文 何君青
方程是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”中重要的一部分內(nèi)容,蘇科版九年級(jí)教材的第一章主要研究方程中的一元二次方程。近幾年來(lái),各地中考普遍從不同角度對(duì)一元二次方程的知識(shí)進(jìn)行比較全面、系統(tǒng)的考查,大部分試題通過(guò)直接考查一元二次方程的意義與解法,突出對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的考查;通過(guò)設(shè)置現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境,考查同學(xué)們列一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的能力,突出對(duì)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查;通過(guò)設(shè)置綜合性問(wèn)題,考查同學(xué)們對(duì)一元二次方程的靈活運(yùn)用,突出對(duì)方程思想的考查。下面就以一元二次方程與圖形結(jié)合的問(wèn)題為例進(jìn)行剖析,以期對(duì)同學(xué)們一元二次方程的學(xué)習(xí)有所幫助。
各地普遍采用設(shè)置符合同學(xué)們認(rèn)知的實(shí)際問(wèn)題情境的方式,考查列方程解決實(shí)際問(wèn)題的能力。特別突出的是,部分試題注重利用方程的結(jié)果,對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出判斷與預(yù)測(cè),或?qū)?shí)際問(wèn)題設(shè)計(jì)實(shí)施方案等方式,強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查。
例1用一條長(zhǎng)20cm的繩子能否圍成一個(gè)面積為30cm2的矩形?如能,說(shuō)明圍法;如果不能,說(shuō)明理由。
解:設(shè)矩形的長(zhǎng)為xcm,則寬為(10-x)cm。
根據(jù)題意,得x(10-x)=30,
即x2-10x+30=0。
因?yàn)棣?b2-4ac=102-4×30=-20<0,
所以此一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根。
答:用一條長(zhǎng)20cm的繩子不能圍成一個(gè)面積為30cm2的矩形。
【點(diǎn)評(píng)】題目在考查列方程的同時(shí),更關(guān)注對(duì)實(shí)際問(wèn)題理解能力的考查。若所求幾何圖形能構(gòu)成,則能算出具體的值;若不能構(gòu)成,則找不到符合條件的值,或無(wú)實(shí)數(shù)根,或算出的根不在實(shí)際范圍內(nèi)。
由于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是數(shù)學(xué)考試中重要的一類題型,所以一元二次方程還常常會(huì)與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合,考查同學(xué)們列方程解決問(wèn)題的能力。特別需要注意的是,部分試題會(huì)和面積、長(zhǎng)度等知識(shí)結(jié)合,考查同學(xué)們靈活運(yùn)用方程的能力。
例2如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,CB=6.5cm。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng),與此同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)。當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)P停止移動(dòng)。
(1)幾秒鐘后,S△PCQ=3cm2?
(2)幾秒鐘后,PQ=5cm?
解:(1)設(shè)x秒后,ΔPCQ的面積等于3cm2。
解這個(gè)方程,得x1=1,x2=3。
答:1秒或3秒后,△PCQ的面積等于3cm2。
(2)設(shè)t秒后,PQ的長(zhǎng)為5cm。
根據(jù)題意,得(4-t)2+(2t)2=52。
【點(diǎn)評(píng)】解決與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題融合的一元二次方程綜合題時(shí),同學(xué)們應(yīng)首先根據(jù)題意表示出各條線段的長(zhǎng)度,再根據(jù)所問(wèn)的問(wèn)題,列出方程,算出相應(yīng)的結(jié)果。遇到此類考題時(shí),同學(xué)們需特別注意要在最后檢驗(yàn)算出的結(jié)果是否符合實(shí)際情況,若不符合,需要舍去。
對(duì)于一元二次方程的求解方法,同學(xué)們一般想到的是直接開(kāi)平方、配方、公式、因式分解等方法,然而借助圖形也能求出一元二次方程的正根。這類問(wèn)題的研究有助于大家開(kāi)闊眼界,發(fā)展思維。
例3怎么用圖形解一元二次方程x2+2x-35=0(x>0)?
幾何建模:
(1)變形得:x(x+2)=35;
(2)畫(huà)四個(gè)長(zhǎng)為x+2,寬為x的矩形,構(gòu)造圖2;
(3)分析:圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式,(x+x+2)2或4個(gè)長(zhǎng)(x+2)、寬x的矩形之和加上中間邊長(zhǎng)為2的小正方形面積。
即(x+x+2)2=4x(x+2)+22,
因?yàn)閤(x+2)=35,
所以(x+x+2)2=4×35+22,
所以(2x+2)2=144,
因?yàn)閤>0,
所以x=5。
思考:請(qǐng)利用拼圖求關(guān)于x的一元二次方程x(x+b)=c(x>0,b>0,c>0)的解。
解:畫(huà)四個(gè)長(zhǎng)為x+b,寬為x的矩形,構(gòu)造圖3,則圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式:(x+x+b)2或4個(gè)長(zhǎng)為x+b、寬為x的矩形面積之和加上中間邊長(zhǎng)為b的小正方形面積。
即(x+x+b)2=4x(x+b)+b2,
因?yàn)閤(x+b)=c,
所以(x+x+b)2=4c+b2,
所以(2x+b)2=4c+b2,
因?yàn)閤>0,
【點(diǎn)評(píng)】此題從教材中一元二次方程拼圖法入手,以特殊的一元二次方程為背景拓展為一類一元二次方程的求法,對(duì)于同學(xué)們來(lái)說(shuō),有一定的難度,故題目鋪設(shè)了臺(tái)階,讓大家先了解解決的方法,再進(jìn)行探討。事實(shí)上,此題用因式分解法很簡(jiǎn)單,但拼圖法更形象、直觀。本題通過(guò)對(duì)同一個(gè)圖形面積整體和部分的不同表達(dá)探索出一元二次方程的正數(shù)解,同學(xué)們是否會(huì)聯(lián)想到一元三次方程的正數(shù)解的解法呢?平面上,一個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬可以看作是兩個(gè)關(guān)于x的代數(shù)式,求面積可以構(gòu)建一元二次方程,那么空間圖形中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高也可以看作是三個(gè)關(guān)于x的代數(shù)式,求體積是否可以構(gòu)建一元三次方程,從而借助體積不變的方法解決呢?