高天意

數(shù)學(xué)，可不僅僅是符號(hào)、數(shù)字和方程式這些我們天生就不熟悉的東西，它還包括了各種各樣的圖形。圖形我們可就熟悉了，即使沒有學(xué)過數(shù)學(xué)，我們也可以從生活中認(rèn)識(shí)到很多圖形——例如像三角豆腐一樣擁有三個(gè)尖角的三角形、像椅子坐墊一樣方方正正的正方形，像橡皮筋一樣環(huán)繞一圈的圓形。當(dāng)數(shù)學(xué)問題能用圖形表示的時(shí)候，是非常有利于人們理解和記憶的，本文利用圖形對(duì)勾股定理及其延伸出來的幾個(gè)等式的解釋來說明這個(gè)問題。

勾股定理中的三個(gè)數(shù)能是連續(xù)的嗎？

勾股定理可能是我們學(xué)過的最早的數(shù)學(xué)定理之一，它的表現(xiàn)形式是：a2+b2=c2，意為直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。有人問，勾股定理里的a、b、c能是連續(xù)的三個(gè)整數(shù)嗎？這個(gè)問題不難解答，令b=a+1，c=a+2，代入原方程并化簡(jiǎn)得a2-2a-3=0。這個(gè)方程有兩個(gè)解a=-1或3。-1不可取，所以這連續(xù)的三個(gè)數(shù)為3、4、5。我們知道能滿足勾股定理三個(gè)數(shù)的組合有無數(shù)種，而連續(xù)的組合就僅僅只有這一種，夠巧妙吧。我們以這個(gè)組合說明圖形解釋數(shù)學(xué)問題的巧妙之處。

因?yàn)檎叫蔚拿娣e等于其邊長(zhǎng)的平方，我們可以把a(bǔ)2、b2、c2理解為三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形的面積。當(dāng)a、b、c分別為3、4、5時(shí)，將這三個(gè)正方形在直角三角形上畫出來，如圖①所示。

圖中的每一個(gè)正方形都被分割成一個(gè)個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形——邊長(zhǎng)為3的正方形被分成了9個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，邊長(zhǎng)為4的正方形則被分成了16個(gè)，而邊長(zhǎng)為5的正方形被分成了25個(gè)。9+16=25，等號(hào)兩邊擁有的邊長(zhǎng)為1的正方形個(gè)數(shù)是相等的。讓我們不禁猜想，是否可以將面積較小的兩個(gè)正方形通過某種方式組合，就能得到大的正方形？事實(shí)證明是可以的，而且組合的方式非常簡(jiǎn)單。它只需將邊長(zhǎng)為4的正方形拆成四個(gè)寬為1，長(zhǎng)為4的長(zhǎng)方形，并且將這4個(gè)長(zhǎng)方形圍在邊長(zhǎng)為3的正方形的四周，一個(gè)邊長(zhǎng)為5的正方形就出現(xiàn)了，如圖②所示。這也就是相當(dāng)于邊長(zhǎng)為3的正方形圍了一圈邊長(zhǎng)為1的正方形。

我們很輕易理解，一個(gè)邊長(zhǎng)為整數(shù)的正方形外圍圍一圈邊長(zhǎng)為1的正方形，得到的新的正方形的邊長(zhǎng)就等于原來的正方形邊長(zhǎng)加2。如果圍兩圈，那就是加4了?？梢酝瞥觯瑖蟦圈邊長(zhǎng)為1的正方形，邊長(zhǎng)增大為原來的邊長(zhǎng)加上2n。

如果再加一個(gè)數(shù)呢？

勾股定理是a2+b2=c2，如果兩邊都再多一個(gè)數(shù)，變成a2+b2+c2=d2+e2，這會(huì)是什么情況？如果從a到e是連續(xù)的整數(shù)，我們同樣令b=a+1、c=a+2……并且?guī)敕匠蹋玫絘的一個(gè)有效解a=10，所以等式就是102+112+122=132+142。這時(shí)右邊有兩個(gè)正方形，和上文不大一樣了。但是仔細(xì)觀察一下，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，邊長(zhǎng)為10的正方形圍兩圈邊長(zhǎng)為1的正方形就可以變成邊長(zhǎng)為14的正方形，邊長(zhǎng)為11的正方形圍一圈邊長(zhǎng)為1的正方形可以就變成邊長(zhǎng)為13的正方形。我們可以試著把邊長(zhǎng)為12的正方形拆開，并圍到另外兩個(gè)正方形上試試。我們很容易就獲得成功，如圖③。

如果繼續(xù)加數(shù)呢？考慮a2+b2+c2+d2=e2+f2+g2，如果a～g是一串連續(xù)的整數(shù)，同樣利用上述方法，解得a的有效解為21，則等式為212+222+232+242=252+262+272。右邊有4個(gè)正方形，左邊有3個(gè)正方形，這4個(gè)正方形該如何重新組合呢？這個(gè)也不難，請(qǐng)看圖④。那如果再加數(shù)呢？等式左邊有5個(gè)正方形，右邊有4個(gè)正方形的情況為362+372+382+392+402=412+422+432+442。當(dāng)然，繼續(xù)舉例、畫圖形下去已經(jīng)沒有必要了，因?yàn)檫@種例子是無窮無盡的。我們已經(jīng)得出了結(jié)論：假設(shè)有一串?dāng)?shù)量為（2n-1）個(gè)的連續(xù)整數(shù)位于一個(gè)等式中，等式左邊是前n個(gè)整數(shù)的平方和，右邊是后（n-1）整數(shù)的平方和。這串整數(shù)有且只有一個(gè)解，且左邊的n個(gè)正方形均可以通過某種組合組裝出右邊的（n-1）個(gè)正方形?？梢姡瑘D形對(duì)于我們理解數(shù)學(xué)問題有很大的益處，而且還能幫助我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。