楊新鵬 董蓉艷

[摘? 要] 學生習得的知識與學科知識的對話、互動過程，就是學生核心素養(yǎng)的形成過程.文章以北師大版“拋物線的定義”這一內(nèi)容為例，從生活情境、操作情境、歷史情境、數(shù)學情境等不同角度給出6種引入方式，以供同行參考.

[關鍵詞] 情境;核心素養(yǎng);拋物線定義

2018年11月16日，陜西師大附屬中學成功舉辦了“全國部分大學附屬中學教學協(xié)作體第二十七屆年會”，此次年會的主題是“聚焦核心素養(yǎng)，優(yōu)化課堂教學”.共有來自8所大學附屬中學的32位教師進行了課堂展示，作為此次會議的參會成員，筆者有幸觀摩了6位老師關于北師大版“拋物線及其標準方程第1課時”的展示課.此次展示課的一大亮點在于老師們對“拋物線的定義”一課的引入，繽彩紛呈，各具特色，都從不同角度發(fā)展了學生的核心素養(yǎng).現(xiàn)將不同的引入方式進行整理分析，與同行交流分享.

基于生活情境

拋物線的模型在生活中隨處可見，所以通過實物模型引入拋物線是一種簡單、直接的方式，此次展示課中，6位老師中有2位采用了通過創(chuàng)設生活情境引入拋物線，以下是他們使用的素材和引入方式（見表1）.

分析：從學生已有的經(jīng)驗出發(fā)，開門見山，創(chuàng)設與生活密切相關的情境，把生活經(jīng)驗數(shù)學化，數(shù)學問題生活化，不僅體現(xiàn)了數(shù)學源于生活的理念，也有利于吸引學生的注意力，激發(fā)學生的學習興趣，發(fā)展學生數(shù)學抽象、直觀想象的能力.

基于操作情境

所謂操作情境，就是指根據(jù)學生所要學習的數(shù)學知識或所要解決的數(shù)學問題的特點設計需要學生自己主動參與的操作性活動.

情境創(chuàng)設

師：如圖1，選擇一張畫有等距平行格線的紙張，作一條垂直格線的直線l，直線l與格線相交于9個空心點，在紙張中心位置取一定點F，依次連接空心點與定點F，再分別作連線的垂直平分線，依次交平行格線得到9個交點. 再用平滑的曲線連接每個交點，并思考由對折形成的交點滿足什么樣的幾何條件？

學生：動手操作，用平滑的曲線依次連接每個交點，得到一條拋物線.

師：得到的每個交點與定點F和定直線l有何關系？

學生：每個交點到定點F和到定直線l的距離相等.

師：同學們可以對拋物線下一個定義嗎？

分析：學生對拋物線定義的提煉及理解是本節(jié)課的一個重點，設計一個折紙試驗，能夠讓學生在動手操作的過程中，經(jīng)歷拋物線的形成過程，從而對定義有更深刻的理解.通過試驗來歸納、抽象出拋物線的定義，有助于發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).

生活情境與操作情境相結(jié)合

情境創(chuàng)設

問題1：某村莊有兩處水源：一條河和一口井，請你畫一條合理的取水分界線，供村民取水時參考.

問題2：實際問題中涉及哪些實物？又該把它們抽象成什么數(shù)學對象呢？

學生：河、井，河可以抽象成一條直線，井可以抽象成一個定點，村民的家抽象成平面內(nèi)的一些點.

問題3：分界線上的點滿足怎樣的幾何條件呢？

學生：分界線上的點到定點距離等于到定直線的距離.

問題4：請同學描出滿足要求的幾個點，并將點連接成線，了解曲線的大致形狀.

學生：通過直觀感覺描出3個點，大致看出3個點的連線接近于拋物線形狀.

師：通過動畫演示增加點的個數(shù)，隨著點數(shù)的增加，取水分界線越來越接近于一條開口向上的拋物線，從而引導學生歸納出拋物線的定義和推導出開口向上的拋物線的方程.

分析：畫出取水分界線，為學生提供一個能夠探究問題的情景，而不是提供現(xiàn)成的知識.根據(jù)實際問題的特點，將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，有助于提升學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).通過模擬實際問題的背景，學生對形成的幾何圖形有了直觀的感知，并歸納得出分界線上點的幾何性質(zhì)，有利于培養(yǎng)學生的觀察能力、分析能力和歸納能力.

基于歷史情境

歷史情境是以數(shù)學的歷史發(fā)展為出發(fā)點，教師通過對歷史的解讀和理解，選擇具有科學性的、針對性的、趣味性的數(shù)學史知識進行引入，讓學生了解數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)過程，學習數(shù)學家探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識的思想與方法，實現(xiàn)對數(shù)學知識的再發(fā)現(xiàn)過程.

情境創(chuàng)設

希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯在其著作《圓錐曲線》中用一個與圓錐的一條母線平行的平面去截該圓錐，他把該平面與該圓錐截得的交線命名為拋物線，那么這條拋物線有什么特點？

師：如圖4所示，一個圓錐里面放置一個球體，一個與母線CE平行且與球體相切的平面MAPG去截圓錐，截出的交線是一條拋物線.BC與球O相切，將BC平移可以得到DO，DO平移得到PA，易證OD⊥AM，所以PA⊥AM.又PQ與PF都與球相切，所以PQ=PF，而PQ=BC，所以PF=BC=PA，所以點P到定直線AM與到定點F的距離相等，點P為截面與上底面圓環(huán)的交點，這樣的交點都在拋物線上，它們都滿足到定直線AM與到定點F的距離相等.

分析：基于歷史的情境創(chuàng)設方式，揭示了拋物線概念的形成過程，不僅增強課堂的趣味性和文化性，而且使學生對概念有更加深入的理解，提高學生對知識的遷移能力，發(fā)展學生邏輯推理和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).需要說明的是，整個引入對歷史事實的解釋和證明難度較大，學生難以在較短的時間內(nèi)接受.所以只需要進行簡單的史實介紹，讓學生了解就行.

基于數(shù)學情境

從數(shù)學知識的產(chǎn)生過程來看，數(shù)學的初次抽象建立在以現(xiàn)實生活情境為素材的原型之上;數(shù)學一經(jīng)構(gòu)造就具有“形式客觀性”和“相對獨立性”，從而又可以成為進一步抽象的“具體原型”.因此，數(shù)學情境也可以源于數(shù)學自身.

情境創(chuàng)設1

1. 給出兩個數(shù)學問題：

（1）已知動點P到定點F（0，1）的距離與到直線y=-1的距離相等，則點P的軌跡是什么？

學生：通過計算得到點P的軌跡方程為y=■x2，為開口向上的拋物線.

（2）已知動點P到定點F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等，則點P的軌跡是什么？

學生：通過計算得到點P的軌跡方程為y2=4x，猜測為開口向右的拋物線.

2. 利用圖形計算器畫出上述兩個問題中動點的軌跡，觀察第二個圖像是不是拋物線？兩個圖像有什么關系？

學生：運用圖形計算器，發(fā)現(xiàn)第二個圖像仍為拋物線，并且兩個圖像關于y=x對稱.

3. 請問這兩個問題中點P的條件有什么共性？

學生：點P到定點距離等于到定直線的距離.

師：你能給拋物線下一個定義嗎？（給出拋物線的定義）

情境創(chuàng)設2

師： 在拋物線y=■x2上任取幾個點，計算這幾個點到定點（0，1）和到定直線y=-1的距離，觀察結(jié)果，得到什么結(jié)論？

學生：通過計算發(fā)現(xiàn)，拋物線y=■x2上任意選取的點到定點（0，1）和到定直線y=-1的距離相等.可設拋物線y=■x2上的點為a，■a2，易得a，■a2到（0，1）的距離為■= ■=■a2+1，a，■a2到y(tǒng)=-1的距離為■a2+1=■a2+1，所以拋物線y=■x2上的每個點到定點（0，1）和到定直線y=-1的距離都相等.

師：看來，平面內(nèi)給定一條拋物線，存在一個定點和一條定直線，使得拋物線上的點到這個定點和這條定直線的距離相等.那么反之，平面內(nèi)到一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線嗎？（引導學生推導拋物線的標準方程）

分析：以上兩種方式，都是以數(shù)學問題為載體，從二次函數(shù)圖像是拋物線這個認知基礎出發(fā)，引發(fā)學生對拋物線進行更深層次的思考. 第一種方式中，學生可在實踐操作中，體會拋物線幾何本質(zhì)發(fā)揮的作用，在此基礎上，提煉概念，補充概念，運用概念.第二種方式探究拋物線上的幾個特殊點到定點和定直線距離的關系，進而探究拋物線上任意一點到定點和定直線的距離關系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從特殊到一般，反過來，研究滿足到定點和定直線距離相等的點的軌跡是否是拋物線，體現(xiàn)了曲線與方程的純粹性和完備性，兩種方式都不同程度地發(fā)展了學生數(shù)學抽象和邏輯推理能力。