姬梁飛

摘? ?要? ?采用概念分析和比較研究的方法，解構(gòu)函數(shù)概念的生成方式，剖析函數(shù)思想的內(nèi)涵，提煉函數(shù)思想的個(gè)性意蘊(yùn)，探索函數(shù)應(yīng)用的通法。從而揭示了函數(shù)概念結(jié)構(gòu)特征，闡釋了概念認(rèn)知的動(dòng)態(tài)過程，明晰了函數(shù)思想生成與應(yīng)用形態(tài)，重構(gòu)了概念思想性與應(yīng)用性的科學(xué)價(jià)值。

關(guān)鍵詞? ?函數(shù)概念? 函數(shù)思想? 數(shù)學(xué)方法

數(shù)學(xué)思想是生成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑，是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的體驗(yàn)、反思、感悟及升華的思維成果，蘊(yùn)含著深刻的智力價(jià)值、方法價(jià)值以及應(yīng)用價(jià)值。函數(shù)思想是基本數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，是數(shù)學(xué)思想中具有支架性、基礎(chǔ)性的思想方法。函數(shù)最早見于18世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨的著作中，20世紀(jì)初由西方率先將其引進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)課程。德國數(shù)學(xué)家F·克萊因曾多次強(qiáng)調(diào)函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性，主張中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)以函數(shù)為中心。他認(rèn)為函數(shù)思想與空間觀察是數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)，應(yīng)以現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)改造、擴(kuò)充傳統(tǒng)數(shù)學(xué)內(nèi)容。在《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中，他提到了函數(shù)與微積分教學(xué)，主張把函數(shù)概念放在一個(gè)突出地位[1]。美國數(shù)學(xué)家M·克萊因認(rèn)為函數(shù)是研究運(yùn)動(dòng)對(duì)象中的基本概念，它在長達(dá)兩百年內(nèi)幾乎占據(jù)了所有數(shù)學(xué)工作的中心位置。他在《古今數(shù)學(xué)思想》一書中寫道，函數(shù)概念的采用，產(chǎn)生了微積分，這是全部數(shù)學(xué)中繼歐氏幾何后最大的創(chuàng)造[2]。在國內(nèi)，有學(xué)者甚至提出“以函數(shù)觀念為數(shù)學(xué)教育的核心”的理念[3]。在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》中，函數(shù)作為課程結(jié)構(gòu)的四條主線之一，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最基本的一個(gè)概念[4]。函數(shù)不僅教學(xué)地位突出，而且應(yīng)用廣泛，它跟隨機(jī)變量、算法、方程、不等式、線性規(guī)劃等知識(shí)都有緊密聯(lián)系，它又作為微積分的研究對(duì)象，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)。函數(shù)思想內(nèi)涵深刻豐富，思維價(jià)值深遠(yuǎn)，應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，是人類解決問題的一種重要思想方法。因此，探索函數(shù)概念內(nèi)涵之精義，闡釋思想之微妙，提煉個(gè)性之意蘊(yùn)，明晰方法之特性，踐行應(yīng)用之路徑，促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)之養(yǎng)成。

一、概念結(jié)構(gòu)：函數(shù)思想的認(rèn)知基礎(chǔ)

從學(xué)科內(nèi)容上看，數(shù)學(xué)主要由數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等四部分組成。數(shù)學(xué)概念作為數(shù)學(xué)學(xué)科的基本元素，每個(gè)概念都是通過精確的語言予以定義，且形式規(guī)范嚴(yán)格。函數(shù)概念也不例外，它是在集合、對(duì)應(yīng)、映射等概念基礎(chǔ)上的一種精確描述。

首先，現(xiàn)代函數(shù)概念的建立離不開三個(gè)構(gòu)成要素。集合、變量、對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)概念結(jié)構(gòu)中的三大元素，其中變量、集合論是函數(shù)的邏輯起點(diǎn)，對(duì)應(yīng)關(guān)系或映射是函數(shù)的內(nèi)核，符號(hào)語言、表達(dá)式是函數(shù)的數(shù)學(xué)化形式。函數(shù)正是建立在變量、映射、集合論的基礎(chǔ)上，采用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言來刻畫函數(shù)概念的內(nèi)部邏輯關(guān)系和外部表達(dá)形式（見圖1）。

其次，函數(shù)概念內(nèi)核是其對(duì)應(yīng)關(guān)系（映射法則）。函數(shù)是一種特殊的映射。關(guān)于映射法則f：A→B需要特別說明：①“對(duì)應(yīng)關(guān)系”強(qiáng)調(diào)數(shù)集B中對(duì)應(yīng)元素的唯一性，可以是“一對(duì)一”“二對(duì)一”“三對(duì)一”，甚至是“全對(duì)一”，但沒有“一對(duì)二”的情況。②關(guān)于映射的理解。映射包含了雙射、單射非滿射、滿射非單射、非滿非單射等四種情形。函數(shù)是在兩個(gè)集合均是數(shù)集的前提下，數(shù)集A中可以存在多個(gè)元素在數(shù)集B中有相同的象，但數(shù)集B中不存在多個(gè)元素在A中有相同的原象，即多元對(duì)一元，不能一元對(duì)多元。由于數(shù)集A中任意元素在數(shù)集B中都有象且唯一，所以映射中集合A都有象，數(shù)集B有可能存在剩余元素在A中沒有原象，如此，函數(shù)值域是數(shù)集B的子集，而不是數(shù)集B。

最后，函數(shù)概念的多種定義方式?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)概念強(qiáng)調(diào)用聯(lián)系和結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)看問題，突出概念的本質(zhì)特征。早期的函數(shù)概念被看成是變量和數(shù)學(xué)表達(dá)式的組合，或含有變量和常數(shù)的方程，沒有突出函數(shù)的本質(zhì)特征。現(xiàn)代數(shù)學(xué)定義函數(shù)概念的方式主要有“變量說”“映射說”“關(guān)系說”等三種方式[5]。呂世虎、王尚志等人更是認(rèn)為映射說、變量說以及關(guān)系說是認(rèn)識(shí)函數(shù)的三個(gè)維度[6]?！白兞空f”重形象直觀，“映射說”重變量間的依賴關(guān)系，“關(guān)系說”重?cái)?shù)學(xué)化形式。它們之間既相互聯(lián)系，又有本質(zhì)的區(qū)別，既是一種繼承，更是一種飛躍。例如，映射由最初的實(shí)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)，過渡到集合之間的對(duì)應(yīng)，再飛躍到變量的對(duì)應(yīng)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象關(guān)系的螺旋式發(fā)展。

二、圖式理解：函數(shù)思想的數(shù)學(xué)表征

從數(shù)學(xué)思維角度看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)包含了數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)觀念等多個(gè)層面。思想方法的認(rèn)知活動(dòng)涉及了概念架構(gòu)、組塊、模型、同化、圖式等心理組織系統(tǒng)，良好的概念圖式有助于思想方法的理解、應(yīng)用及操作。數(shù)學(xué)對(duì)象在心理上的表示形態(tài)跟其概念性質(zhì)、概念內(nèi)部結(jié)構(gòu)以及外部特征等要素密切相關(guān)（見圖2）。

布魯納將數(shù)學(xué)對(duì)象的表征方式分為符號(hào)性表征、圖象性表征、活動(dòng)性表征等三種。符號(hào)性表征是抽象化的記號(hào)、代碼、字母、數(shù)字等，脫離了原事物的具體特征;圖象性表征利用數(shù)表、圖形、格式化程序、象征性幾何線條表示某些數(shù)學(xué)操作或運(yùn)算;活動(dòng)性表征是通過組織適當(dāng)?shù)幕顒?dòng)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的發(fā)展順序或軌跡。按照信息加工形式，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形態(tài)主要有線性形態(tài)、樹形形態(tài)、網(wǎng)絡(luò)形態(tài)等三種形式，對(duì)函數(shù)概念及思想的信息處理則屬于網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)（見圖3）。

理解概念圖式、概念表象的操作程序，對(duì)于學(xué)習(xí)函數(shù)來說有著重要功效。深化函數(shù)概念的理解，需要建構(gòu)新舊知識(shí)間的聯(lián)系和相關(guān)的基礎(chǔ)圖式。在基礎(chǔ)圖式中，一個(gè)字母符號(hào)、一個(gè)變化模型、一條曲線都會(huì)對(duì)認(rèn)知的架構(gòu)，對(duì)符號(hào)意義的理解，對(duì)概念的形成產(chǎn)生必不可少的依托作用。

函數(shù)思想的數(shù)學(xué)表征反映了函數(shù)的基本性質(zhì)、外部特征以及應(yīng)用功能。函數(shù)具有奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性、凸凹性、有界性等基本性質(zhì)。這些思想性質(zhì)既是討論最值、變化規(guī)律、圖象直觀以及模型應(yīng)用的重要依據(jù)，也是刻畫函數(shù)內(nèi)涵、描述函數(shù)特性、應(yīng)用函數(shù)模型的數(shù)學(xué)表征。函數(shù)思想的數(shù)學(xué)表征在解決許多數(shù)學(xué)問題中具有重要功用。既可以研究某類特殊函數(shù)（比如三角函數(shù)的周期性，對(duì)稱函數(shù)的奇偶性），也可以研究一般函數(shù)（比如單調(diào)性是函數(shù)最根本性質(zhì)，幾乎適用一切函數(shù)）。

三、比較辨析：函數(shù)思想的個(gè)性意蘊(yùn)

函數(shù)概念是認(rèn)識(shí)函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)模型、函數(shù)思想的基礎(chǔ)和起點(diǎn)。函數(shù)思想又是對(duì)函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)模型的凝結(jié)和升華。函數(shù)思想就是應(yīng)用函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)模型等方式方法去發(fā)現(xiàn)、分析、轉(zhuǎn)化、解決現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)方法。

從哲學(xué)視角看，函數(shù)思想是刻畫事物運(yùn)動(dòng)、變化發(fā)展的辯證思維工具，用定量方法研究事物之間的數(shù)量關(guān)系。比如，隨時(shí)間變化，摩天輪上的某處距離地面的高度變化，臭氧層空洞面積隨時(shí)代變遷的變化規(guī)律等。因此，函數(shù)是反映一種聯(lián)系與變化的哲學(xué)觀，描述定量與變量、靜止與運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。從數(shù)學(xué)角度看，函數(shù)思想是反映一種思維方法的數(shù)學(xué)觀，一種應(yīng)用定量和變化觀點(diǎn)思考問題的思維意識(shí)。在函數(shù)的萌芽階段，它僅建立在簡(jiǎn)單的運(yùn)算法則、表格方法、邏輯算法、對(duì)應(yīng)規(guī)則等算術(shù)結(jié)構(gòu)上，作為一種“算式”的形態(tài)。陳惠勇曾分析了算法思想和函數(shù)思想的內(nèi)在關(guān)聯(lián)[7]。在函數(shù)創(chuàng)立的原始階段，它的雛形是“表達(dá)式”，此時(shí)仍是靜態(tài)形式。字母代數(shù)思想使數(shù)學(xué)研究對(duì)象從原來的常量空間逐漸過渡到變量空間，它是數(shù)學(xué)從靜止走向運(yùn)動(dòng)、特殊走向一般、算術(shù)走向代數(shù)的一種本質(zhì)飛躍。除此之外，方程思想、符號(hào)思想、映射思想也為函數(shù)思想的創(chuàng)建奠定了夯實(shí)的基礎(chǔ)。在函數(shù)思想的成熟階段，它的學(xué)術(shù)形態(tài)在本質(zhì)上是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，這也突出了函數(shù)的本質(zhì)特征，此時(shí)函數(shù)是一種動(dòng)態(tài)、變化的過程。在函數(shù)思想的完備階段，由于現(xiàn)代集合論、序偶理論的發(fā)展，使得函數(shù)思想趨于完善，同構(gòu)思想更是將函數(shù)的代數(shù)形式與幾何形式緊密結(jié)合起來，函數(shù)形態(tài)由解析式、圖象等多種表達(dá)形式走向融合與統(tǒng)一。函數(shù)思想的形成扎根于自身概念結(jié)構(gòu)之中，并吸納了算術(shù)、代數(shù)、數(shù)理邏輯、概率統(tǒng)計(jì)等結(jié)構(gòu)中的思想精華，彰顯了獨(dú)特的思想個(gè)性特征（見表1）。

四、應(yīng)用分析：思想火花的美麗綻放

從函數(shù)概念的生成到函數(shù)思想的解析，既是為了明晰函數(shù)概念內(nèi)涵，活躍訓(xùn)練思維，開闊數(shù)學(xué)視野，更是出于解決實(shí)際問題的需要。函數(shù)思想應(yīng)用涉及了幾何學(xué)（最值、曲線方程等）、代數(shù)學(xué)（方程近似解、方程根的判斷等）、運(yùn)籌學(xué)（線性規(guī)劃與目標(biāo)函數(shù)等）、概率論（概率密度函數(shù)、似然函數(shù)等）、數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)（回歸分析、用散點(diǎn)圖確定可能的函數(shù)形式）以及數(shù)學(xué)建模與探究活動(dòng)等諸多領(lǐng)域。例如，在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部，利用函數(shù)思想證明某些算法的全局收斂性[8]。除此之外，函數(shù)思想也是解決物理、化學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域中問題的重要工具。例如，運(yùn)用函數(shù)模型分解脈搏血流流量的波形[9]。應(yīng)用函數(shù)思想解決實(shí)際問題的主要方法有建構(gòu)函數(shù)模型和構(gòu)造函數(shù)情境。建模和構(gòu)造函數(shù)的主要工具是化歸，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，建構(gòu)常規(guī)函數(shù)模型和關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等工具來解決問題，尤其是導(dǎo)數(shù)，它是研究函數(shù)問題中最重要的工具。

函數(shù)思想貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，它與方程、不等式、微積分等其他知識(shí)有著天然的聯(lián)系。應(yīng)用函數(shù)思想離不開對(duì)實(shí)際問題和知識(shí)信息的深刻觀察比較和實(shí)驗(yàn)操作，通過綜合分析和理性思維作出選擇和判斷，這也是培育數(shù)學(xué)眼光和思維的有效路徑。

綜上所述，函數(shù)是研究定量與變量、靜止與運(yùn)動(dòng)等數(shù)量關(guān)系的一種思維方法，蘊(yùn)含著普遍聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)變化的哲學(xué)觀點(diǎn)。函數(shù)思想是認(rèn)識(shí)世界的一種思考方式，解決問題的一種思維方法。它是函數(shù)觀點(diǎn)的集中反映，是解決問題的一種基本思想方法。在其形成過程中，它吸納與凝結(jié)了多種數(shù)學(xué)思想方法，并展現(xiàn)了其獨(dú)特的思想個(gè)性魅力。函數(shù)思想的學(xué)習(xí)有助于邏輯思維能力的培育，數(shù)學(xué)建模意識(shí)的養(yǎng)成，解決問題能力的提升。應(yīng)用函數(shù)思想方法，需要領(lǐng)悟函數(shù)本質(zhì)，深化概念形成的認(rèn)知過程，積累豐富鮮活的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

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[作者：姬梁飛（1982-），男，河南信陽人，華中科技大學(xué)教育科學(xué)研究院，博士生。]

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