鄭 瑄 沈吉兒

(1.浙江省寧波市江北區(qū)教育局教研室 315000 2.浙江省寧波教育學(xué)院 315000)

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2017年第4期，臧華老師撰文“好的例題教學(xué)是照亮學(xué)生解題的燈塔”，同年《數(shù)學(xué)通報(bào)》第10期，陳延付老師繼續(xù)撰文“再談好的例題教學(xué)是照亮學(xué)生解題的燈塔”.筆者也深深地被此標(biāo)題所吸引.悉心拜讀，怦然心動(dòng)，共振共鳴，啟迪良多.二位老師，從高中數(shù)學(xué)教學(xué)的層面，闡述、分享了解題教學(xué)的心得，引發(fā)筆者從初中數(shù)學(xué)教學(xué)的層面，對解題教學(xué)的實(shí)踐進(jìn)行了回顧、省思和整理，如今也撰文如下，就教同仁.

1 思考

首先，有三點(diǎn)值得思考：何為好的例題？何為好的解題？何為好的解題教學(xué)？此處，彰顯著教師對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解與通透，對數(shù)學(xué)問題的品析與鑒賞，對數(shù)學(xué)教學(xué)持有的基于人性關(guān)懷與人文情懷的獨(dú)特的教學(xué)觀.

何為好的例題？選擇的標(biāo)準(zhǔn)是什么？仁者見仁、智者見智.況且，一千個(gè)觀者眼里有一千個(gè)哈姆雷特.筆者以為，例題的選擇，既要考慮對知識的形成、鞏固、拓展有裨益；又要關(guān)注問題的典型性、方法的啟迪性、思維方式的科學(xué)性、思維品質(zhì)的培植性；還要有趣味、有品味、有意味；更要能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)獨(dú)特的育人價(jià)值，此乃數(shù)學(xué)的獨(dú)特貢獻(xiàn)之所在.

好的解題，是循自然而動(dòng)，由著蔓藤(條件和規(guī)則)，攀援(思考和探究)向前，優(yōu)雅、流暢且意蘊(yùn)綿長，過程中無不領(lǐng)略著遇見靈感和頓悟感佩的美好，同時(shí)，又不乏智慧與挑戰(zhàn).臃腫、笨拙、突兀的解題方法，總不能令人愉悅和欣然，只能引起沮喪和泄氣.此時(shí)，還要特別關(guān)注的是，當(dāng)諸多解題方法紛至沓來之時(shí)，定要梳理、反思、歸納其背后的共性與共融.

何為好的解題教學(xué)？答案自然是繽紛多彩、眾說紜紜.然而，最令筆者驚嘆和觸動(dòng)的是波利亞《怎樣解題》開篇第一部分“在教室里”的一段話：

學(xué)生應(yīng)當(dāng)獲得盡可能多的獨(dú)立工作的經(jīng)驗(yàn).但是，如果把問題留給他一人而不給他任何幫助，或者幫助不足，那么他可能根本得不到提高.而如果教師的幫助太多，就沒有什么工作留給學(xué)生了.教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生，但不能太多，也不能太少，這樣才能使學(xué)生有一個(gè)合理的工作量.如果學(xué)生不太能夠獨(dú)立工作，那么教師也至少應(yīng)當(dāng)使他感覺自己是在獨(dú)立工作.為了做到這一點(diǎn)，教師應(yīng)當(dāng)謹(jǐn)慎地、不露痕跡地幫助學(xué)生.然而，最好是順乎自然地幫助學(xué)生.教師應(yīng)當(dāng)把自己放在學(xué)生的位置上，他應(yīng)當(dāng)看到學(xué)生的情況，應(yīng)當(dāng)努力去理解學(xué)生心里正在想什么，然后提出一個(gè)問題或是指出一個(gè)步驟，而這正是學(xué)生自己原本應(yīng)想到的.

波利亞此言易懂，但是真正踐行其實(shí)很難.因?yàn)橹苯觽魇诮Y(jié)果與告知答案，遠(yuǎn)比“謹(jǐn)慎地、不露痕跡地幫助學(xué)生”要容易的多.更深層次地思考，教師培植學(xué)生擁有的不僅僅是“獨(dú)立工作”的能力，更是培植學(xué)生由此而擁有的獨(dú)立的人格.就似陳寅恪先生的信仰，亦是他一生的追求——獨(dú)立之精神，自由之思想.達(dá)至做人、做事、做學(xué)問的和諧統(tǒng)一.

再者，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究，數(shù)學(xué)教育和教學(xué)，沒有解題萬萬不能，但僅有解題遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.

作為教師的我們，題目如何教得完？作為學(xué)生的孩子們，題目如何解得完？

關(guān)鍵是在解題教學(xué)中，教師帶領(lǐng)著學(xué)生在解題中學(xué)會(huì)解題.在解題中學(xué)會(huì)思考(怎么想)，在解題中學(xué)會(huì)行動(dòng)(怎么做)，在解題中學(xué)會(huì)反思(怎么悟).這與波利亞《怎樣解題》中的四個(gè)步驟(理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧)一脈相承！尤其是貌似無用之用的“回顧”，正是和王國維先生的“出乎其外、故有高致”遙相致意.

當(dāng)然，更重要的是，在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，領(lǐng)略品賞數(shù)學(xué)之美，培植理性精神與核心素養(yǎng)，達(dá)至精神世界的愉悅和生命狀態(tài)的超然.

2 三個(gè)案例

2.1 蘇格拉底的謬誤問題

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2016年第8期與2017年第10期，代欽教授的文章都提到了“蘇格拉底的謬誤問題”.筆者將其作為例題呈現(xiàn)于七年級的學(xué)生們，并一起展開了探究，非常有趣.

自線段AB的兩端作等長的線段AD和BC，使∠ABC為直角，∠BAD為鈍角.連結(jié)CD并作線段AB、CD的中垂線OM、ON，相交于O點(diǎn). 則AO=BO，CO=DO. 又AD=BC. 得△AOD≌△BOC，得∠OAD=∠OBC，又∠OAB=∠OBA，故∠BAD=∠ABC，即鈍角等于直角(圖1).

圖1

正如代欽教授的描述，48名學(xué)生的班級，最初幾乎人人都表現(xiàn)出十分的錯(cuò)愕和驚訝.

很快的，眾生云：不可能，這絕對不可能！

教師問：那么，問題可能出在哪兒呢？

學(xué)生們議論紛紛，繼而開始動(dòng)手嘗試，不過情態(tài)各異：一部分學(xué)生按老師提供的圖形，如素描般的在課堂練習(xí)本上依樣畫葫蘆地畫出圖形，并開始分析；11名學(xué)生用三角板、直尺畫出草圖進(jìn)行思考；6名學(xué)生利用一副三角板、圓規(guī)等作圖工具依據(jù)題意進(jìn)行作圖和考量(中垂線有用尺規(guī)作圖的，也有用刻度尺和直角作圖的)；當(dāng)然，還有個(gè)別只是瞪大兩眼盯著黑板上的圖形琢磨著……

過不了多久，就有學(xué)生果斷地發(fā)表觀點(diǎn)：交點(diǎn)O可能不在上方！

馬上有學(xué)生繼續(xù)表達(dá)：交點(diǎn)O不可能在線段AB上.確實(shí)如此，全等三角形對應(yīng)角相等.

現(xiàn)在，似乎有一絲絲光明在前方閃耀.

好，若交點(diǎn)O在線段AB的下方，教師出示給學(xué)生們看(圖2)：

圖2

同理可證得∠OAD=∠OBC，兩邊分別減去∠OAB及∠OBA，結(jié)果還是∠BAD=∠ABC.

總之，鈍角等于直角.

剛剛見到的一絲光明，瞬間熄滅.why？眾生又陷入困境.

圖8的方案鏈長與平均得分顯示出大致的線性關(guān)系，表明持續(xù)的修改會(huì)使方案質(zhì)量得到提高，但修改行為不一定是在同一個(gè)設(shè)計(jì)師手里完成的。

終于，有一位學(xué)生遲遲疑疑地說：交點(diǎn)O可能在下方更遠(yuǎn)一些的地方(有一回一位同仁揣摩可能在上方更遠(yuǎn)一些的地方).難道遠(yuǎn)、近有講究嗎？

教師請適才依據(jù)題意準(zhǔn)確作圖的學(xué)生呈現(xiàn)他們的成果(圖3)，發(fā)現(xiàn)OD與AD的位置關(guān)系是根本所在，圖2中OD在AD的右側(cè)，圖3中OD在AD的左側(cè). 原因找到了，一切恍然.

圖3

有一些思考和感悟，師生們共同歸納與分享.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和理性思考中，不能以直觀的表象為依據(jù)，而應(yīng)該以嚴(yán)格的邏輯為根據(jù).

(1)數(shù)學(xué)層面：論“準(zhǔn)確嚴(yán)謹(jǐn)作圖”的重要性.

(2)素養(yǎng)層面：論培植“思辨檢審、理性解釋”能力的重要性(批判性思維、創(chuàng)造性思維).

(3)人生層面：論養(yǎng)成“專注堅(jiān)持、自律自省、求真求是”品行德性的重要性.

此乃數(shù)學(xué)教育之“立德樹人”之貢獻(xiàn)所在.

2.2 阿波羅尼斯圓

阿波羅尼斯，古希臘數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德齊名.阿波羅尼斯圓是他論著中的一個(gè)著名問題：已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PA/PB=k，k>0且k≠1的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，也稱阿氏圓.歷年中、高考試題中都會(huì)依稀仿佛見到其蹤影.筆者也將其作為例題呈現(xiàn)于九年級的學(xué)生們，并與學(xué)生們一起進(jìn)行了探究，教學(xué)過程回味無窮.

筆者首先給出的是這樣一個(gè)問題(圖4)：

圖4

圖5

已知：△ABC中，AB=3，AC=2BC，

求: △ABC面積的最大值.

師問：你們是怎么想的呢？

生答：特殊位置！曾經(jīng)的經(jīng)驗(yàn)，鄰邊已知的平行四邊形，當(dāng)鄰邊互相垂直時(shí)，面積最大.

哦，聯(lián)想到記憶中的經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)——模型和范式.

解二：代數(shù)的自然聯(lián)想.根據(jù)三角形的面積公式，學(xué)生們希望能夠?qū)で驛B邊上高線的最大值，這確實(shí)是自然而然的思維走向.于是過點(diǎn)C作AB所在直線的垂線，垂足為D，考量高線的最大值(圖6).此時(shí)，學(xué)生們設(shè)了各種“元”，諸如a、b、h，代數(shù)的運(yùn)算舉步有些艱難，磕磕碰碰、踉踉蹌蹌，終于也有個(gè)別學(xué)生達(dá)至彼岸，得到最大面積為3.

圖6

因?yàn)閔2=(2a)2-(3+b)2=a2-b2

?a2=2b+3,

所以h2=a2-b2=2b+3-b2=-(b-1)2+4，

于是，出現(xiàn)了令人疑惑但又叫人興奮的問題：究竟哪個(gè)答案是對的？抑或兩個(gè)都不對？

解三：幾何直觀.滿足條件的動(dòng)點(diǎn)C在哪里？生云：圓！在線段AB上找到一點(diǎn)C1，使AC1=2BC1；在AB的延長線上找到一點(diǎn)C2，使得AC2=2BC2；以C1C2為直徑作圓O，則⊙O上的任意一點(diǎn)C(除C1、C2外)都是符合條件的點(diǎn)C(圖7①).

這簡直是數(shù)學(xué)家的行為.此時(shí)的點(diǎn)C1、C2如英雄一般地做了先行者，最后卻急流勇退，但是功不可沒.

師問：你是怎么想到的呢？

生答：猜的.(眾生笑)

師再問：如何證明就是此圓呢？

生再答：簡單！根據(jù)作圖所得數(shù)據(jù)，通過相似很快就能得證(圖7②)……

最令人釋然的是，彼時(shí)彼刻，解一的錯(cuò)誤已昭然若揭(圖7③).

圖7①

圖7②

圖7③

錯(cuò)誤讓學(xué)生觸動(dòng)良多：根據(jù)經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)歸納得到模型與范式，有時(shí)確實(shí)能夠事半功倍，但是成也蕭何、敗也蕭何，惟有追本溯源，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的自然之道.

但是，這個(gè)圓很難想到，數(shù)學(xué)家的行為并非人人擁有！如何讓思維來的更自然一些？

解四：解析法.解析法可以讓學(xué)生們確確實(shí)實(shí)看見那個(gè)圓(圖8).

圖8

因?yàn)锳C=2BC?AC2=4BC2

?x2+y2=4(x-3)2+4y2

?x2+y2-8x+12=0

?(x-4)2+(y-0)2=22，

所以由兩點(diǎn)間距離公式可知：點(diǎn)C(x,y)就在以點(diǎn)(4,0)為圓心，半徑為2的圓上.

解五：海倫公式.事實(shí)上，此法與作高法在本質(zhì)上是一致的.

也有一些思考與感悟，師生們共同歸納與分享.

(1)模型與范式的窠臼：無模勝有模，無招勝有招，達(dá)至“乘物以游心”之境.

(2)圓？為什么是圓？怎么想到是圓？

傅種孫先生在《高中平面幾何》的自序中說：幾何之務(wù)，不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然？

(3)如何讓數(shù)學(xué)經(jīng)典(mathematics classical)營造出意蘊(yùn)悠然的磁場，散發(fā)出引人入勝的氣息，令孩子們流連忘返、興趣盎然、欲罷不能，此乃數(shù)學(xué)教師的責(zé)任擔(dān)當(dāng).

2.3 拿破侖的尺規(guī)作圖問題

拿破侖的尺規(guī)作圖問題，出現(xiàn)在浙教版初中數(shù)學(xué)教科書九年級上冊第3章第7節(jié)作業(yè)題6：只準(zhǔn)使用圓規(guī)，將一個(gè)已知圓心的圓周四等分.

傳說這是拿破侖向全法國數(shù)學(xué)家發(fā)出的挑戰(zhàn)；2018年浙江省湖州市中考試題第9題中說拿破侖向他的大臣發(fā)問；也有說是意大利數(shù)學(xué)家馬歇羅尼向拿破侖提出的問題.其實(shí)這些都無關(guān)緊要，有趣味的是叱咤風(fēng)云、雄霸歐洲的梟雄拿破侖，居然與幾何作圖相干，幾何作圖令其著迷.

由此引發(fā)，筆者拋給學(xué)生一個(gè)非常簡單的問題：我們怎樣找到一條線段的中點(diǎn)？

剛上初一的兒童會(huì)問：老師，這條線段軟不軟，可以折嗎？一對折中點(diǎn)就有了.當(dāng)然，還可以用刻度尺.老百姓都知道的方法.

進(jìn)入初三的少年，斷然不會(huì)這樣問，他們通常不假思索地直接告訴你：尺規(guī)作圖.

對于尺規(guī)作圖，2000多年前古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在他的巨著《幾何原本》中做了嚴(yán)格的說明.古希臘數(shù)學(xué)家非常有意思，他們認(rèn)為幾何作圖要對作圖工具進(jìn)行限制，否則就不易看出誰比誰更聰明.

現(xiàn)在，我們將作圖工具進(jìn)行改變和限制：用一副刻度模糊的三角板作線段的中點(diǎn)(圖9).

圖9

用這副三角板推平行線任作一條直線MN∥AB；在直線AB、MN的同一側(cè)任取一點(diǎn)P，連結(jié)PA、PB，分別交直線MN于C、D；再連結(jié)AD、BC，相交于點(diǎn)E；畫射線PE交線段AB于點(diǎn)O，點(diǎn)O就是線段AB的中點(diǎn).

師問：可以聯(lián)想什么數(shù)學(xué)知識和方法來求證？(平行線-相似-對應(yīng)邊成比例-代數(shù)變形等)

好，我們繼續(xù)將作圖工具進(jìn)行改變和限制：只用一個(gè)圓規(guī).

一個(gè)圓規(guī)能干什么呢？你連一條線段也畫不了，不信試試看.

中國科學(xué)院院士張景中先生在他的《數(shù)學(xué)家的眼光》以及《數(shù)學(xué)雜談》中有生動(dòng)的敘述：

法1：直接拿圓規(guī)兩腳中帶筆頭的尖腳畫線(眾生笑)；

法2：固定圓規(guī)兩腳中的一個(gè)針腳，迅速向外拉另一個(gè)帶筆頭的腳(眾生又笑)；

法3：既然尺規(guī)作圖圓規(guī)的半徑無窮大，就以無窮大的半徑畫短短的一段弧，就像人站在地球表面貌似平面一樣(眾生疑慮重重，可信嗎？)；

哈，當(dāng)然，歐幾里得老先生是絕對不許你這么干的.

法4：在普通的圓柱形茶缸底部放一個(gè)不大不小的圓卡片，再在茶缸內(nèi)壁貼一張紙，把圓規(guī)的針腳扎在圓卡片的中心，在內(nèi)壁的紙上畫圓，畫好后把紙揭下來看看，所畫的圓變成了直線段(嗯嗯，眾生頷首稱道).

好吧，來看看，如何只用一個(gè)圓規(guī)平分線段(圖10)？只要作6個(gè)圓即可(眾生贊嘆).

圖10

當(dāng)然，師仍要問：可以聯(lián)想什么數(shù)學(xué)知識和方法來求證？(相似-對應(yīng)邊成比例)

好，現(xiàn)在，更厲害的來了！

上個(gè)世紀(jì)80年代，美國幾何學(xué)家、年逾七旬的丹·佩多(Daniel Pedoe)在加拿大的一份雜志《數(shù)學(xué)問題》上，提出“銹規(guī)作圖”.如果圓規(guī)生銹了，張不大，合不攏，只能畫半徑固定的圓，用它還能解決怎樣的幾何作圖問題呢？

張景中先生給出了趣題一則：你能用半徑固定(半徑為1)的圓規(guī)，畫一個(gè)半徑為1/2的半圓嗎？這個(gè)問題過于離奇，看來是不可能的.但是，別著急，一起來看看(圖11)，真不錯(cuò)，墻上的這個(gè)半圓就是半徑為1/2的圓.

圖11

當(dāng)然，歐幾里得老先生還是不許我們這么干的.

張景中先生給出了趣題再一則：訓(xùn)練有素的芭蕾舞演員，每跳一步，兩腳尖的距離不多不少總是1米.你能不能幫她設(shè)計(jì)一套舞步，使她從A點(diǎn)出發(fā)，準(zhǔn)確地到達(dá)B點(diǎn)呢？

不妨想象我們的圓規(guī)就是這樣一位芭蕾舞演員.(優(yōu)美的芭蕾舞演員被我們想象成冰冷的圓規(guī)，而且還是生了銹的.)

教師總是喜歡要問問學(xué)生們：你們怎么想？

生答：這回真的很困難，沒有想法、沒有思路.

有幾名學(xué)生終于忍不住發(fā)問：A、B兩點(diǎn)在哪里啊？

這是一個(gè)多么好的問題啊！好，如果AB恰好等于r，即AB=r，那么一步到位；如果AB

接著，可以來看看佩多教授究竟提出了怎樣的兩個(gè)問題：

(1)已知A，B兩點(diǎn)，只用一個(gè)定圓規(guī)求一點(diǎn)C，使△ABC是正三角形.

(2)已知A，B兩點(diǎn)，只用一個(gè)定圓規(guī)，找出線段AB的中點(diǎn).

前者：張景中先生和他的搭檔楊路圓滿地解決了.

后者：當(dāng)時(shí)我國的一位自學(xué)成才的數(shù)學(xué)愛好者侯曉榮用代數(shù)方法解決了，張景中和楊路又進(jìn)一步完善了它.

更有一些思考與感悟，師生們共同歸納與分享.

(1)歐幾里得的尺規(guī)作圖、佩多的緊圓規(guī)、甚至柏拉圖的松圓規(guī)……分析問題和解決問題的過程，令我們師生享受到思考和探究的快樂；但是，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的過程，更令我們師生們領(lǐng)略到數(shù)學(xué)家們的想象力和創(chuàng)造力的強(qiáng)大.

(2)波利亞《怎樣解題》中有一個(gè)有趣的蘑菇原理：“好題目和某種蘑菇有點(diǎn)相似.它們都成串生長.找到一個(gè)后，別急著走開，四處再看看，很有可能在附近又能找到更多的.”

(3)英國數(shù)學(xué)家哈代在他的《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》中這樣說：數(shù)學(xué)家在所有人里應(yīng)該是最容易“出世”的.當(dāng)世界瘋狂時(shí)，一個(gè)數(shù)學(xué)家可以在數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)一種無與倫比的鎮(zhèn)靜劑.

那是一個(gè)澄明、有趣、引人入勝的數(shù)學(xué)大磁場！科學(xué)的信仰、無限的遐想……

3 結(jié)語

好的例題教學(xué)是照亮學(xué)生解題的燈塔！

臧華老師的這座燈塔，照亮了學(xué)生遨游其間的數(shù)學(xué)海洋，并將學(xué)生從題海中解放出來，使學(xué)生“愛其學(xué)而親其師，承其難而知其益”；陳延付老師的這座燈塔，照亮了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的征途，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)理解能力的進(jìn)一步提升，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)探索精神的進(jìn)一步提升，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的進(jìn)一步提升；而筆者的這座燈塔，希冀能夠照亮、點(diǎn)燃學(xué)生們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的好奇之心、探究之意、品賞之樂，在思辨、質(zhì)疑、專注、自律中，一步一個(gè)腳印地走上科學(xué)之道，并由此，享受羅素形容為冷而嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)之美，領(lǐng)略由智力滿足帶來的深層次的快樂；生發(fā)一種超越世俗的平和的新的情感，養(yǎng)成一種善于獨(dú)立思考、不怕失敗、勇于堅(jiān)持的新的性格.