于春艷 魏寶軍 孫 丹

(1.重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院, 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院 重慶 合川 401520)(2.重慶市潼南實(shí)驗(yàn)中學(xué)校 重慶 潼南 402660)

1.引言

幾何問(wèn)題是初等數(shù)學(xué)中的重要研究對(duì)象，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力、空間想象能力、邏輯思維能力、推理判斷能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很大的作用，所以無(wú)論是在中考數(shù)學(xué)，還是高考數(shù)學(xué)中都將其作為重要考點(diǎn)。而作為考點(diǎn)的幾何問(wèn)題隨之變成了難點(diǎn)，很多基礎(chǔ)很好的學(xué)生也在幾何問(wèn)題上遇到困難或者無(wú)從下手，僅僅根據(jù)課標(biāo)的要求，根據(jù)課本上的內(nèi)容去教學(xué)、去學(xué)習(xí)是不夠的，因此對(duì)幾何問(wèn)題的解題以及錯(cuò)題的研究就變得至關(guān)重要。

羅增儒在《解題分析——談錯(cuò)例分析》一文中提出"解題錯(cuò)誤的產(chǎn)生總有其內(nèi)在的合理性"，所以教師能夠弄清楚其中的合理成分，然后有針對(duì)性的、巧妙的引導(dǎo)學(xué)生避免錯(cuò)誤是非常重要的。本文以2011年修訂的全日制義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，以真實(shí)性為原則，以還原學(xué)生的實(shí)際思維過(guò)程為基本，以找到解決對(duì)策為目標(biāo)，對(duì)七年級(jí)數(shù)學(xué)幾何初步中的角度問(wèn)題進(jìn)行錯(cuò)例研究。通過(guò)收集學(xué)生的平時(shí)作業(yè)以及考試中的幾何初步錯(cuò)題，對(duì)在此部分內(nèi)容學(xué)習(xí)過(guò)程中存在困難的學(xué)生進(jìn)行訪談，與代課老師進(jìn)行交流研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解決此類(lèi)問(wèn)題的過(guò)程中，出錯(cuò)的一大原因是解題過(guò)程中存在很大的審題障礙，這種審題障礙是具有普遍性的，這種讀題、審題障礙對(duì)后續(xù)幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)造成了很大的負(fù)面影響。本文對(duì)主要的幾種出錯(cuò)原因與障礙進(jìn)行分類(lèi)，給出了相應(yīng)的解決對(duì)策。

2.錯(cuò)例分析

將教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)誤答案和易出錯(cuò)問(wèn)題進(jìn)行整理，針對(duì)幾何初步中的角度問(wèn)題提出四種類(lèi)型的錯(cuò)誤，分別為審題障礙型錯(cuò)誤、基礎(chǔ)過(guò)程型錯(cuò)誤、習(xí)慣性濫用條件型錯(cuò)誤和心理暗示性增加條件型錯(cuò)誤。針對(duì)以上四種具體的錯(cuò)誤類(lèi)型，本部分給出具體的例子，并對(duì)產(chǎn)生此種錯(cuò)誤的原因進(jìn)行了細(xì)致的分析與解剖。

2.1 審題障礙型錯(cuò)誤。審題障礙性錯(cuò)誤是指在審題的過(guò)程中發(fā)生的理解上的缺失和障礙，從而導(dǎo)致的解題錯(cuò)誤。此種錯(cuò)誤形成的因素往往很簡(jiǎn)單，對(duì)于基礎(chǔ)較好的錯(cuò)題者來(lái)說(shuō)，大多數(shù)情況下，只要能引導(dǎo)他讀懂題目中的隱含條件，往往整個(gè)問(wèn)題都迎刃而解。所以說(shuō)，此種錯(cuò)誤一旦出現(xiàn)，就是致命的。

幾何問(wèn)題本身就具有復(fù)雜性與綜合性強(qiáng)等特點(diǎn)，將碎片化的已知條件進(jìn)行篩選整合是解決此類(lèi)問(wèn)題的 關(guān)鍵。對(duì)于七年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，智力發(fā)展水平處于較低的層次，具體表現(xiàn)為邏輯能力比較差、知識(shí)遷移能力不足，不能夠很好的把題目中給定的條件轉(zhuǎn)化為解決問(wèn)題需要的量與關(guān)系，對(duì)于稍加變動(dòng)的題目條件與隱含的條件沒(méi)有理解應(yīng)用的能力，不能夠?qū)⒏鞣N零散的信息加工處理，使其變?yōu)榭杀蛔约核褂玫慕鉀Q問(wèn)題的工具。比如以下幾種常見(jiàn)的情況：

情況1. 未發(fā)現(xiàn)題目隱含條件。很多學(xué)生在解一些有幾何圖形的角度問(wèn)題時(shí)有一個(gè)疑問(wèn)，明明題目中沒(méi)有給出與角度有關(guān)的已知條件，但是卻要求解某個(gè)角的具體度數(shù)，造成解題時(shí)無(wú)從下手。如：在解題時(shí)已知AB是線段，O是線段AB的中點(diǎn)，卻反應(yīng)不出隱含條件∠AOB=180°.

情況2. 找不到幾何圖形中的關(guān)鍵角。面對(duì)一些圖形比較復(fù)雜的幾何題目，很多學(xué)生看不清題目，不能有效的篩選關(guān)鍵信息，很難有效利用題目中已知條件，找到解題的突破口。例如，在求解圖形中的角的度數(shù)的時(shí)候，復(fù)雜一點(diǎn)的幾何圖形中會(huì)包含多個(gè)角，有些學(xué)生因?yàn)檎也坏疥P(guān)鍵角，所以將每個(gè)角度都逐一討論分析，浪費(fèi)了解題時(shí)間，消耗了解題自信,導(dǎo)致最終的解題失敗。如下例

將兩副銳角分別為45°,45°和30°,60°的兩個(gè)三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)如圖重疊放在一起．

如在圖1，當(dāng)∠DAC=4∠BAD時(shí)， 求∠CAE的度數(shù)；

如圖2，當(dāng)∠ACE=3∠BCD時(shí)，求∠ACD的度數(shù)．

解 (1)因?yàn)椤螧AD+∠DAC=90°,∠DAC=4∠BAD,

所以5∠BAD=90°,即∠BAD=18°.

所以∠DAC=4×18°=72°.

又因?yàn)椤螪AE=90°,

所以∠CAE=∠DAE-∠DAC=18°.

(2)因?yàn)椤螧CE=∠DCE-∠BCD=60°-∠BCD,∠ACE=3∠BCD,

所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=3∠BCD+60°-∠BCD=90°.

解得∠BCD=15°.

所以∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°+15°=105°.

這道題目的難度并不高，題目條件也比較明顯，但是這道題目的得分率很低，大多數(shù)學(xué)生都能夠?qū)懗鲆恍┓治鲞^(guò)程，但是仔細(xì)研究他們寫(xiě)出的分析過(guò)程就會(huì)發(fā)現(xiàn)，解題過(guò)程中有很多用不上的多余結(jié)論，并沒(méi)有緊緊圍繞關(guān)鍵條件與關(guān)鍵問(wèn)題進(jìn)行分析討論。犯了這種錯(cuò)誤的一部分學(xué)生表示自己做錯(cuò)的原因是看不清圖形，不知道題目條件怎么用，對(duì)他們來(lái)講，這么多的題目條件并沒(méi)有為解題提供便利，反而讓自己找不到突破口。這種現(xiàn)象主要針對(duì)此類(lèi)比較復(fù)雜、涉及的角比較多的幾何圖形問(wèn)題。

正確的審題是解題成功的一半, 但是仍然有很多學(xué)生在成功審題之后的解題過(guò)程中犯了嚴(yán)重的錯(cuò)誤導(dǎo)致解題失敗。

2.2 基礎(chǔ)過(guò)程型錯(cuò)誤。解題是一個(gè)復(fù)雜的認(rèn)知反饋活動(dòng)，即使能夠保證在審題時(shí)不出現(xiàn)以上幾種錯(cuò)誤，也不能保證一定能夠得到完全正確的步驟與解題結(jié)果。因?yàn)樵诮忸}過(guò)程中也可能由于知識(shí)點(diǎn)掌握不牢固，邏輯思維混亂，心理狀況等情況導(dǎo)致解題失敗或錯(cuò)解。在進(jìn)行學(xué)習(xí)情況分析時(shí)，我們經(jīng)常聽(tīng)到的一種措詞就是"粗心"，需要引起大家注意的是"粗心"絕對(duì)不是指心粗，不是說(shuō)學(xué)生性格等方面的問(wèn)題。一般情況下，粗心所代表的其實(shí)就是學(xué)生在解題過(guò)程中犯的一些簡(jiǎn)單錯(cuò)誤的行為，這些錯(cuò)誤往往比較低級(jí)，很多學(xué)生可能很容易就能發(fā)現(xiàn)或者能糾正這類(lèi)錯(cuò)誤，所以比較容易忽視，事實(shí)上，任何錯(cuò)誤都有其內(nèi)在的合理性，這些劃分到"粗心"類(lèi)中的錯(cuò)誤往往就是因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)掌握不牢固、邏輯思維能力差、心理素質(zhì)不穩(wěn)定等原因。

2.3 習(xí)慣性濫用條件型錯(cuò)誤。準(zhǔn)確的理解并使用題目條件是解決幾何問(wèn)題的關(guān)鍵，對(duì)于初步接觸復(fù)雜的幾何問(wèn)題的學(xué)習(xí)者，在解題過(guò)程中容易出現(xiàn)下述兩種錯(cuò)誤情況:

情況3. 錯(cuò)用多問(wèn)題題目的條件與結(jié)論。面對(duì)多問(wèn)題的題目，學(xué)生不理解多問(wèn)題之間的關(guān)系，亂用錯(cuò)用題目條件導(dǎo)致解題失敗。多問(wèn)的幾何問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題之間的關(guān)系可以是相關(guān)的，即前面問(wèn)題中的條件有可能也是下一問(wèn)題的條件，前一問(wèn)題的結(jié)論也有可能可以作為下一問(wèn)題的條件直接使用，但是在很多情況下，前一問(wèn)題的條件與結(jié)論可能與后續(xù)問(wèn)題沒(méi)有直接聯(lián)系或者毫無(wú)聯(lián)系。初一學(xué)生第一次接觸較為復(fù)雜的幾何問(wèn)題，很多人對(duì)于多個(gè)問(wèn)題之間的關(guān)系是模糊的，混淆的，不清楚的，導(dǎo)致解題時(shí)相當(dāng)盲目.

情況4. 心理暗示性增加題目條件。面對(duì)復(fù)雜的幾何圖形，很多學(xué)生會(huì)臆想題目中未給出的一些條件，比如將題目中未給出角度且沒(méi)有直角符號(hào)標(biāo)識(shí)的某個(gè)角度視為直角，將視覺(jué)上觀察到的某兩條線段當(dāng)成相等線段，某兩個(gè)角度當(dāng)成相等角。受這些臆想的本不存在的條件的影響，得到一些錯(cuò)誤的結(jié)論導(dǎo)致解題結(jié)果的錯(cuò)誤。

情況5. 忽略作圖的不唯一性。對(duì)于未給出圖形的問(wèn)題，會(huì)忽略作圖的不唯一性，往往只考慮其中一個(gè)方面，忽視另一種可能，造成解題不完整不全面的問(wèn)題。

例2 已知∠AOB=75°,∠AOC=2/3∠AOB,OD平分∠AOC，求∠BOD的大小。

解 因?yàn)椤螦OB=75°，∠AOC=2/3∠AOB，

所以∠AOC=2/3×75°=50°.

因?yàn)镺D平分∠AOC,

所以∠AOD=∠COD=25°.

如圖1，∠BOD=75°+25°=100°;

如圖2，∠BOD=75°-25°=50°

此題的易錯(cuò)點(diǎn)就是∠AOC的作圖有兩種可能的情況，一種是在線段OC的左側(cè)，另一種是在線段OC的右側(cè)。很多學(xué)生在做題的時(shí)候由于思維定勢(shì)等原因會(huì)忽略線段OC的唯一性。

當(dāng)然，上述幾種錯(cuò)誤情況并沒(méi)有涵蓋所有可能的錯(cuò)誤情況，還有一些出現(xiàn)頻率比較低，或簡(jiǎn)單的計(jì)算錯(cuò)誤等不作為本文的研究重點(diǎn)。

3.歸因分析及對(duì)策研究

本部分我們針對(duì)以上幾種類(lèi)型的錯(cuò)誤情況進(jìn)行歸因分析，并針對(duì)不同的情況與原因給出比較具體，可實(shí)施的對(duì)策。

我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于情況1，如果讓此問(wèn)題單獨(dú)存在，即不與其他因素與條件進(jìn)行結(jié)合，幾乎所有的學(xué)生都能夠看出∠AOB=180^。這一結(jié)論，但為什么只需要稍微增加一些條件與問(wèn)題，很多學(xué)生就理解不到這一點(diǎn)呢？對(duì)于情況2，在復(fù)雜的幾何圖形中，學(xué)生往往不能夠準(zhǔn)確找到題目中的關(guān)鍵角,但是如果在教師的引導(dǎo)或者提醒下卻可以完整的解題。以上幾種情況代表的審題障礙型錯(cuò)誤的原因有以下幾點(diǎn)：(1)基礎(chǔ)知識(shí)理解不扎實(shí)。對(duì)所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)沒(méi)有完全熟練掌握，在被動(dòng)的情況下，通過(guò)老師同學(xué)的引導(dǎo)、暗示、提醒等，可以得到想要的結(jié)果，但是在沒(méi)有人引導(dǎo)的情況下，具有很低的判斷與分析能力，這都應(yīng)該歸因于對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與理解不扎實(shí)。 避免把數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)成解題的教學(xué)，要注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)，基礎(chǔ)概念的的理解與掌握，增加教學(xué)評(píng)價(jià)方式的多樣化，在討論、探究、辯論的過(guò)程中可以更好地反映學(xué)生對(duì)具體問(wèn)題的理解與思考，教師在教學(xué)過(guò)程中可以利用這個(gè)優(yōu)勢(shì)，通過(guò)討論、探究、辯論等更加靈活的方式考查學(xué)生對(duì)基本概念、基本理論的理解程度。(2)在解題狀態(tài)中缺乏高度集中的注意力。解數(shù)學(xué)題是一個(gè)需要高度精確的工作，所以在解題過(guò)程中需要解題者保持身心合一的狀態(tài),很多學(xué)生在解題的過(guò)程中并沒(méi)有達(dá)到思維高度集中的狀態(tài)，注意力分散，容易被別的事情干擾，這樣的話，很容易在審題過(guò)程中發(fā)生錯(cuò)用、忽視題目條件，或者在解題過(guò)程中發(fā)生一些低級(jí)的過(guò)程性、結(jié)果性錯(cuò)誤。培養(yǎng)或提高解題過(guò)程中的注意力不是單一的工作，通過(guò)提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解與認(rèn)識(shí)，形成良好的解題感覺(jué)可以保持注意力的集中。

對(duì)于情況3，情況4，情況5中解題條件的理解上存在的問(wèn)題，形成的原因主要有以下幾點(diǎn)(1)缺乏綜合性幾何問(wèn)題的解題經(jīng)驗(yàn)。對(duì)多問(wèn)題題目的各個(gè)條件理解不到位，導(dǎo)致錯(cuò)用亂用條件與結(jié)論導(dǎo)致解題失敗。 多問(wèn)題幾何題目中前面的問(wèn)題是否可以作為其他問(wèn)題的條件取決于第1個(gè)問(wèn)題除了題目中的大條件之外有沒(méi)有其他的附加條件，如果有附加條件，就要考察其他問(wèn)題是否有完全一致的附加條件，否則不能作為條件與結(jié)論應(yīng)用在其他問(wèn)題的解答過(guò)程中。(2)思維定勢(shì)不利于解決開(kāi)放性幾何問(wèn)題。在長(zhǎng)期解題或作圖過(guò)程中會(huì)形成自己的解題與作圖習(xí)慣，比如做角，有些學(xué)生習(xí)慣于在已知線段的左側(cè)作圖，那么對(duì)于很多開(kāi)放性問(wèn)題，他可能就想不到針對(duì)既有線段，既可以在左側(cè)，也可以在右側(cè)做出角。對(duì)于題目中沒(méi)有給出圖形，但是解題過(guò)程需要結(jié)合圖形完成的這類(lèi)題目，必須要考慮作圖的不唯一性。(3)感知分析力差導(dǎo)致各條件的整合存在問(wèn)題。在解決幾何問(wèn)題的過(guò)程中，很多學(xué)生把題目條件以及圖形中的所有隱含條件都能夠找到，但是卻找不到各個(gè)條件之間的聯(lián)系以及這種聯(lián)系與解決題目核心問(wèn)題之間的關(guān)系。感知分析力差往往與學(xué)情基礎(chǔ)有很大的關(guān)系，可以通過(guò)先解決基礎(chǔ)題目，再?lài)L試復(fù)雜題目，先解決單問(wèn)題題目再解決多問(wèn)題題目等由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的學(xué)習(xí)、教學(xué)模式，提升對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的感知分析力。