辛鵬飛，吳躍民，榮吉利，危清清，劉 賓，劉 鑫

（1. 空間智能機(jī)器人系統(tǒng)技術(shù)與應(yīng)用北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094；2. 北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 1000941；3. 北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081）

引 言

載人登月是人類深空探測活動中的重要一步，選擇高效、可靠、大收納比的太陽翼能夠?yàn)樵旅嬷懫骷拔磥淼脑虑蚧靥峁┏渥愕哪茉幢ＷC[1]，這一直以來是載人登月研究的重點(diǎn)之一。尤其是在月球極區(qū)環(huán)境下，光照條件差，對高效太陽翼的需求更加顯著。而圓形薄膜太陽翼具有結(jié)構(gòu)緊湊、質(zhì)量輕、功率質(zhì)量比高、低轉(zhuǎn)動慣量、展開剛度高、可重復(fù)展收和擴(kuò)展性好等特點(diǎn)[2]，非常適應(yīng)用于深空探測。美國國家航空航天局（National Aeronautics and Space Administration，NASA）在新的載人登月路線圖中，公布了搭載圓形薄膜太陽翼的月面探測器構(gòu)型，效果如圖1所示。

圓形薄膜太陽翼最早由美國AEC-able公司（現(xiàn)為諾格公司）研發(fā)，由移動箱板、固定箱板、展開機(jī)構(gòu)、薄膜分片等組成，如圖2所示，收攏體積小、展開可靠性高。到目前為止，世界上僅美國開展了該領(lǐng)域的深入研究，并成功發(fā)射了多組圓形薄膜太陽翼。太陽翼工程樣機(jī)由三角形柔性薄膜分片組成[3]，在2007年發(fā)射的“鳳凰號”（Phoenix）火星著陸器以及2018年發(fā)射的“洞察號”（Insight）火星探測器上均配套了2個直徑為2.1 m的圓形薄膜太陽翼（展開效果如圖3所示）并成功實(shí)現(xiàn)了展開應(yīng)用。從2015年開始，NASA一直在為“天鵝座”-OG5飛船設(shè)計(jì)配套的圓形薄膜太陽翼。

在薄膜結(jié)構(gòu)的動力學(xué)建模分析方面，許多學(xué)者分別基于流固耦合方法[4]、多剛體動力學(xué)方法[5]以及能量–動量模型方法[6]對薄膜結(jié)構(gòu)開展研究，展現(xiàn)出在特殊情況下的充氣薄膜動力學(xué)特性。Liu等[7]采用絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方法對薄膜結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，研究了薄膜結(jié)構(gòu)的褶皺、屈曲等動力學(xué)特性，仿真結(jié)果與其他理論研究方法及相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果較好吻合。2007年，NASA在圓形薄膜太陽翼實(shí)驗(yàn)中，利用單點(diǎn)激振以及激光測振儀在真空環(huán)境下對半徑為1.6 m的圓形薄膜太陽翼縮比模型進(jìn)行了模態(tài)測試[4]；之后又利用單點(diǎn)激振以及加速度傳感器對采集的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了進(jìn)一步分析；2013年，NASA利用有限元軟件對圓形薄膜太陽翼進(jìn)行模態(tài)分析[9]，充分考慮到重力懸吊系統(tǒng)及空氣作用的影響，得到了太陽翼前三階整體模態(tài)。盡管美國對該型薄膜太陽翼進(jìn)行了大量的理論分析和試驗(yàn)分析，但測試數(shù)據(jù)、研究成果發(fā)表極少。

圖1 NASA展示的載人登月效果圖Fig. 1 The artist’s rendering NASA released

圖2 圓形薄膜太陽翼構(gòu)型Fig. 2 Configuration of circular

圖3 “洞察號”上的圓形薄膜太陽翼Fig. 3 Insight’s circular membrane solar array

薄膜結(jié)構(gòu)在月面低重力環(huán)境下展開復(fù)雜，地面試驗(yàn)難以準(zhǔn)確模擬，若采用實(shí)際任務(wù)測試實(shí)驗(yàn)的方法在成本上難以承受[10]；同時圓形薄膜太陽翼展開動力學(xué)試驗(yàn)較難操作，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取困難。因此只有精確地完成月面環(huán)境下圓形薄膜太陽翼結(jié)構(gòu)的有序展開動力學(xué)特性分析，才能有效提高圓形薄膜太陽翼的展開可靠性和展開精度[11]，建模仿真分析工作具有重要的理論意義和實(shí)際工程價值。

1 展開動力學(xué)建模

1.1 數(shù)值建模基礎(chǔ)

本文采用絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法搭建圓形薄膜太陽翼動力學(xué)模型，該方法具有簡潔的動力學(xué)方程形式[13]，可以完成對復(fù)雜結(jié)構(gòu)精確的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)分析。

一個絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)全參數(shù)梁單元如圖4所示，其單元上任一點(diǎn)的全局位置矢量定義為

其中：rP為任一點(diǎn)P的全局位置矢量；x、y和z是點(diǎn)P的局部坐標(biāo)；S為單元形函數(shù)。

單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)e可以表示為

其中：ri，x表示r對x的偏導(dǎo)數(shù)，依次類推。

由式（2）可知，該單元任一節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)均包含一個位置矢量與3個斜率矢量，共計(jì)采用24個廣義坐標(biāo)來描述。

圖4 基于絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法的全參數(shù)梁單元Fig. 4 Full parameterization beam element based on ANCF

與此類似，本文采用考慮Kirchhoff假設(shè)的絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)矩形縮減薄板單元搭建大面積薄膜結(jié)構(gòu)數(shù)值模型[14]。如圖5所示，該單元類型略去了板沿厚度方向的變形，即節(jié)點(diǎn)廣義坐標(biāo)不包含沿厚度方向的梯度向量，以A點(diǎn)為例，該點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)廣義坐標(biāo)為

圖5 縮減絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)矩形薄板單元Fig. 5 Reduced rectangular thin plate element based on ANCF

每個縮減薄板單元包含4個節(jié)點(diǎn)，合計(jì)36個節(jié)點(diǎn)自由度，具體形函數(shù)形式等可參考文獻(xiàn)[14]中的相關(guān)內(nèi)容?；谝陨辖^對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)單元類型，本文中圓形薄膜太陽翼的支撐肋條結(jié)構(gòu)采用絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)梁單元進(jìn)行建模，薄膜太陽翼結(jié)構(gòu)采用縮減絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)薄板單元進(jìn)行建模，搭建完整結(jié)構(gòu)的動力學(xué)數(shù)值仿真模型，如圖6所示。

圖6 完整結(jié)構(gòu)動力學(xué)仿真模型示意圖Fig. 6 Demonstration of full structure dynamics model

通過第一類拉格朗日方程，可以推導(dǎo)系統(tǒng)方程為

其中：M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣；q為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)；C為系統(tǒng)約束方程；Cq為系統(tǒng)約束方程對廣義坐標(biāo)的雅克比矩陣；λ為拉格朗日乘子；Q（q）為系統(tǒng)廣義外力矩陣；F（q）為系統(tǒng)彈性力矩陣。本文中，采用廣義alpha方法[15]求解該方程組。

1.2 接觸碰撞檢測算法

在太陽翼展開過程中，薄膜分片間以及薄膜與肋條之間存在復(fù)雜的接觸碰撞現(xiàn)象。為了高效檢測薄膜間的接觸碰撞，將整個接觸檢測過程分為兩步執(zhí)行，即全局檢測階段和局部檢測階段[16]。在全局檢測中，基于層次包圍盒思想，構(gòu)造包圍盒樹狀層次結(jié)構(gòu)，如圖7所示，快速匹配彼此靠近的四邊形接觸塊，判斷接觸可能性，形成潛在接觸對；在局部檢測中，通過檢測點(diǎn)與四邊形接觸塊之間的接觸，得到點(diǎn)與曲面間接觸的粗略碰撞信息，以此作為初值進(jìn)行迭代，得到薄膜結(jié)構(gòu)間的精確碰撞點(diǎn)。

圖7 層次包圍樹結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 7 Demonstration of hierarchical bounding volumes

圖8為兩個可能發(fā)生接觸的絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)薄板單元，通過全局檢測，得到加粗的曲線，表示的2個四邊形接觸塊（潛在測試對）在彼此靠近。

此時需要在絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)單元2上找到一點(diǎn)Q，使得接觸塊a上的接觸點(diǎn)P到Q的距離為點(diǎn)P到單元2的最短距離，一次判斷具體接觸情況。設(shè)Q在單元2上的局部坐標(biāo)為（ξQ，ηQ），若點(diǎn)Q為單元2內(nèi)一點(diǎn)，則有

其中：S為薄膜單元的形函數(shù)；rP為P點(diǎn)的全局位置矢量；e2為單元2的廣義坐標(biāo)。

圖8 局部檢測示意圖Fig. 8 Demonstration of local detection

略去高階小量后，式（5）可以快速求解單元間的最短距離，進(jìn)而獲得接觸點(diǎn)及接觸力信息[17]。

2 關(guān)節(jié)展開軌跡規(guī)劃

2.1 關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃定義

圓形薄膜太陽翼結(jié)構(gòu)的展開機(jī)構(gòu)僅有一個自由度，定義電機(jī)驅(qū)動軌跡函數(shù)，實(shí)際上就是定義了圓形薄膜太陽翼的展開軌跡。

通常稱電機(jī)函數(shù)設(shè)計(jì)空間為關(guān)節(jié)空間。一般地，在起點(diǎn)到終點(diǎn)的運(yùn)動過程中，由靜止?fàn)顟B(tài)開始，在規(guī)定的運(yùn)動時間內(nèi)運(yùn)動到目標(biāo)位置后保持靜止。

為了更好、更靈活地控制軌跡曲線，本文采用貝塞爾（Bézier）曲線作為電機(jī)驅(qū)動函數(shù)，貝塞爾曲線是能夠描述復(fù)雜形狀的一種曲線，現(xiàn)在已成為計(jì)算機(jī)圖形學(xué)相當(dāng)重要的參數(shù)曲線，在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（Computer Aided Design，CAD）領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[18]。選擇貝塞爾曲線進(jìn)行軌跡規(guī)劃有以下優(yōu)點(diǎn)：

1）軌跡能夠滿足運(yùn)動學(xué)約束，軌跡、速度和加速度連續(xù)；

2）軌跡方便可調(diào)，且不影響上述準(zhǔn)則。

貝塞爾曲線由數(shù)據(jù)點(diǎn)和控制點(diǎn)兩部分組成，數(shù)據(jù)點(diǎn)控制曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)，控制點(diǎn)控制曲線軌跡的彎曲程度。一般地，數(shù)據(jù)點(diǎn)和控制點(diǎn)也統(tǒng)稱為控制點(diǎn)。假設(shè)曲線為n次曲線，則控制點(diǎn)數(shù)量為n+1，控制點(diǎn)編號為Pi（i= 0，1，···，n），其中：P0為曲線起點(diǎn)；直線P0P1為起點(diǎn)切線方向；Pn為曲線終點(diǎn)；直線Pn-1Pn為終點(diǎn)切線方向。除首尾控制點(diǎn)外，其他控制點(diǎn)通常不在曲線上。

因此，定義空間n+1點(diǎn)的位置Pi，則n+1階（即n次）貝塞爾曲線的描述為

其中：Bi,n（u）是n次Bernstein基函數(shù)，且滿足

其中i= 0，1，2，···，n。

根據(jù)式（6）定義，期望初始及終止時刻關(guān)節(jié)速度均為零，需要貝塞爾曲線的前兩個控制點(diǎn)重合，后兩個控制點(diǎn)重合，以使得兩個位置上的斜率均為零，即速度為零。另外還需要至少兩個控制點(diǎn)控制曲線的彎曲程度，本文中采用的軌跡規(guī)劃函數(shù)為五次貝塞爾函數(shù)（共6個控制點(diǎn)），即電機(jī)的驅(qū)動函數(shù)。根據(jù)上述仿真條件，得到的電機(jī)驅(qū)動轉(zhuǎn)角隨時間變化曲線如圖9所示。

圖9 貝塞爾曲線轉(zhuǎn)角軌跡Fig. 9 Rotation trajectory based on Bézier curve

2.2 關(guān)節(jié)驅(qū)動展開數(shù)值仿真

電機(jī)驅(qū)動展開圓形薄膜太陽翼的數(shù)值仿真條件設(shè)置為：初始狀態(tài)為時間零點(diǎn)、轉(zhuǎn)角值為零度；在本算例中，為凸顯結(jié)構(gòu)展開的振動效果，運(yùn)動規(guī)劃時間和仿真總時間均設(shè)置較小，分別設(shè)為10 s和15 s，后5 s的時間用于考察殘余振動效果；終止?fàn)顟B(tài)為時間結(jié)束、轉(zhuǎn)角值為2π（完全展開）；轉(zhuǎn)角中π出現(xiàn)的時刻為5 s時刻。

圓形薄膜仿真模型主要參考美國“鳳凰號”（Phoenix）太陽翼測試樣機(jī)數(shù)據(jù)。系統(tǒng)內(nèi)剛體包括箱板結(jié)構(gòu)、短粗連接件機(jī)構(gòu)等，數(shù)量為30，柔性肋條數(shù)目為9，彈性模量為70 GPA，泊松比為0.33，每根肋條長度為1.05 m，均劃分為45個絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)梁單元；薄膜分片數(shù)量為10，每個分片薄膜共包含126個縮減絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)薄板單元。系統(tǒng)總單元個數(shù)為1 695，廣義坐標(biāo)數(shù)量為55 440。

NASA選用了聚酰亞胺Kapton作為特種薄膜材料。該材料具有優(yōu)良的化學(xué)穩(wěn)定性、耐高溫性、堅(jiān)韌性、耐磨性、阻燃性、電絕緣性等，目前廣泛應(yīng)用于航空航天器領(lǐng)域，其基本材料參數(shù)如表1所示。

表1 薄膜材料參數(shù)Table 1 Parameters of membrane material

為了評估所采用的貝塞爾函數(shù)方法在軌跡規(guī)劃效果以及殘余振動抑制方面的作用，采用工程中常用的Sine軌跡函數(shù)作為電機(jī)驅(qū)動軌跡，進(jìn)行展開控制對比分析。

在數(shù)值仿真分析中，分析結(jié)果考察柔性中間肋條在大范圍運(yùn)動中的轉(zhuǎn)動軌跡誤差，軌跡誤差φ定義如圖10所示，為肋條實(shí)際構(gòu)型末端點(diǎn)切線與預(yù)定構(gòu)型的夾角。

圖10 誤差轉(zhuǎn)角定義Fig. 10 Definition of rotation angle error

圖11為柔性中間肋條末端偏離預(yù)定軌跡的誤差曲線，圖12為單獨(dú)提取的10 ～ 15 s殘余振動誤差曲線。從圖11～12中觀察得到以下結(jié)論：所提出的五次貝塞爾函數(shù)轉(zhuǎn)動規(guī)劃軌跡在初始階段和終止階段均較為平緩，對電機(jī)驅(qū)動的要求低，適合工程應(yīng)用；在軌跡運(yùn)動過程中，貝塞爾曲線控制下的肋條振動較大；但在殘余振動過程中，Sine軌跡函數(shù)控制的殘余振動關(guān)節(jié)角誤差幅值最大為0.026 rad，而貝塞爾軌跡誤差幅值最大為0.006 rad，誤差比例為1∶0.23，即在殘余振動過程中，貝塞爾曲線規(guī)劃函數(shù)能有效地降低殘余振動，控制軌跡誤差。

圖11 中間肋條軌跡誤差曲線Fig. 11 Curves of trajectory error of middle ribs

圖12 中間肋條殘余振動誤差對比Fig. 12 Comparison of residual vibration error of middle ribs

2.3 貝塞爾曲線優(yōu)化設(shè)計(jì)

貝塞爾曲線還可以通過局部調(diào)整控制點(diǎn)的位置來調(diào)整曲線局部的特征。經(jīng)不斷調(diào)整，在僅調(diào)節(jié)中間兩個控制點(diǎn)的情況下，圖13為控制點(diǎn)調(diào)整后的貝塞爾曲線圖?？梢钥闯鲈谄鹗己徒K止時刻，曲線更加平緩，這意味著這兩段時刻，電機(jī)轉(zhuǎn)動角速度更小，對工程應(yīng)用更加友好。

圖14為關(guān)節(jié)角誤差結(jié)果顯示曲線，可以得到以下結(jié)論：調(diào)整后的貝塞爾曲線在運(yùn)動過程中的軌跡跟蹤誤差方面表現(xiàn)不佳，最大關(guān)節(jié)角誤差由0.098 rad增加到0.107 rad，變化9.18%。圖15為殘余振動階段關(guān)節(jié)角誤差結(jié)果顯示曲線，調(diào)整后的貝塞爾曲線在殘余振動階段抑制殘余振動方面有所提升，最大關(guān)節(jié)角振動幅值由0.006 rad進(jìn)一步降低到0.005 3 rad，變化11.67%。結(jié)果從幅值來看降低幅度不大，效果并不明顯；調(diào)整貝塞爾曲線的控制點(diǎn)對殘余振動抑制方面影響不大，通常還伴隨著運(yùn)動過程中關(guān)節(jié)角誤差增大。

圖13 貝塞爾曲線調(diào)整Fig. 13 Adjustment of Bezier curve

圖14 中間肋條軌跡誤差曲線Fig. 14 Curves of trajectory error of middle ribs

圖15 中間肋條殘余振動誤差對比Fig. 15 Comparison of residual vibration error of middle ribs

單獨(dú)采用五次貝塞爾曲線規(guī)劃函數(shù)驅(qū)動圓形薄膜太陽翼結(jié)構(gòu)實(shí)際展開，數(shù)值仿真結(jié)果表明該軌跡規(guī)劃函數(shù)能夠提高柔性肋條末端軌跡的運(yùn)動精度，降低柔性振動幅值，使得結(jié)構(gòu)展開過程更為可控和精準(zhǔn)。但由于函數(shù)本身的特點(diǎn)以及結(jié)構(gòu)柔性的存在，運(yùn)動過程中實(shí)際軌跡與規(guī)劃軌跡之間的誤差較大。單獨(dú)優(yōu)化貝塞爾曲線本身對運(yùn)動過程跟蹤和殘余振動抑制作用不大。

3 前饋–反饋聯(lián)合展開控制

3.1 前饋–反饋聯(lián)合展開控制算法

軌跡跟蹤控制研究一般需要軌跡規(guī)劃方法與控制算法相結(jié)合進(jìn)行處理[19]。而在現(xiàn)有的軌跡跟蹤控制理論中，應(yīng)用最廣泛的兩類控制方法分別是前饋控制和反饋控制，這兩種控制方法都有一定的優(yōu)點(diǎn)，同時也伴隨著一定的缺點(diǎn)。

在此基礎(chǔ)上，本文采用前饋–反饋聯(lián)合控制方法對圓形薄膜太陽翼結(jié)構(gòu)進(jìn)行展開控制研究。針對基于絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方法建立的數(shù)值仿真模型，首先求解得到驅(qū)動約束對應(yīng)的約束反力/力矩，即為所需要的前饋力/力矩。而反饋控制采用工程中常用的PID（Proportion Integral Derivative）控制方法，易于實(shí)現(xiàn)，且對系統(tǒng)模型精確度要求不高。

文獻(xiàn)[20]中推導(dǎo)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動副前饋力/力矩公式形式簡單，計(jì)算方便，不僅適用于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，也適用于其他驅(qū)動關(guān)節(jié)的求解。關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動軸ξ方向即為力矩方向，力矩大小為

式（8）的推導(dǎo)方法也能推廣至其他約束形式對應(yīng)的前饋力/力矩的求解。

為了得到光滑的前饋力/力矩從而避免引起系統(tǒng)過大的振動，Liu等[20]進(jìn)行了深入研究，結(jié)果表明，高彈性模量的模型本質(zhì)上更接近于多剛體模型，以高頻振動為主，因此建議采用多剛體模型的前饋力/力矩。本文所研究的圓形薄膜太陽翼結(jié)構(gòu)柔性肋條及箱板均屬于高彈性模量材料，采用上述結(jié)論，利用剛體模型進(jìn)行逆動力學(xué)分析，從而得到前饋力/力矩。反饋控制方法采用工程上容易實(shí)現(xiàn)、效果良好的PID控制方法。前饋–反饋聯(lián)合控制方法的方框圖如圖16所示。

圖16 前饋–反饋聯(lián)合控制方法流程Fig. 16 Flow chart of forward-feedback joint control

基于以上所述的前饋力/力矩和PID控制策略，前饋–反饋聯(lián)合控制方法在驅(qū)動關(guān)節(jié)處施加的力/力矩大小為

其中：Tf為計(jì)算的前饋力/力矩；θp和θ分別是規(guī)劃的轉(zhuǎn)角軌跡和實(shí)際的轉(zhuǎn)角軌跡；Kp、Ki、Kd分別為PID反饋增益。

3.2 前饋–反饋聯(lián)合展開控制算例

圓形薄膜太陽翼結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)和材料參數(shù)同樣如前文所示，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動副的結(jié)構(gòu)參數(shù)與幾何參數(shù)如表2所示，所述的關(guān)節(jié)均為單自由度、繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的關(guān)節(jié)，齒輪副中的固定齒輪和關(guān)節(jié)的軸瓦固結(jié)，軸瓦、固定齒輪與固定箱板均固結(jié)于初始位置。

表2 關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動副幾何及材料參數(shù)Table 2 Geometric and material parameters of joint

關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)角規(guī)劃函數(shù)如公式相同。Kp、Ki、Kd分別取值為0.465、16.3、4.03。為了對比分析前饋–反饋聯(lián)合控制方法的控制精度問題，另外分別采用僅前饋控制、僅PID反饋控制對圓形薄膜太陽翼結(jié)構(gòu)展開過程進(jìn)行控制對比研究。

基于搭建的動力學(xué)仿真數(shù)值模型，進(jìn)行月面重力環(huán)境下的圓形薄膜展開過程動力學(xué)分析。求解得到圓形薄膜展開過程構(gòu)型如所示，結(jié)果表明，采用的展開控制策略能夠驅(qū)動結(jié)構(gòu)有序展開。展開過程構(gòu)型如圖17所示。

圖17 月球重力工況展開過程示意圖Fig. 17 Deployment under micro-gravity atmosphere

圖18～19結(jié)果曲線顯示：①3種控制策略都能有效跟蹤關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的預(yù)定軌跡，但控制精度有所差別，聯(lián)合控制策略控制精度在展開開始時誤差較大，但之后迅速降低，精度高、衰減快；②僅采用前饋控制的情況下，實(shí)際軌跡存在振蕩情況，并沒有穩(wěn)定，誤差與不施加任何控制方式的結(jié)果基本相同；③采用PID反饋控制需要多次試驗(yàn)才能得到合適的反饋增益，展開控制精度相對較高；④而前饋–反饋聯(lián)合控制方法對增益系數(shù)并不敏感，少量試驗(yàn)后即可得到較好的控制效果；⑤在殘余振動階段，采用前饋–反饋聯(lián)合控制方法得到的控制誤差幾乎為零，顯示了該方法在殘余振動階段具有顯著的抑振作用。

圖18 軌跡跟蹤關(guān)節(jié)角誤差Fig. 18 Curves of trajectory tracking errors

圖19 殘余振動關(guān)節(jié)角誤差對比Fig. 19 Comparison of residual vibration error

太陽翼驅(qū)動展開過程中，面向展開過程的控制精度和殘余振動的抑制能力等任務(wù)需求，可以采用前饋–反饋聯(lián)合控制方法配合電機(jī)軌跡規(guī)劃函數(shù)，能夠經(jīng)過少量仿真試驗(yàn)得到較好的控制參數(shù)，展開過程和殘余振動階段都獲得較好的控制精度。

獲得的電機(jī)驅(qū)動力矩如圖20所示，隨著結(jié)構(gòu)展開，電機(jī)的驅(qū)動力矩也逐漸增大，最大值達(dá)到287 N·m。完全展開太陽翼結(jié)構(gòu)后，驅(qū)動力矩迅速降低，直至為零。

圖20 電機(jī)驅(qū)動力矩時間歷程曲線Fig. 20 Times history of motor drive torque

4 結(jié) 論

對于圓形薄膜太陽翼結(jié)力學(xué)仿真分析困難、薄膜展開過程復(fù)雜的問題，本文利用絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方法搭建了NASA樣機(jī)尺寸的圓形薄膜太陽翼動力學(xué)數(shù)值分析模型，基于貝塞爾曲線對關(guān)節(jié)空間軌跡進(jìn)行規(guī)劃，并結(jié)合前饋–反饋聯(lián)合控制策略進(jìn)行了結(jié)構(gòu)展開動力學(xué)數(shù)值仿真分析。仿真結(jié)果表明：該展開驅(qū)動策略能夠高精度、有序、穩(wěn)定地展開圓形薄膜太陽翼結(jié)構(gòu)，并對殘余振動具有顯著地抑制作用；展開驅(qū)動力矩最大值為287 N·m；薄膜運(yùn)動復(fù)雜，張緊–回彈現(xiàn)象明顯，最終隨結(jié)構(gòu)展開而趨于穩(wěn)定。