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        剖析一元二次方程中的常見錯解

        2020-12-17 11:56:12何加寬
        初中生世界 2020年35期
        關(guān)鍵詞:解方程襯衫剖析

        文 何加寬

        一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容,是中考中的“??汀?。有些同學(xué)由于概念不清、方法不明等原因,經(jīng)常在解決一元二次方程相關(guān)問題時出錯。現(xiàn)對一元二次方程的典型易錯題進(jìn)行舉例剖析,以供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。

        一、忽視二次項系數(shù)不為0

        例1若關(guān)于x的方程(m+1)xm2+1-2x+1=0是一元二次方程,則m的值為___________。

        【錯解】因為這是一元二次方程,所以含有未知數(shù)x的項的最高次數(shù)是2,即m2+1=2,解得m=±1。

        【剖析】本題考查一元二次方程的概念。錯因是對概念理解不透徹,忽視二次項系數(shù)a≠0。當(dāng)m=-1時,此方程變成一元一次方程,顯然不符合題意,所以m=-1應(yīng)舍去。

        【正解】由m2+1=2,得m=±1。又因為m+1≠0,即m≠-1,所以m的值為1。

        【點評】ax2+bx+c=0(a、b、c為常數(shù),a≠0)是一元二次方程的一般形式。同學(xué)們在解題時,不能看到“二次”就只顧“次數(shù)”,還需注意a≠0的條件限制。同學(xué)們平時對一元二次方程等概念的學(xué)習(xí),不僅要看“樣子”,還要關(guān)注“條件”。

        二、解方程步驟不清、忽視條件漏根

        例2解方程:(1)(x-1)2=4;(2)3x(x-3)=2(x-3)。

        【錯解】(1)x-1=2,x=3;(2)方程兩邊同除以x-3,得

        【剖析】(1)形如(x+h)2=a(a≥0)的一元二次方程可以用直接開平方法求解,根據(jù)平方根定義,x+h=±,而不是x+h=,這樣會丟根;(2)根據(jù)等式的性質(zhì):在等式的兩邊同乘(或除以)一個不為0的數(shù)或整式,等式仍然成立。在這里,很多同學(xué)沒有考慮x-3可以為0的情況,丟掉了x=3這個根。

        【正解】(1)x-1=±2,x-1=2或x-1=-2,即x1=3,x2=-1。

        (2)3x(x-3)-2(x-3)=0,(x-3)(3x-2)=0,x-3=0或3x-2=0,所以

        【點評】根據(jù)平方根定義,解方程時要明晰定義和性質(zhì),理清解方程的步驟,預(yù)防丟根;在應(yīng)用等式的性質(zhì)解方程時,切不可在方程兩邊同除以含未知數(shù)的代數(shù)式,否則將失根。增根好剔除,失根難尋找哦。

        三、忽視分類討論

        例3已知關(guān)于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0有實數(shù)根,求m的取值范圍。

        【錯解】因為關(guān)于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0有實數(shù)根,所以m-2≠0,[-2(m-1)]2-4(m-2)(m+1)≥0,解得m≤3且m≠2。

        【剖析】題目中沒有指明關(guān)于x的方程是一元二次方程,那么它也可能是一元一次方程,因此要對關(guān)于x的方程進(jìn)行分類討論。

        【正解】因為關(guān)于x的方程(m-2)x2-2·(m-1)x+m+1=0有實數(shù)根,

        所以(1)當(dāng)m-2=0,即m=2時,原方程可化為-2x+3=0,解得,則m=2時,方程有實數(shù)根;

        (2)當(dāng)m-2≠0,即m≠2時,[-2(m-1)]2-4(m-2)(m+1)≥0,解得m≤3且m≠2。

        綜上所述,m的取值范圍是m≤3。

        【點評】我們在解題時,要看清題意,不能盲目認(rèn)為有實數(shù)根的方程就是一元二次方程?!坝袑崝?shù)根”不等于“有兩個實數(shù)根”,對于含字母參數(shù)的方程ax2+bx+c=0存在實數(shù)根時,需分a=0和a≠0兩種情況分類討論。

        四、忽視實際意義

        例4某商場以成本為每件60元購進(jìn)一批襯衫,以每件100元的價格銷售,每天可賣出20件。為了擴(kuò)大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):若每件襯衫每降價5元,則每天可多賣10件。若商店平均每天盈利1200元,每件襯衫的售價應(yīng)定為多少元?

        【錯解】設(shè)每件襯衫的售價為x元。根據(jù)題意,得(x-60)[20+(100-x)]=1200,整理,得x2-170x+7200=0,解這個方程,得x1=90,x2=80。

        答:每件襯衫的售價為80元或90元。

        【剖析】根據(jù)“總盈利=單件利潤×銷售數(shù)量”,歸為“a×b=c”模型。本題要考慮“每件襯衫每降價5元,則每天可多賣10件”,轉(zhuǎn)化為每降價1元,每天多賣件,還要注意“盡快減少庫存”這個條件,對兩個根進(jìn)行取舍。

        【正解】設(shè)每件襯衫的售價為x元。

        整理,得x2-170x+7200=0,

        解這個方程,得x1=90,x2=80。

        因為商場要擴(kuò)大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,所以當(dāng)x1=90時,銷售量=20+(100-x)=40;當(dāng)x2=80時,銷售量=20+(100-x)=60,因此,每件襯衫的售價90元不合題意,舍去。

        答:每件襯衫的售價為80元。

        【點評】一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。檢驗方程的解,不僅要考慮是否適合方程本身,還要考慮是否符合實際意義。

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