梅瀚桐，麻黎娟，吳光輝，邵 翔，許朋亞

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，陜西 西安 710072； 2. 火箭軍裝備部駐北京地區(qū)第一軍事代表室，北京 100076； 3. 上海機電工程研究所，上海 201109)

0 引 言

遠(yuǎn)程導(dǎo)彈飛行包線大，飛行特性在包線內(nèi)快速大范圍變化，飛行環(huán)境復(fù)雜多變，受到來自環(huán)境和敵方的各種干擾，遠(yuǎn)程導(dǎo)彈的控制精度會下降甚至失穩(wěn)。另一方面，作為一個復(fù)雜的被控對象，隨著其機動性能的提高，姿態(tài)控制系統(tǒng)具有高不確定性、強耦合、快時變以及強非線性等特征，傳統(tǒng)的線性控制方法難以滿足姿態(tài)控制系統(tǒng)對精確度和穩(wěn)定性的要求[1]。近年來，各種非線性控制方法成為研究熱點，如魯棒控制[2]、滑模自適應(yīng)控制、自抗擾控制[3]等，并取得了諸多進(jìn)展。

王嫡[4]針對3個子系統(tǒng)分別設(shè)計了反步滑模變結(jié)構(gòu)控制器，以解決導(dǎo)彈姿態(tài)控制中的全局魯棒性問題。蔣瑞民等[5]針對存在非線性和不確定性的傾斜轉(zhuǎn)彎導(dǎo)彈姿態(tài)控制問題，提出了基于干擾估計的魯棒方差控制方法，將姿態(tài)運動中非線性項和不確定項作為總干擾，采用干擾觀測器進(jìn)行估計，并引入控制系統(tǒng)進(jìn)行補償，使得魯棒方差姿態(tài)控制器能夠保證良好的控制效果。丁力等[6]為了提高復(fù)雜干擾情況下的姿態(tài)穩(wěn)定控制，設(shè)計了一種自抗擾無源控制器，達(dá)成姿態(tài)控制和有效抑制外部干擾的目的，提高了控制精度和系統(tǒng)的魯棒性。文獻(xiàn)[7]針對范數(shù)有界的不確定性和有界連續(xù)的未知干擾，通過設(shè)計一個滑模狀態(tài)觀測器和一個自適應(yīng)參數(shù)估計器，基于獲得的狀態(tài)估計值和未知參數(shù)估計值，提出了一種基于自適應(yīng)動態(tài)面的跟蹤控制律，通過仿真證明了自適應(yīng)滑模動態(tài)面控制策略具有更好的跟蹤效果。唐碩[8]引入自抗擾控制器(active disturbance rejection controller，ADRC)技術(shù)，并針對飛行減載控制對其進(jìn)行改進(jìn)，不僅通過狀態(tài)觀測器將誤差補償引入自抗擾回路，還改進(jìn)了自抗擾控制器中的控制律，給出了控制方程中增益的選擇方法，證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，提高了系統(tǒng)的魯棒性。常怡鵬等[3]設(shè)計了一款基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補償動態(tài)逆誤差的控制器，為降低導(dǎo)彈的強非線性以及強耦合性，采用兩個回路相應(yīng)的姿態(tài)控制器以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補償逆誤差的方法，以提高控制系統(tǒng)的魯棒性。荊家瑋等[9]在參數(shù)時變不確定的條件下，面向具有故障的制導(dǎo)火箭執(zhí)行機構(gòu)，采用基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測器的故障估計方法設(shè)計了一種魯棒自適應(yīng)容錯補償控制器。

為了提高復(fù)雜干擾情況下的姿態(tài)控制精度，本文提出了一種自適應(yīng)反步姿態(tài)控制器。首先，建立了遠(yuǎn)程導(dǎo)彈的模型，為了避免姿態(tài)奇異問題，將基于歐拉角的模型轉(zhuǎn)化為基于四元數(shù)的剛體運動學(xué)模型；然后，在此基礎(chǔ)上設(shè)計了一種自適應(yīng)反步姿態(tài)控制器，對外界干擾進(jìn)行自適應(yīng)估計和補償，并基于Lyapunov函數(shù)方法證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性；最后，通過仿真驗證了本文所提方法的有效性。

1 姿態(tài)控制系統(tǒng)狀態(tài)空間模型建立

遠(yuǎn)程導(dǎo)彈的運動是剛體運動和非剛體運動高度耦合的復(fù)合運動，其中剛體運動是導(dǎo)彈的基本運動，控制系統(tǒng)的主要任務(wù)就是控制剛體運動并抑制非剛體運動。本文主要討論遠(yuǎn)程導(dǎo)彈的姿態(tài)控制，因此重點研究繞3個慣量主軸的角度運動，并忽略質(zhì)心運動參數(shù)偏差對繞質(zhì)心運動的影響。本文假設(shè)遠(yuǎn)程導(dǎo)彈飛行過程中的彈性變形位移及轉(zhuǎn)角較小，動力學(xué)建模忽略導(dǎo)彈的非剛體運動，將遠(yuǎn)程導(dǎo)彈簡化為剛體，其質(zhì)心位置不發(fā)生改變，同時忽略結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差(如質(zhì)量和慣量偏差等)對干擾運動的影響，也不考慮高度對氣動系數(shù)和推力的影響。

定義研究對象的四個芯級發(fā)動機分別為Cj(j=1,2,3,4)，對應(yīng)的發(fā)動機擺角為δj(j=1,2,3,4)，rc代表芯級發(fā)動機的擺動噴管距離導(dǎo)彈軸向中心線的距離。本文假設(shè)發(fā)動機的各個推力大小一致，即P1=P2=P3=P4。導(dǎo)彈的發(fā)動機擺角示意如圖1所示，擺角幅值限制為±18°。

圖1 導(dǎo)彈的發(fā)動機擺角示意圖Fig.1 The engine swing angle of the missile

1.1 基于歐拉角的導(dǎo)彈運動學(xué)動力學(xué)模型

根據(jù)導(dǎo)彈繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程和導(dǎo)彈的運動學(xué)方程，定義如式(1)所示的狀態(tài)變量。

(1)

式中：狀態(tài)變量X0代表描述彈體坐標(biāo)系相對導(dǎo)航坐標(biāo)系的姿態(tài)角(俯仰角φT、偏航角ψT、滾轉(zhuǎn)角γT)；狀態(tài)變量X2是在彈體坐標(biāo)系中表達(dá)的系統(tǒng)相對導(dǎo)航坐標(biāo)系的角速度矢量(滾轉(zhuǎn)角速度ωTx1、偏航角速度ωTy1、俯仰角速度ωTz1)。

根據(jù)導(dǎo)彈的姿態(tài)運動學(xué)方程和姿態(tài)動力學(xué)方程，建立基于歐拉角的遠(yuǎn)程導(dǎo)彈運動方程組，如式(2)所示。

(2)

式中：

f=MRst+MRD+Mδ+M′k；

式中：J是彈體坐標(biāo)系中的慣量張量式；u是輸入的擺角矩陣；B是控制分配矩陣，xR為芯級發(fā)動機鉸鏈點位置距導(dǎo)彈彈體理論尖端的距離，xg為導(dǎo)彈質(zhì)心距導(dǎo)彈彈體尖點的距離；f是系統(tǒng)的非線性項力矩，MRst是氣動穩(wěn)定力矩，MRD是氣動阻尼力矩，Mδ是發(fā)動機擺動慣性力矩，M′k是附加哥氏力矩；dext是模型的干擾力矩，MB是導(dǎo)彈力學(xué)環(huán)境中的結(jié)構(gòu)干擾力矩或其他外部干擾力矩。

1.2 基于四元數(shù)的導(dǎo)彈運動學(xué)動力學(xué)模型

采用姿態(tài)角描述運動模型，無法保證從坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣求出唯一姿態(tài)角φT、ψT、γT的性質(zhì)，即存在歐拉角的奇異性。為了統(tǒng)一導(dǎo)彈飛行的動力學(xué)模型并避免姿態(tài)角奇異，遠(yuǎn)程導(dǎo)彈在空間運動中一般采用四元數(shù)進(jìn)行姿態(tài)描述。因此，本文對四元數(shù)的姿態(tài)描述方法進(jìn)行討論，進(jìn)而完成基于四元數(shù)的控制系統(tǒng)設(shè)計。

重新定義基于標(biāo)準(zhǔn)四元數(shù)的狀態(tài)變量X1為

X1=[q1q2q3q0]T=[qTq0]T

(3)

在式(2)的基礎(chǔ)上，得到面向標(biāo)稱狀態(tài)的執(zhí)行機構(gòu)，基于四元數(shù)的導(dǎo)彈運動學(xué)模型為

(4)

式中：

現(xiàn)定義矩陣S(x)∈R3×3是一個斜對稱矩陣，且滿足對于任意矢量x,y∈R3，S(x)y=x×y。則S(q)可以表達(dá)為

(5)

將式(5)代入式(4)，整理得到基于四元數(shù)的導(dǎo)彈剛體運動學(xué)模型為

(6)

式中：I3為3×3的單位矩陣。

2 自適應(yīng)反步姿態(tài)控制方法

2.1 姿態(tài)跟蹤誤差動態(tài)方程

姿態(tài)跟蹤誤差X1e被定義為

(7)

角速度誤差X2e可以被描述為

X2e=X2-R(X1e)X2d

(8)

式中：X2d是彈體坐標(biāo)系下的期望角速度；R(X1e)為姿態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

姿態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣R(X1e)被定義為

R(X1e)=(qe02-qeTqe)I3+2qeqeT-2qe0S(qe)

(9)

因此，姿控系統(tǒng)的姿態(tài)跟蹤誤差動態(tài)方程可以用式(10)描述，即

(10)

本文的控制目標(biāo)是在遠(yuǎn)程導(dǎo)彈存在外部干擾的情況下，設(shè)計自適應(yīng)反步姿態(tài)控制器，實現(xiàn)精確的姿態(tài)穩(wěn)定和跟蹤。為了證明所提方法的穩(wěn)定性，提出以下合理假設(shè)：

2.2 自適應(yīng)反步姿態(tài)控制律設(shè)計

設(shè)計內(nèi)環(huán)虛擬控制律為

X2e,virtual=-kqe

(11)

式中，k是一個待設(shè)計的參數(shù)，k>0。

定義姿態(tài)角速度跟蹤誤差的估計誤差為

(12)

設(shè)計包括非線性反饋項和自適應(yīng)補償控制律的外環(huán)理論控制律，表達(dá)為

(13)

d=dext

(14)

考慮以下l2最優(yōu)控制分配問題[10]來計算理論控制輸入u,即

(15)

根據(jù)文獻(xiàn)[11]，可以直接得到式(15)的求解，為

(16)

(17)

式中，η0為自適應(yīng)更新率參數(shù)。

姿態(tài)角將會精確地收斂到期望值，從而實現(xiàn)精準(zhǔn)的姿態(tài)跟蹤。這個結(jié)果將在下一節(jié)中得到證明。

2.3 穩(wěn)定性證明

我們將自適應(yīng)參數(shù)估計誤差定義為

(18)

式(18)等號兩邊同時對時間求導(dǎo)可得

(19)

由式(10)～(16)，閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)方程可以推導(dǎo)為

(20)

考慮一個Lyapunov函數(shù)候選，如式(21)所示。

(21)

顯然，這個Lyapunov函數(shù)是正定的。

V1的導(dǎo)數(shù)為

(22)

結(jié)合式(20)中的第一個方程，可以得到

(23)

V2的導(dǎo)數(shù)是

(24)

再利用式(20)中的第二個方程，可以得到

(25)

將自適應(yīng)參數(shù)更新律式(17)代入式(25)，再將其與式(23)合并，可得

(26)

(27)

3 仿真及結(jié)果分析

為驗證上述反步控制器的控制性能，首先選擇某一特征點處數(shù)據(jù)進(jìn)行單點測試仿真分析。

假設(shè)外部干擾dext=[0.1;0.1;0.1]。設(shè)計的控制增益與參數(shù)如表1所示。

表1控制增益與自適應(yīng)參數(shù)的設(shè)計Tab.1 Control gain and adaptive parameter design

圖2 俯仰角及期望俯仰角輸出Fig.2 Pitch angle and expected pitch angle

圖3 偏航角及期望偏航角輸出Fig.3 Yaw angle and expected yaw angle

圖4 滾轉(zhuǎn)角及期望滾轉(zhuǎn)角輸出Fig.4 Roll angle and expected roll angle

圖5 俯仰角速度及期望角速度輸出Fig.5 Angular velocity and expected angular velocity of pitch

圖6 偏航角速度及期望角速度輸出Fig.6 Angular velocity and expected angular velocity of yaw

圖7 滾轉(zhuǎn)角速度及期望角速度輸出Fig.7 Angular velocity and expected angular velocity of roll

圖8 自適應(yīng)參數(shù)輸出Fig.8 Adaptive parameters

圖9 舵偏角δ輸出Fig.9 Rudder deflection angle δ

由圖3～9可知，針對存在有界外部干擾的遠(yuǎn)程導(dǎo)彈，采用自適應(yīng)反步姿態(tài)控制器可使導(dǎo)彈三軸的姿態(tài)角及角速度在3 s左右收斂，顯示出優(yōu)良的控制性能，可以保證導(dǎo)彈姿態(tài)穩(wěn)定控制的要求。

4 結(jié)束語