譚康艷，晏 娟，聶 霞

(紅河學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 蒙自 661100)

0 引言

振動(dòng)動(dòng)力學(xué)問題具有其復(fù)雜性，許多問題的徹底解決在數(shù)學(xué)和力學(xué)上仍存在一定的難度，因而直到現(xiàn)在仍然有許多問題亟待進(jìn)行深入研究和解決，這些問題主要包括復(fù)雜非線性振動(dòng)系統(tǒng)的建模、非線性振動(dòng)問題的精確求解方法、復(fù)雜非線性結(jié)構(gòu)的解耦和數(shù)值計(jì)算及優(yōu)化方法研究等[1]。

隨機(jī)共振的概念首先是在1981年由Angelo Vulpoiani、Alfonso Sutera和Roberto Benzi等人研究古氣象冰川問題時(shí)提出的[2]，他們把由隨機(jī)力和弱周期力激勵(lì)而引起地球古氣象大幅度變動(dòng)的現(xiàn)象稱為“隨機(jī)共振”[3]。后期，Nicolis[4]在Benzi等人研究的基礎(chǔ)上，通過模擬第四紀(jì)冰期和暖氣候期，建立了描述氣候長期變化的隨機(jī)微分方程。隨機(jī)共振概念提出之后不久，Benzi等關(guān)于隨機(jī)共振的猜想在實(shí)驗(yàn)中得到了驗(yàn)證。1983年，F(xiàn)auve和Hesot在Schmitt觸發(fā)器的實(shí)驗(yàn)中，研究噪聲誘導(dǎo)躍遷過程的同步性時(shí)首次觀察到了隨機(jī)共振現(xiàn)象[5]。在國內(nèi)，關(guān)于振動(dòng)共振的一個(gè)最新研究進(jìn)展是Yang和Zhu在文獻(xiàn)[6]中首次將分?jǐn)?shù)階阻尼項(xiàng)引入了過阻尼和欠阻尼的Duffing振子中，并研究了分?jǐn)?shù)階阻尼項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階數(shù)對(duì)振動(dòng)共振現(xiàn)象的影響。

本研究在Yang等人的基礎(chǔ)上，將分?jǐn)?shù)階加速度項(xiàng)引入傳統(tǒng)的Duffing振子中，討論了由雙頻周期信號(hào)引發(fā)的具有分?jǐn)?shù)階加速度項(xiàng)和分?jǐn)?shù)階阻尼項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階Duffing動(dòng)力系統(tǒng)的振動(dòng)共振現(xiàn)象。

1 周期余弦勢能中的布朗馬達(dá)模型

1.1 周期余弦勢能線性耦合系統(tǒng)模型

由Langevin方程，在研究黏性介質(zhì)中Brown粒子受到的阻尼力時(shí)，將其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用廣義Langevin方程描述[7]：

其中，xi(t)為第i個(gè)粒子的位移，γ(t)為阻尼核函數(shù)，V(xi)為勢函數(shù)，k為耦合系數(shù)，F(xiàn)(t)=A(sinwt+0.5coswt)為粒子所受外力，D為噪聲強(qiáng)度，ξi(t)為零均值高斯白噪聲，滿足漲落耗散定理，即：

〈ξi(t)〉=0,〈ξi(t)ξj(s)〉=δij(t-s)

很多研究表明，粒子運(yùn)動(dòng)[8]不具有馬氏性，且距當(dāng)前時(shí)刻越近，歷史速度影響越大，據(jù)當(dāng)前時(shí)刻越遠(yuǎn)，記憶性越差。因此，本研究在廣義Langevin方程中將阻尼核函數(shù)建模為如下的冪律函數(shù)：

圖1 阻尼核函數(shù)γ(t)Fig.1 Damping kernel function γ(t)

圖1顯示了α取不同值時(shí)的阻尼核函數(shù)γ(t)。從圖中可觀察到，γ(t)隨著時(shí)間t的推移，冪次逐漸衰減；指數(shù)α越小，γ(t)衰減得越慢，即對(duì)歷史速度的記憶性越強(qiáng)；指數(shù)α越大，γ(t)衰減得越快，即對(duì)歷史速度的記憶性越弱?？梢姡笖?shù)α描繪了阻尼記憶的力量。

根據(jù)Caputo的分?jǐn)?shù)演算定義[9]有：

另一方面，根據(jù)Caputo分?jǐn)?shù)階微積分定義[10]有：

其中，F(xiàn)(t)=A(sinwt+0.5coswt)。

1.2 模型說明

這里，為了研究漲落存在時(shí)布朗粒子的運(yùn)輸特性，可通過耦合系統(tǒng)粒子鏈的平均流速來描述粒子的定向輸運(yùn)。平均流速[9]的表達(dá)式如下所示：

在該公式中，V是一個(gè)物理量，反映了布朗粒子的運(yùn)動(dòng)趨勢，T為時(shí)間，N表示系統(tǒng)中粒子的數(shù)量。

此研究用V(x)來描述勢能，V′(x)是布朗粒子外部勢場所產(chǎn)生的勢場力。本研究采用的棘輪勢為：

V(xi)=d(1-cosxi)

其中，d為勢壘高度。棘輪勢函數(shù)圖像如下：

圖2 棘輪勢函數(shù)V(x)示意圖Fig.2 Schematic diagram of ratchet potential function V(x)

本研究考慮的外力F(t)為周期余弦勢能：

F(t)=A(sinwt+0.5coswt)

其中，A為周期力的幅度，w為周期力的角頻率。

2 數(shù)值仿真與結(jié)果分析

因?yàn)楸狙芯康南到y(tǒng)模型比較復(fù)雜[9]，在后面數(shù)值模擬時(shí)，以兩個(gè)粒子組成的耦合系統(tǒng)為例，也就是取粒子數(shù)N=2：

(0<α<1)

(1)

其中,k為耦合強(qiáng)度，V(xi)=d(1-cosx)，F(xiàn)(t)=A(sinwt+0.5coswt)。

為了解釋方程(1)式中所刻畫的分?jǐn)?shù)階非線性耦合粒子的運(yùn)動(dòng)，可采用分?jǐn)?shù)階差分法進(jìn)行數(shù)值模擬仿真。取步長Δt=0.005s，時(shí)間Ts=50s，角頻率w=1。

當(dāng)k=0時(shí)，在系統(tǒng)為外力作用下單粒子是在棘輪勢中運(yùn)動(dòng)；當(dāng)k→∞時(shí)，所有粒子都剛性地結(jié)合在一起，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為與粒子之間的相互作用是不同的，相當(dāng)于在有效勢中單個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)：

(2)

本研究不討論上面的這種極端情況，重點(diǎn)是討論耦合強(qiáng)度k取某些值和粒子間相互作用時(shí)發(fā)生的復(fù)雜定向輸運(yùn)動(dòng)。

粒子時(shí)刻t受到的阻尼力為：

(3)

系統(tǒng)階數(shù)α越大，即系統(tǒng)的記憶性惡化，核函數(shù)γ(t)衰減越快，這說明以前速度對(duì)此刻阻尼力的助力減少，使得阻尼力減弱，此時(shí)阻尼力不強(qiáng)，才導(dǎo)致粒子定向輸運(yùn)速度越快；當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)α降低時(shí)，歷史速度有助于當(dāng)前的阻尼力增強(qiáng)，導(dǎo)致粒子定向輸運(yùn)減速。當(dāng)這種記憶在一定程度上達(dá)到提升時(shí)，會(huì)使粒子逆轉(zhuǎn)勢壘，形成定向輸運(yùn)逆流。

2.1 粒子鏈的平均流速v與勢壘高度d的關(guān)系

圖3給出了當(dāng)系統(tǒng)的外力強(qiáng)度為A=1、A=3、A=5、A=7、A=9，噪聲強(qiáng)度為D=0.5時(shí)，系統(tǒng)的勢壘高度d與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系。

圖3 當(dāng)系統(tǒng)的外力強(qiáng)度為A=1、A=3、A=5、A=7、A=9， 系統(tǒng)的勢壘高度d與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系圖Fig.3 Relationship diagram of barrier height d and mean flow rate v of particle chain under the system of A=1， A=3，A=5，A=7，A=9 external force intensity

從圖3可以看出，當(dāng)勢壘高度d≠0時(shí)，粒子鏈發(fā)生了定向輸運(yùn)行為，并且伴隨著負(fù)向流。當(dāng)外力強(qiáng)度A<2時(shí)，粒子鏈的平均流速v隨著外力F的增大而增加。當(dāng)外力強(qiáng)度A>2時(shí)，粒子產(chǎn)生了負(fù)向流，并且粒子鏈平均流速在數(shù)值上隨著外力F的增加而增大。從圖中可以看出，勢壘高度d的增大對(duì)粒子鏈的運(yùn)動(dòng)有細(xì)微的影響。具體來講，當(dāng)勢壘高度d增加時(shí)，粒子鏈的平均流速緩慢增大。當(dāng)外力強(qiáng)度A>2時(shí)，粒子鏈平均流速的振幅呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢，即產(chǎn)生廣義隨機(jī)共振現(xiàn)象。具體來講，平均流速的振幅在A=7時(shí)達(dá)到最大，在37時(shí)逐漸減少。

究其原因，由于阻尼力的影響，使粒子鏈運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生負(fù)向流。阻尼力在很多系統(tǒng)里是方向不定的。在此系統(tǒng)里，外力F的增加促使阻尼力增加，當(dāng)外力增加到一定程度時(shí)，阻尼力的作用促使粒子鏈向相反方向運(yùn)動(dòng)，從而產(chǎn)生負(fù)向流。一般來講，在沒有外力與耦合力的作用時(shí)，粒子鏈?zhǔn)遣粫?huì)產(chǎn)生定向輸運(yùn)的，這是因?yàn)樵趧葳鍍?nèi)，粒子鏈?zhǔn)艿阶枘崃εc重力勢能的作用，使得粒子鏈不能突破勢阱的束縛，產(chǎn)生輸運(yùn)。當(dāng)外力或者耦合力大到一定程度時(shí)，粒子鏈克服了勢阱高度與阻尼力的束縛，產(chǎn)生輸運(yùn)。從圖中可以看到噪聲強(qiáng)度對(duì)粒子鏈的運(yùn)動(dòng)趨勢沒有起到?jīng)Q定作用，但是它可以加快或減慢粒子鏈的平均流速v。當(dāng)外力強(qiáng)度A>2時(shí)，粒子鏈產(chǎn)生廣義隨機(jī)共振現(xiàn)象的根本原因是阻尼力，阻尼力大小，方向不定。當(dāng)外力較小時(shí)，它對(duì)粒子鏈運(yùn)動(dòng)影響不大，但是當(dāng)外力增大到一定程度，阻尼力對(duì)粒子鏈的運(yùn)動(dòng)就有顯著地影響。

圖4給出當(dāng)粒子鏈的系統(tǒng)階數(shù)α=0.1、α=0.3、α=0.5、α=0.7、α=0.9噪聲強(qiáng)度D=0.5，外力強(qiáng)度A=0.5時(shí)，系統(tǒng)的勢壘高度d與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系。

圖4 當(dāng)粒子鏈的系統(tǒng)階數(shù)分別為α=0.1、α=0.3、 α=0.5、α=0.7、α=0.9，系統(tǒng)的勢壘高度d 與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系圖Fig.4 Relationship diagram of barrier height d and mean flow rate v of particle chain under the system of α=0.1，α=0.3， α=0.5，α=0.7，α=0.9 system order of particle chain

從圖4可以看出，粒子鏈在勢阱中來回震蕩，沒有定向輸運(yùn)現(xiàn)象發(fā)生，并且粒子鏈的平均流速隨著系統(tǒng)階數(shù)α的增大而增加?？v觀粒子鏈的走勢圖，發(fā)現(xiàn)粒子鏈的平均流速整體走勢是在-0.045～0.035來回振蕩，且粒子鏈平均流速在0.37

總體來說，在不同的系統(tǒng)階數(shù)下，粒子鏈的在勢阱里面來回震蕩，沒有輸運(yùn)現(xiàn)象產(chǎn)生，這是因?yàn)橄到y(tǒng)受到的阻尼力大且方向不確定，耦合力、外力對(duì)系統(tǒng)的作用無法超過阻尼力對(duì)系統(tǒng)的影響，從而使粒子鏈一直在勢阱中來回振動(dòng)，無法穿過勢阱產(chǎn)生定向輸運(yùn)行為。由于耦合力、外力、噪聲的作用，粒子鏈沒有靜止在勢阱中，而是在勢阱里面上下震動(dòng)，產(chǎn)生廣義隨機(jī)共振現(xiàn)象。

2.2 粒子的平均流速v與耦合系數(shù)k的關(guān)系

圖5給出了系統(tǒng)的噪聲強(qiáng)度為D=1、D=3、D=5、D=7、D=9，外力強(qiáng)度為F=0.5時(shí)，耦合系數(shù)k與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系。

圖5 當(dāng)粒子鏈的噪聲強(qiáng)度為D=1、D=3、D=5、D=7、 D=9，耦合系數(shù)k與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系圖Fig.5 Relationship diagram of coupling coefficient k and mean flow rate v under the system of D=1，D=3，D=5， D=7，D=9 noise intensity of particle chain

從圖5可以看出，當(dāng)耦合系數(shù)00.2時(shí)，粒子鏈的平均流速v在-0.06～0.4來回震蕩，且隨著耦合系數(shù)k的增大振幅逐漸減小，沒有發(fā)生輸運(yùn)行為。從圖中可以看出，噪聲的存在對(duì)粒子鏈的運(yùn)動(dòng)影響不大。

綜上所述，當(dāng)耦合系數(shù)00.2時(shí)，耦合力的增大使得粒子黏合到一起，再加上阻尼力與勢阱的作用，使得粒子鏈在勢阱周圍上下震蕩，粒子鏈無法突破勢阱與阻尼力的束縛，從而不會(huì)發(fā)生輸運(yùn)現(xiàn)象。噪聲的作用很微弱，對(duì)粒子鏈的運(yùn)動(dòng)幾乎沒有影響。

圖6給出了當(dāng)粒子鏈的外力強(qiáng)度為A=1、A=3、A=5、A=7、A=9，噪聲強(qiáng)度D=1時(shí)，耦合系數(shù)k與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系。

圖6當(dāng)粒子鏈的外力強(qiáng)度為A=1、A=3、A=5、A=7、A=9時(shí)， 耦合系數(shù)k與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系圖Fig.6 Relationship diagram of coupling coefficient k and mean flow rate v under the system of A=1，A=3，A=5，A=7， A=9 external force intensity of particle chain

從圖6可以看出，粒子鏈發(fā)生定向輸運(yùn)行為，并伴隨著負(fù)向流的產(chǎn)生。當(dāng)外力強(qiáng)度A<2時(shí)，粒子鏈發(fā)生正向輸運(yùn)現(xiàn)象。當(dāng)外力強(qiáng)度A>2時(shí)，粒子鏈產(chǎn)生負(fù)向流。粒子鏈的輸運(yùn)速度隨著耦合強(qiáng)度k的增大而減小。當(dāng)外力強(qiáng)度A=7時(shí)，粒子鏈的運(yùn)動(dòng)行為出現(xiàn)了先負(fù)向再正向的現(xiàn)象，從而發(fā)生廣義隨機(jī)共振現(xiàn)象。噪聲強(qiáng)度對(duì)粒子鏈的運(yùn)動(dòng)走勢沒多大影響，但隨著噪聲強(qiáng)度的增加，粒子鏈平均流速的振幅增大。

究其原因，這是因?yàn)楫?dāng)外力為0時(shí)，粒子鏈?zhǔn)茏枘崃εc勢阱的作用，耦合力突破不了勢阱的束縛，所以剛開始沒有產(chǎn)生輸運(yùn)現(xiàn)象。當(dāng)由于噪聲強(qiáng)度與耦合力不為0，所以粒子鏈在勢阱中來回震蕩。噪聲越大，粒子鏈的能量越大，從而震蕩速度越大。當(dāng)外力不為0時(shí)，且小于2時(shí)，粒子鏈突破勢阱與阻尼力束縛，產(chǎn)生輸運(yùn)現(xiàn)象。當(dāng)外力大于2時(shí)，由于阻尼力的作用，粒子鏈發(fā)生反向輸運(yùn)，產(chǎn)生反向流。當(dāng)耦合強(qiáng)度增大時(shí)，粒子黏合在一起，故使得粒子鏈運(yùn)動(dòng)速度減慢。

2.3 粒子的平均流速v與噪聲強(qiáng)度D的關(guān)系

從圖7給出了當(dāng)耦合強(qiáng)度為k=1、k=3、k=5、k=7、k=9時(shí)，噪聲強(qiáng)度D與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系。

圖7 當(dāng)粒子鏈的耦合強(qiáng)度為k=1、k=3、k=5、k=7、k=9時(shí), 噪聲強(qiáng)度D與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系圖Fig.7 Relationship diagram of noise intensity D and mean flow rate v under the system of k=1，k=3，k=5，k=7， k=9 coupling intensity of particle chain

從圖7可以看出，當(dāng)噪聲強(qiáng)度D=0時(shí)，粒子鏈沒有發(fā)生輸運(yùn)。當(dāng)噪聲強(qiáng)度D≠0且k>1時(shí)，粒子鏈出現(xiàn)正向輸運(yùn)行為但隨著噪聲強(qiáng)度的增大振幅逐漸減小。出現(xiàn)這種現(xiàn)象是因?yàn)?，噪聲在?qū)動(dòng)粒子進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)，無法控制粒子的方向使得粒子鏈速度存在振幅。當(dāng)粒子鏈只受噪聲驅(qū)動(dòng)時(shí)，布朗粒子突破勢壘的束縛，所以粒子在勢壘中發(fā)生定向輸運(yùn)。當(dāng)耦合系數(shù)k=1時(shí)，粒子鏈的振幅最大，但未發(fā)生定向運(yùn)輸行為。同時(shí)我們也可以看到不同的噪聲強(qiáng)度對(duì)粒子鏈的運(yùn)動(dòng)走勢并沒有很大的影響。產(chǎn)生這種行為的主要原因是當(dāng)耦合系數(shù)k>1時(shí)，噪聲強(qiáng)度和外力會(huì)突破勢阱和阻尼力的束縛，使得粒子鏈產(chǎn)生定向輸運(yùn)，此時(shí)噪聲強(qiáng)度的變化僅僅是增加了粒子鏈的總能量，致使粒子鏈以一定的振幅來回震蕩，因此粒子鏈未發(fā)生隨機(jī)共振現(xiàn)象。

圖8給出了當(dāng)系統(tǒng)的外力強(qiáng)度A=1、A=3、A=5、A=7、A=9時(shí)，噪聲強(qiáng)度D與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系。

圖8 當(dāng)粒子鏈外力強(qiáng)度為A=1、A=3、A=5、A=7、A=9時(shí), 噪聲強(qiáng)度D與粒子鏈的平均流速v的關(guān)系圖Fig.8 Relationship diagram of noise intensity D and mean flow rate v under the system of A=1，A=3，A=5，A=7， A=9 external force intensity of particle chain

從圖8可以看出，當(dāng)噪聲強(qiáng)度D=0時(shí)，粒子鏈沒有發(fā)生輸運(yùn)。當(dāng)噪聲強(qiáng)度D≠0且A>1時(shí)，粒子鏈出現(xiàn)負(fù)向輸運(yùn)行為，但隨著噪聲強(qiáng)度的增大振幅逐漸增大。出現(xiàn)這種現(xiàn)象是因?yàn)?，噪聲在?qū)動(dòng)粒子進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)，無法控制粒子的方向使得粒子鏈速度存在振幅。當(dāng)粒子鏈只受噪聲驅(qū)動(dòng)時(shí)，布朗粒子突破勢壘的束縛，所以粒子在勢壘中發(fā)生負(fù)向輸運(yùn)。當(dāng)耦合系數(shù)k=1時(shí)，粒子鏈的振幅最大，但未發(fā)生定向運(yùn)輸行為，同時(shí)也可以看到不同的噪聲強(qiáng)度對(duì)粒子鏈的運(yùn)動(dòng)走勢并沒有很大的影響。產(chǎn)生這種行為的主要原因是當(dāng)耦合系數(shù)k>1時(shí)，噪聲強(qiáng)度和外力會(huì)突破勢阱和阻尼力的束縛，使得粒子鏈產(chǎn)生定向輸運(yùn)，此時(shí)噪聲強(qiáng)度的變化僅僅是增加了粒子鏈的總能量，致使粒子鏈以一定的振幅來回震蕩，由此可得，粒子鏈未發(fā)生隨機(jī)共振現(xiàn)象。

當(dāng)噪聲強(qiáng)度過小或者過大時(shí)，噪聲強(qiáng)度的增加對(duì)粒子鏈的輸運(yùn)影響不大，但外力強(qiáng)度的變化可以使粒子鏈改變輸運(yùn)方向。具體來說，當(dāng)外力強(qiáng)度A=1時(shí)，耦合力與外力無法突破勢阱與阻尼力的束縛，所以粒子鏈在勢阱中來回震蕩，沒有產(chǎn)生輸運(yùn)現(xiàn)象。當(dāng)外力強(qiáng)度A>1時(shí)，此時(shí)阻尼力較大，但是方向不定。比如A=3時(shí)，阻尼力促進(jìn)粒子鏈的輸運(yùn)，即阻尼力與外力，耦合力的合力突破勢阱束縛，使粒子鏈發(fā)生輸運(yùn)行為。這時(shí)由于阻尼力方向是負(fù)向，所以粒子鏈產(chǎn)生負(fù)向流。

2.4 結(jié)論

為了讓隨機(jī)共振更好地造福人類，鑒于目前的理論研究與實(shí)驗(yàn)依據(jù)，將分?jǐn)?shù)階微積分理論引入布朗馬達(dá)的研究，探討了由分?jǐn)?shù)階Langevin方程刻畫的分?jǐn)?shù)階布朗馬達(dá)。結(jié)合分?jǐn)?shù)階微積分的“記憶性”，探討了布朗粒子在過阻尼分?jǐn)?shù)階布朗馬達(dá)中的運(yùn)動(dòng)特性。將系統(tǒng)建模為分?jǐn)?shù)階線性過阻尼Langevin系統(tǒng)模型，利用分?jǐn)?shù)階差分法模擬模型，研究在周期余弦勢能系統(tǒng)中勢阱高度d、耦合系數(shù)k、噪聲強(qiáng)度D對(duì)粒子鏈的平均流速v的影響發(fā)現(xiàn)，在某些階數(shù)下，分?jǐn)?shù)階Brown馬達(dá)會(huì)出現(xiàn)反向運(yùn)輸。周期勢場中勢阱高度、耦合力、噪聲強(qiáng)度都能影響粒子的運(yùn)輸。具體來說，粒子鏈的平均流速會(huì)隨著周期外力與勢阱高度的變化而產(chǎn)生廣義隨機(jī)共振現(xiàn)象，周期外力和耦合力的改變都可以使粒子鏈產(chǎn)生定向輸運(yùn)的現(xiàn)象。在系統(tǒng)外力與耦合力不夠大的情況下，噪聲強(qiáng)度的改變對(duì)粒子鏈如何運(yùn)動(dòng)的影響微乎其微。如果耦合力和系統(tǒng)外力足夠大，那么這兩個(gè)因素對(duì)粒子鏈的輸運(yùn)起到的是阻礙作用，在系統(tǒng)階數(shù)適中的情況下，促使粒子鏈定向輸運(yùn)，耦合力在系統(tǒng)階數(shù)充分大時(shí)，才能對(duì)粒子鏈的運(yùn)動(dòng)行為有顯著的影響。

3 總結(jié)與展望

系統(tǒng)地研究了布朗粒子在周期余弦勢能與線性耦合下布朗粒子的運(yùn)輸問題及隨機(jī)共振現(xiàn)象的發(fā)生。隨機(jī)共振理論提出，部分噪聲能量會(huì)轉(zhuǎn)化為有用信號(hào)的能量，從而使系統(tǒng)輸出信噪比大大提高，即給特定系統(tǒng)加入一定強(qiáng)度的噪聲，不但不會(huì)阻礙反而會(huì)提高信號(hào)檢測的性能，這種“反常效應(yīng)”在微弱信號(hào)檢測中具有很大的潛力。隨機(jī)共振是一種信號(hào)，噪聲和非線性系統(tǒng)之間出現(xiàn)的協(xié)同現(xiàn)象，顛覆了以往人們對(duì)噪聲的看法，隨機(jī)共振理論為人們在強(qiáng)噪聲背景下微弱信號(hào)的檢測方法研究中開創(chuàng)了新的思路。

目前，人們更多的是從物理現(xiàn)象和工程應(yīng)用中去研究隨機(jī)共振現(xiàn)象。研究的數(shù)學(xué)模型大體可分為兩類：線性模型和非線性模型。本研究引入分?jǐn)?shù)階微積分來刻畫系統(tǒng)的冪律記憶性，建立了由色噪聲參激和周期調(diào)制噪聲外激聯(lián)合驅(qū)動(dòng)的分?jǐn)?shù)階線性振子的數(shù)學(xué)模型，即分?jǐn)?shù)階Langevin方程。利用隨機(jī)平均法和Laplace變換并結(jié)合Shapiro-Loginov公式，推導(dǎo)得到系統(tǒng)響應(yīng)的一階矩及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅的解析式，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論了系統(tǒng)階數(shù)、摩擦系數(shù)、周期驅(qū)動(dòng)力頻率、色噪聲強(qiáng)度和相關(guān)率等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。研究發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅具有非單調(diào)變化的特點(diǎn)，也即出現(xiàn)廣義隨機(jī)共振現(xiàn)象。

對(duì)于已研究過的整數(shù)階非線性耦合系統(tǒng)，不管有無外力影響，粒子鏈的定向輸運(yùn)行為都會(huì)受到噪聲和耦合力的影響，而且發(fā)現(xiàn)在周期余弦勢能與線性耦合系統(tǒng)中，在周期外力作用下，系統(tǒng)會(huì)對(duì)噪聲強(qiáng)度和耦合強(qiáng)度發(fā)生免疫，還能看到更多其他耦合系統(tǒng)不能解釋的動(dòng)態(tài)現(xiàn)象，這進(jìn)一步說明研究的周期余弦勢能與線性耦合系統(tǒng)接近現(xiàn)實(shí)，更能將其應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活。