林亞磊，谷 峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 311121)

1 引言和預(yù)備知識

自2006年Mustafa 和Sime[1]提出G-度量空間的概念以來,G-度量空間中的不動點理論得到了迅猛的發(fā)展,人們獲得了許多重要的研究成果[2-10].2013年,谷峰和尹云[11]在G-度量空間中引入了映象對滿足公共(E.A)性質(zhì)的概念,并證明了一些新的公共不動點定理.此后,Gu和Shatanawi[12]、鄭慧慧,沈云娟和谷峰等[13]、Gu,Shen和Wang[14]、許志鵬和谷峰[15]以及胡品和谷峰[16]等使用公共(E.A)性質(zhì)和弱相容映象的概念,證明了一些新的公共不動點定理. 本文作為文獻(xiàn)[11-16]的一個繼續(xù),在G-度量空間的框架下,證明了3對自映象的一個滿足新型壓縮條件的公共不動點定理. 在文章的最后,還給出了一個支持新結(jié)果的實際例子.

由于本文結(jié)果中僅要求3對自映象都滿足弱相容條件,其中的2對滿足公共(E.A)性質(zhì),并且對空間的完備性和映象的連續(xù)性均不作要求.因而,我們的結(jié)果本質(zhì)地拓廣了當(dāng)前文獻(xiàn)中的某些已知結(jié)果.

定義1[1]設(shè)X是一非空集合,若G:X×X×X→[0,),滿足：

(1)G(x,y,z)=0?x=y=z；

(2)?x,y∈X,x≠y,有G(x,y,z)>0；

(3)?x,y,z∈X,y≠z,有G(x,x,y)≤G(x,y,z)；

(4)G(x,y,z)=G(x,z,y)=G(y,z,x)=G(y,x,z)=G(z,x,y)=G(z,y,x),?x,y,z∈X；

(5)?x,y,z,a∈X,有G(x,y,z)≤G(x,a,a)+G(a,y,z).

則稱函數(shù)G是X上的一個廣義度量,簡稱G是X上的一個G-度量,稱(X,G)為廣義度量空間或簡稱為G-度量空間.

引理1[1]設(shè)(X,G)為G-度量空間,則以下敘述相互等價：(1)序列{xn}收斂于x；(2)G(xn,xn,x)→0(n→)；(3)G(xn,x,x)→0(n→)；(4)G(xn,xm,x)→0(n,m→).

定義3[1]設(shè)(X,G)為G-度量空間,{xn}?X,如果?ε>0,存在正整數(shù)N,使得對于任意的n,m,l≥N,有G(xn,xm,xl)<ε,即G(xn,xm,xl)→0(n,m,l→),則稱序列{xn}為Cauchy列.

引理2[1]設(shè)(X,G)為G-度量空間,則以下敘述等價：(1)序列{xn}是Cauchy列；(2)?ε>0,?N,?n,m≥N,有G(xn,xm,xm)<ε,或G(xn,xm,xm)→0(n,m,→).

定義4[1]設(shè)(X,G)為G-度量空間,如果對于(X,G)上的每個Cauchy列都在X上是收斂的,則稱(X,G)為完備的G-度量空間.

定義5[17]設(shè)f,g是集合X上的自映象,若w=fx=gx,x∈X,則稱x為f,g的一個重合點,并稱w為f,g的一個重合像點.

定義6[17]稱集合X上的自映象對(f,g)是弱相容的,如果它們在重合點處是可交換的.

定義7[18]設(shè)(X,G)為G-度量空間,我們稱X上的自映象對(f,g)滿足G-(E.A)性質(zhì),若?{xn}?X使得{fxn},{gxn}都G收斂于某t(t∈X).

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)(X,G)為G-度量空間,映象f,g,h,R,S,T:X→X滿足以下條件：

(1)

?x,y,z∈X.其中常數(shù)k∈[0,1).如果滿足下列條件之一,則映象對(f,R),(g,S)和(h,T)在X中有公共重合像點.

(i)RX是X中的閉集,fX?SX,gX?TX,映象對(f,R)和(g,S)滿足公共(E.A)性質(zhì)；

(ii)SX是X中的閉集,gX?TX,hX?RX,映象對(g,S)和(h,T)滿足公共(E.A)性質(zhì)；

(iii)TX是X中的閉集,fX?SX,hX?RX,映象對(f,R)和(h,T)滿足公共(E.A)性質(zhì).

進(jìn)一步,當(dāng)3對映象(f,R),(g,S)和(h,T)都弱相容時,f,g,h,R,S和T有唯一公共不動點.

證明假設(shè)(i)成立,即RX是X的閉集,fX?SX,gX?TX,映像對(f，R)和(g，S)滿足公共(E.A)性質(zhì).由公共(E.A)性質(zhì)的定義可知,?{xn},{yn}?X和t∈X,使得

(2)

在上式中令n→,使用和式(2)得：

在上式中令n→,得到G(fu,t,t)≤kG(fu,t,t).因為k∈[0,1),所以G(fu,t,t)=0,于是fu=t=Ru,即u是f和R的一個重合點.

因為fX?SX,所以?v∈X,使得fu=Sv=t.再由式(1),可得

在上式中令n→,得到G(t,gv,t)≤kG(t,gv,t).因為k∈[0,1),所以G(t,gv,t)=0,于是gv=t=Sv,即v是g和S的一個重合點.

因為gX?TX,所以?w∈X,使得Tw=gv=t. 利用式(1),得到

注意到fu=Sv=t和Tw=gv=t,則上式變?yōu)镚(t,t,hw)≤kG(t,t,hw).因為k∈[0,1),所以G(t,t,hw)=0,于是hw=t=Tw,即w是h和T的一個重合點.

綜上,我們證明了當(dāng)條件(i)成立時,有fu=Ru=gv=Sv=hw=Tw=t.即t是映象對(f,R),(g,S)和(h,T)在X中的一個公共重合像點.

同理,如果滿足條件(ii)或(iii),證明過程與上述步驟類似,可得到同樣的結(jié)論.

進(jìn)一步,如果映象對(f,R),(g,S)和(h,T)都是弱相容的,則由

ft=fRu=Rfu=Rt,gt=gSv=Sgv=St,ht=hTw=Thw=Tt.

(3)

在式(1)中取x=t,y=v,z=w,并利用式(3)得到

G(ft,t,t)=G(ft,gv,hw)≤

kG(ft,t,t).

因為k∈[0,1),所以G(ft,t,t)=0,故ft=t,進(jìn)而有ft=t=Rt.

同理可證得,gt=St=t,ht=Tt=t.所以t是f,g,h,R,S和T的一個公共不動點.

下證公共不動點t是唯一的.事實上,假設(shè)p∈X是f,g,h,R,S和T的另一個公共不動點,在式(1)中取x=p,y=z=t,則得到

G(p,t,t)=G(fp,gt,ht)≤

kG(p,t,t).

因為k∈[0,1),所以G(p,t,t)=0,即t=p.于是公共不動點t是唯一的.

下面的例子表明定理1是有效的.

例1設(shè)X=[0,1],定義為G(x,y,z)=|x-y|+|y-z|+|z-x|, 則(X,G)是一個G-度量空間. 定義X上的自映象f,g,h,R,S和T分別為

則顯然f,g,h,R,S和T都是不連續(xù)映象,且RX是X中的閉集,fX?SX,gX?TX,hX?RX,映象對(f,R),(g,S)和(h,T)都是弱相容的.

我們分8種情況予以證明.

推論1設(shè)(X,G)為G-度量空間,映象f,g,h,R,S,T:X→X滿足以下條件：

G(fx,gy,hz)≤a1G(Rx,Sy,Tz)+a2G(fx,Rx,Rx)+a3G(gy,Sy,Sy)+a4G(hz,Tz,Tz)+

a5[G(fx,Sy,Tz)+G(Rx,gy,Tz)]+a6[G(Rx,gy,Tz)+G(Rx,Sy,hz)]+

a7[G(Rx,Sy,hz)+G(fx,gy,Tz)]+a8[G(fx,gy,Tz)+G(fx,Sy,hz)]+

a9[G(fx,Sy,hz)+G(Rx,gy,hz)]

?x,y,z∈X.其中常數(shù)ai≥0(i=1,2,3,4,5,6,7,8,9),滿足

a1+a2+a3+a4+2(a5+a6+a7+a8+a9)<1.

如果下列條件之一被滿足,則映象對(f,R),(g,S)和(h,T)在X中有公共重合像點.

(i)RX是X中的閉集,fX?SX,gX?TX,映象對(f,R)和(g,S)滿足公共(E.A)性質(zhì)；

(ii)SX是X中的閉集,gX?TX,hX?RX,映象對(g,S)和(h,T)滿足公共(E.A)性質(zhì)；

(iii)TX是X中的閉集,fX?SX,hX?RX,映象對(f,R)和(h,T)滿足公共(E.A)性質(zhì).

進(jìn)一步,當(dāng)3對映象(f,R),(g,S)和(h,T)都弱相容時,f,g,h,R,S和T有唯一公共不動點.

則

G(fx,gy,hz)≤a1G(Rx,Sy,Tz)+a2G(fx,Rx,Rx)+a3G(gy,Sy,Sy)+a4G(hz,Tz,Tz)+

a5[G(fx,Sy,Tz)+G(Rx,gy,Tz)]+a6[G(Rx,gy,Tz)+G(Rx,Sy,hz)]+

a7[G(Rx,Sy,hz)+G(fx,gy,Tz)]+a8[G(fx,gy,Tz)+G(fx,Sy,hz)]+

a9[G(fx,Sy,hz)+G(Rx,gy,hz)]≤[a1+a2+a3+a4+2(a5+a6+a7+a8+a9)]M(x,y,z).

令k=a1+a2+a3+a4+2(a5+a6+a7+a8+a9),則由已知條件知k∈[0,1).由定理1即得推論1成立.

注1 推論1中,在a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9這9個數(shù)中取其中 1個、2個、…、8個數(shù)為0,則可得出一系列推論,限于篇幅省略.

注2 本文所得結(jié)果都是新的,與當(dāng)前已有結(jié)果不同.