結(jié)果的偏差。把每個訓(xùn)練樣本都重復(fù)這樣的步驟，最后再綜合所有的損失并得到平均損失。然后通過修改權(quán)值和偏置來使這個損失降低。

而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的不同之處，就是在結(jié)構(gòu)上增加了一層數(shù)據(jù)層，稱之為隱藏層。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的每個神經(jīng)元的結(jié)構(gòu)都是相同的：每個神經(jīng)元接受多個輸入信號，對輸入信號進行線性運算：output=wx+b=∑i wixi+b。

數(shù)據(jù)經(jīng)過輸入層傳到隱含層，在隱含層會經(jīng)過激勵函數(shù)f（一般為非線性函數(shù)）的處理后再傳輸?shù)捷敵鰧?，在輸出層也會?jīng)過與在隱含層相同的激勵函數(shù)f的處理，最后得出結(jié)果，正向傳播結(jié)束。計算出結(jié)果與期待值誤差后再反向傳播并借用誤差更新權(quán)值，上一層的輸出作為下一層的輸入。而這個非線性激勵函數(shù)f，也是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為什么能夠處理非線性數(shù)據(jù)的原因。

下面繼續(xù)在jupyter notebook中用bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法去擬合上面的函數(shù)曲線。因為增加了一層數(shù)據(jù)層即我們的隱藏層，所以相比于線性處理初始化的一組權(quán)重和偏置，我們要增加一組，即初始化兩組權(quán)重和偏置。并使用ReLu函數(shù)作為隱藏層神經(jīng)元的激勵函數(shù)。函數(shù)表達式為ReLu（x）=max{0，x}，取0和自變量x之中的的最大值。與softmax線性分類器的操作原理基本一致：想得到?score/?output的權(quán)重以及?score/?output的偏置，先計算損失對分數(shù)的導(dǎo)數(shù)?loss/?score。這里由鏈式求導(dǎo)法則可以求出損失對各層權(quán)重的導(dǎo)數(shù)和損失對偏置的導(dǎo)數(shù)。然后通過反向傳播來更新各層的權(quán)重和偏置。跟線性處理一樣我們迭代10000次，看看損失。

相較于Softmax處理的結(jié)果，迭代10000次后損失率已經(jīng)降低到了一個很低的水準。最后打印出精度：

最后的精度也比Softmax高出很多，可以說bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更好的擬合了數(shù)據(jù)曲線。結(jié)果讓人非常滿意。

3結(jié)語

由這個實驗我們可以看出，在特定情況下對于非線性數(shù)據(jù)集，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)往往比線性處理器有更好的處理效果，能更好的擬合數(shù)據(jù)曲線。但線性分類模型的作用依然不可忽略，它是非線性分類模型的基礎(chǔ)，很多非線性模型都是從線性分類模型的基礎(chǔ)上演化而來，并且在機器學(xué)習(xí)并不漫長的歷史進程中，線性分類模型也在實踐中證明過自己的作用。無論是線性分類還是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在人工智能日益影響我們生活的今天，只會發(fā)揮越來越重要的作用。

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