萬阿英 楊金英 高 陽

(呼倫貝爾學院 內蒙古 海拉爾 021008)

師范專業(yè)認證的理念是“學生中心、產出導向、持續(xù)改進”。作為培養(yǎng)基礎教育師資的高校數(shù)學專業(yè)。課程教學一定要圍繞這一理念進行。數(shù)學專業(yè)是傳統(tǒng)師范專業(yè)，數(shù)學分析又是數(shù)學專業(yè)的專業(yè)基礎課程，它起到中學數(shù)學和大學數(shù)學課程的銜接作用。但是由于數(shù)學分析課程是一門邏輯嚴謹、抽象概括的課程。教材的編寫多是按著知識理論的層層遞進，強調邏輯的嚴密性和知識結構的完整性。在教材中，沒有分析和中學數(shù)學的聯(lián)系。由于這門課程的專業(yè)性和重要性，學校安排的多是教授或是科研水平高的資深教師講授。教師能夠把這門課程講授的全面深刻，揭示后續(xù)課程的銜接及前沿理論的鋪墊，可卻恰恰忽略了和中學數(shù)學知識的銜接。這樣導致學生在數(shù)學專業(yè)畢業(yè)之后，走上工作崗位，不知道如何運用所學的大學數(shù)學知識指導教學，甚至工作幾年后都不重視數(shù)學分析課程的作用。下面從師范專業(yè)認證的理念闡述數(shù)學分析的知識對中學數(shù)學教學的指導作用。

一、數(shù)學符號語言的作用

數(shù)學符號語言是表達數(shù)學知識和數(shù)學思想的工具，中學生有時懼怕數(shù)學很大程度上是對數(shù)學語言的不理解或者理解不到位，導致不會解題。在數(shù)學分析課程中，數(shù)學語言的應用很廣泛。教師結合中學知識去教學，有利于學生自己學習數(shù)學知識，同時為數(shù)學專業(yè)師范畢業(yè)生將來從事教學工作打下堅實的基礎。在很多高考試題中也鋪墊了對數(shù)學符號語言的考察。很多中學老師對此的反思不到位，筆者認為與他們接受的高等教育有直接關系。在接受數(shù)學專業(yè)知識的過程中不能很好的體會理解數(shù)學符號語言的作用，在職業(yè)生涯中就不能夠舉一反三。

數(shù)學語言理解不到位，就會找不到解題思路。例如：

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若x1(0,1),x2(1,+∞),求證：

(2)若x1(0,1),x2(1,+∞)，有可以轉化為max{f(x)|x進而轉化為求f(x)分別在(0,1)和(1,+∞)的最大值。

以上分析，可以看到數(shù)學語言雖深奧卻簡練，中學生只要能夠讀懂數(shù)學語言，逐步轉化，非常難解的題也會迎刃而解。師范專業(yè)的學生在數(shù)學分析課程的學習中，就要體會數(shù)學語言，并且具備文字語言和符號語言的轉化能力。在數(shù)學分析課程里，這樣的訓練很多。如，有界函數(shù)的定義：設f為定義在D上的函數(shù)?！叭舸嬖谡龜?shù)M，使得對每一個xD有|f(x)|≤M”則稱f為D上的有界函數(shù)。引號內的敘述等價于?M>0,?xD,有|f(x)|≤M。

這樣改寫的訓練，表面只是把文字改寫為數(shù)學符號，但卻更有利于對數(shù)學概念的理解，同時，數(shù)學符號語言的應用也能訓練學生抽象思維的能力，提高對中學數(shù)學中數(shù)學符號的理解。所以，在數(shù)學分析課程教學中，要有意識的訓練學生的數(shù)學符號語言能力。

二、極限思想

極限概念是數(shù)學分析課程的一個重要概念，很多的后續(xù)定義均來自極限。例如導數(shù)的定義，數(shù)項級數(shù)的定義，定積分的定義。把握好極限概念的教學對學生學好數(shù)學分析具有重大意義。在中學數(shù)學中，雖然沒有明確提到極限的概念，但是在很多知識中都有所滲透導數(shù)的概念、切線的定義。如果數(shù)學專業(yè)的學生能夠很好的了解這些數(shù)學概念的本質，將來成為一名中學教師也會得心應手、深入淺出的講解這些概念。

在教學中，關于正數(shù)的任意性的理解是重點，它的任意小表達的是無限接近。在給定之前是任意的，但在分析證明時，卻把作為常數(shù)。存在N，是要找到N，在確定N的存在性時。N又和ε有關，在這部分教學中，學生是理解不好，但筆者覺得只要多花時間反復練習和訓練，學生逐漸地接受。初中的負數(shù)概念引入，高中的數(shù)列引入，都是經歷了這樣的過程。數(shù)學語言的抽象使學生不好理解，但是它和藝術的美的熏陶一樣是需要一個慢慢滲透的過程。

三、微分學中值定理的啟示

在中小學教師資格考試中，曾要考生簡述拉格朗日微分中值定理與中學數(shù)學內容的聯(lián)系。很多人感覺一頭霧水，完全不知道如何解答。原因就在于師范院校在數(shù)學分析課程中，講授微分中值定理時沒有聯(lián)系中學數(shù)學的內容，也沒有很好的引導學生思考探索這些問題。

拉格朗日微分中值定理：若函數(shù)滿足如下條件：

這樣一個連接函數(shù)和導數(shù)橋梁的定理，教學中不能僅局限于定理的內容和證明。和中學數(shù)學知識的聯(lián)系也尤為重要，導數(shù)是函數(shù)的瞬時變化率，而右側的比值是函數(shù)的平均變化率。在幾何意義上，導數(shù)是切線的斜率，而右側的比值是割線的斜率。高中學習了基本初等函數(shù)的性質，可以用拉格朗日中值定理解釋或者去證明。在高等數(shù)學中利用拉格朗日定理可以證明很多初等函數(shù)的性質或者不等式。教學中的有意引導，可以為數(shù)學專業(yè)的學生將來職業(yè)中做好鋪墊。

(1)討論f(x)的單調性；

分析：(1)略；

(2)設f(x)圖像上任意兩點A,B，原題要證f(x)的任意一條割線的斜率kAB>-1,即是證明f(x)的任意一條切線的斜率k>-1，也就是要證明f(x)>-1,x(0,+∞)恒成立。對于一個連續(xù)光滑的函數(shù)曲線來說，任意一條割線都有一條與其斜率相等的切線，這就是數(shù)學分析中的拉格朗日微分中值定理。本題就是以拉格朗日微分中值定理為背景而設計的高考試題。微分中值定理建立了函數(shù)與導數(shù)的橋梁，在微分學中占有重要的地位，是高考考查的重點內容之一。近幾年高考中，出現(xiàn)了不少含有微分中值定理的試題。這類試題常以不等式恒成立問題為基本切入點，具有一定的難度和深度，可以較好地甄別學生的數(shù)學能力。

在數(shù)學分析課程教學中恰當引入高中數(shù)學題，使數(shù)學專業(yè)的學生切實感受到高等數(shù)學和中學數(shù)學的聯(lián)系。

例3.(2010遼寧)已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，

(1) 討論函數(shù)f(x)的單調性；

(2) 設a<-1，如果對任意x1,x2(0,+∞)，都有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|成立，求a的取值范圍。

分析：(1)略；

(2)由拉格朗日微分中值定理，知

?x0(0，+∞)，使得使得，

由|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-X2|,得

|f(X0)|≥4，由(1)知f(x)<0

四、 微元法與數(shù)學建模

中學新課標中強調學生數(shù)學應用意識的培養(yǎng)，高考也加大了對應用型題目的考察。

積分學中的微分法可以說是培養(yǎng)數(shù)學建模思想的最好內容。在數(shù)學分析課程的教學過程中，有意識的培養(yǎng)學生數(shù)學建模的意識，對將來從事教學會有很大幫助。

例如，變力所做的功：設質點受力F的作用沿x軸由點a移動到點b，并設F處處平行于x軸。如果F是常力，則它對質點所做的功為W=F(b-a)。如果F是變力，它連續(xù)依賴于質點所在位置的坐標x，即F=F(X),X[a,b]為一連續(xù)函數(shù)，此時F對質點所做的功W的計算，把[a,b]細分為n個小區(qū)間[xi-1],△xi=xi-xi-1,i=1,2,…,n;并在每個小區(qū)間上任取一點ξi，就有F(x)≈F(ξi),x[xi-1,xi],i=1,2,…,n。于是，質點從xi-1位移到xi時，力F所做的功就近似等于F(ξi)△xi，從而從這個實際問題抽象出定積分的定義，這就是一種數(shù)學建模必經之路，把實際問題抽象成數(shù)學問題，然后用數(shù)學方法解決。在數(shù)學分析的教學中，有意識培養(yǎng)學生的數(shù)學建模意識對于師范生將來從事教學非常重要。近年來高考題中，出現(xiàn)很多這樣的問題。中學生親自體會運用數(shù)學解決實際問題，深刻感受數(shù)學學科的魅力，對激起學生學習數(shù)學的興趣及主動性起著十分關鍵的作用。

另外，很多人經歷了長達十幾年的數(shù)學學習，然而數(shù)學知識很大部分在工作、生活中難以得到有效應用，這也是有些中學生對學習數(shù)學的困惑。師范專業(yè)的學生首先要自己能夠認識到數(shù)學對人的成長所起的作用，認識到數(shù)學素養(yǎng)無時無刻的存在于工作、生活中，影響著甚至改變著每個人。才能在將來的職業(yè)生涯中影響學生。

數(shù)學建模就是聯(lián)系現(xiàn)實與數(shù)學之間的橋梁，它是將現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學問題，然后運用數(shù)學知識去表述和解決的過程.為順應社會發(fā)展的需求，數(shù)學教育越來越重視學生數(shù)學建模能力的培養(yǎng).

五、 數(shù)學史融入教學內容

數(shù)學史融入數(shù)學教學在中學數(shù)學中已得到廣泛重視，在高考試題中也有所體現(xiàn)?！度罩屏x務教育數(shù)學課程標準》中提出“數(shù)學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中”。高中課程標準中也明確提出了“數(shù)學史”。數(shù)學史是數(shù)學文化的重要部分，可見，數(shù)學史在數(shù)學教學中的滲透非常值得關注。在數(shù)學分析的教學中，通過了解數(shù)學曲折的發(fā)展歷史，可以促進學生對數(shù)學分析的理解和數(shù)學分析價值的認識。

在數(shù)學分析中，極限概念的引入，一定要提到我國古代數(shù)學家劉徽，他撰寫的著作《九章算術注》是我國寶貴的數(shù)學遺產。其中提出“割圓術”來求圓周率，這是極限思想的開始。劉徽用單位圓的內接正n邊形的周長近似圓的周長，如此不斷地分割下去，一直到圓周無法分割為止，多邊形的周長就等于圓的周長。在無限的過程中就體現(xiàn)了極限的思想，由近似到相等，發(fā)生了質變。

德國數(shù)學家克萊因曾經說過：數(shù)學史可作為數(shù)學教育的指南。學生在學習中遇到的困難，也是數(shù)學家歷史上遇到的困難。在數(shù)學分析課程學習中，深入挖掘數(shù)學史，對學生的職業(yè)生涯一定會有很大幫助。實施師范專業(yè)認證，就是為了保證教師培養(yǎng)的專業(yè)性、標準性和靈活性。隨著中學課程改革的深入，高等數(shù)學的內容、思想和方法已經滲透到中學數(shù)學教學之中,師范院校應該深入挖掘專業(yè)課程的功能，使學生既能學到專業(yè)知識，同時也具備成為一名優(yōu)秀教師的素養(yǎng)和能力。所以在數(shù)學分析課程教學中，系統(tǒng)化研究和設計課程的內容，為實施有效的教學方法以及教學手段提供知識性依據?？傊?，從師范專業(yè)認證的角度，挖掘數(shù)學分析與中學數(shù)學的聯(lián)系，對于培養(yǎng)專業(yè)的中學數(shù)學教師是一項重要的工作，值得我們探討研究。