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        乘風(fēng)破浪的韋達(dá)定理

        2020-12-17 11:56:12張明明
        初中生世界 2020年35期
        關(guān)鍵詞:韋達(dá)一元二次方程實(shí)數(shù)

        文 張明明

        韋達(dá)定理反映一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系,是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力武器,乘風(fēng)破浪全靠它。

        具體內(nèi)容如下:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是注意它的使用條件是b2-4ac≥0,其中,b2-4ac叫作根的判別式。

        也就是說(shuō),對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程,兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù);兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。

        若二次項(xiàng)為1,可以得到更簡(jiǎn)潔的結(jié)論:如果一元二次方程x2+px+q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1、x2,當(dāng)p2-4q≥0時(shí),那么x1+x2=-p,x1·x2=q。

        也就是說(shuō),對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根且二次項(xiàng)系數(shù)是1的一元二次方程,兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù),兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)。

        蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)“一元二次方程”這一章中有這樣一道例題:

        例題求下列方程兩根的和與兩 根 的 積:(1)x2+2x-5=0;(2)2x2+x=1。

        本題不需要解方程,第(1)題可以直接利用韋達(dá)定理求解;第(2)題可以先把方程改寫(xiě)成一般式,再利用韋達(dá)定理求解。中考中經(jīng)常看見(jiàn)韋達(dá)定理的身影,應(yīng)用的形式多種多樣。

        變式1(2020·黑龍江龍東)已知2+是關(guān)于x的方程x2-4x+m=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的值是( )。

        A.0 B.1

        C.-3 D.-1

        【解析】方法一:把x=2+代入方程得(2+)2-4(2+)+m=0,解得m=1。

        【小結(jié)】本題利用韋達(dá)定理可以大大減少運(yùn)算量,降低出錯(cuò)率。

        變式2(2019·四川成都)已知x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且-x1x2=13,則k的值為_(kāi)_______。

        【解析】根據(jù)題意,得x1+x2=-2,x1·x2=k-1,

        解得k=-2。

        【小結(jié)】如果題目中有兩根滿足的等式(或不等式),可以將此關(guān)系式進(jìn)行恒等變形,然后利用韋達(dá)定理代入,即可得到關(guān)于要求參數(shù)的方程(或不等式),從而求出參數(shù)的值(或范圍)。

        變式3(2019·山東淄博)若x1+x2=3,=5,則以x1、x2為根的一元二次方程是( )。

        A.x2-3x+2=0

        B.x2+3x-2=0

        C.x2+3x+2=0

        D.x2-3x-2=0

        【解析】因?yàn)椋▁1+x2)2=+2x1·x2,

        又因?yàn)閤1+x2=3=5,

        所 以2x1·x2=(x1+x2)2-()=9-5=4,

        所以x1·x2=2,

        所以以x1、x2為根的一元二次方程是x2-3x+2=0。選A。

        【小結(jié)】題目已知x1+x2的值,我們只要再求出x1·x2的值,就可以求出以x1、x2為根的一元二次方程x2-(x1+x2)·x+x1·x2=0。一般地,如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2滿足x1+x2=-p,x1·x2=q,則這個(gè)一元二次方程可以是x2+px+q=0(各項(xiàng)系數(shù)都乘相同的不為0的倍數(shù)也成立)。

        變式4(2019·湖北荊門(mén))已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2+(3k+1)x+2k2+1=0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根,且滿足(x1-1)(x2-1)=8k2,則k的值為_(kāi)__。

        【解析】因?yàn)閤1、x2是關(guān)于x的方程x2+(3k+1)x+2k2+1=0的 兩 個(gè) 實(shí)數(shù)根,

        所以x1+x2=-(3k+1),

        x1·x2=2k2+1。

        因?yàn)椋▁1-1)(x2-1)=8k2,

        即x1·x2-(x1+x2)+1=8k2,

        所以2k2+1+3k+1+1=8k2,

        解這個(gè)方程,得k1=-,k2=1。

        因?yàn)殛P(guān)于x的方程x2+(3k+1)x+2k2+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

        所以b2-4ac>0,把k的值代入檢驗(yàn)得k=1。

        【小結(jié)】在應(yīng)用韋達(dá)定理之前,我們要注意其運(yùn)用的前提是一元二次方程有解,即滿足判別式b2-4ac≥0,這往往是容易忽視的隱含條件,解題時(shí)要特別留心。

        小試牛刀

        1.(2020·江蘇泰州)方程x2+2x-3=0的兩根為x1、x2,則x1·x2值為_(kāi)_______。

        2.(2019·山東濟(jì)寧)已知x=1是方程x2+bx-2=0的一個(gè)根,則方程的另一個(gè)根是________。

        3.(2019·廣東廣州)關(guān)于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2,若(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1·x2=-3,則k的值是( )。

        A.0或2 B.-2或2 C.-2 D.2

        4.(2020·湖北鄂州)已知關(guān)于x的方程x2-4x+k+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

        (1)求k的取值范圍;

        (2)設(shè)方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x2,且求實(shí)數(shù)k的值。

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