馬廣富，柳明旻,2，王靚玥，郭延寧

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，哈爾濱 150001； 2. 上海航天控制技術(shù)研究所，上海 200233)

0 引 言

隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展，航天器結(jié)構(gòu)愈發(fā)復(fù)雜，航天任務(wù)愈加多樣。執(zhí)行科學(xué)任務(wù)的現(xiàn)代航天器裝配了數(shù)量較大、造價(jià)昂貴的敏感元件，如星敏感器、紅外望遠(yuǎn)鏡、紅外干涉儀等[1]。這些敏感元件容易受到強(qiáng)光強(qiáng)熱天體的影響而失效，因此應(yīng)考慮避免太陽(yáng)光、地氣光、甚至月光等雜散光進(jìn)入視野。同樣比如在在軌服務(wù)、空間攻防、碎片清除等空間任務(wù)中，還需要考慮目標(biāo)對(duì)觀測(cè)視野的遮擋或者反射等。綜上各種因素以及其它約束的存在，導(dǎo)致了航天器在軌運(yùn)行過(guò)程中存在某些禁止指向的姿態(tài)約束集。特別是在姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中，為了確保該過(guò)程敏感器持續(xù)可用，必須在整個(gè)機(jī)動(dòng)過(guò)程考慮禁止姿態(tài)指向約束集的情況下規(guī)劃可行姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑及設(shè)計(jì)姿態(tài)控制律。需要注意的是，該禁止指向姿態(tài)約束集同航天器自身運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、敏感器視野、光源或者目標(biāo)位置等因素均相關(guān)，使得約束條件難以給出適于控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的通用描述。此外，考慮規(guī)避多禁止指向區(qū)域的航天器可行姿態(tài)機(jī)動(dòng)區(qū)域是一個(gè)無(wú)界非凸的空間，對(duì)于相應(yīng)的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)帶來(lái)了諸多難點(diǎn)。

近年來(lái)，各國(guó)學(xué)者針對(duì)考慮禁止指向區(qū)域的航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制進(jìn)行了廣泛的研究，并取得了一定的進(jìn)展。目前，可以將解決此問(wèn)題的方法分為路徑規(guī)劃法和人工勢(shì)函數(shù)法兩類(lèi)。

路徑規(guī)劃是指在空間中設(shè)計(jì)一條可以規(guī)避禁止指向區(qū)域的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑，并施加跟蹤控制力矩使得航天器沿此路徑完成姿態(tài)機(jī)動(dòng)。Singh等[2]針對(duì)Cassini號(hào)探測(cè)器設(shè)計(jì)約束監(jiān)測(cè)法，并成功應(yīng)用于Deep Space 1實(shí)際任務(wù)中，但該方法僅適用于某些特定任務(wù)自主姿態(tài)規(guī)劃，不具有普適性。Spindler[3]、Hablani[4]通過(guò)分析敏感器指向和明亮天體方向之間的幾何關(guān)系，在航天器機(jī)動(dòng)操作前規(guī)劃一條沿禁止指向區(qū)域切線的可行姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑，但其規(guī)劃過(guò)程未考慮航天器動(dòng)力學(xué)特性，計(jì)算復(fù)雜。Frazzoli等[5]、Kornfeld[6]應(yīng)用如遺傳算法等隨機(jī)算法解決了禁止指向約束等多種不同約束的姿態(tài)機(jī)動(dòng)規(guī)劃問(wèn)題，但其計(jì)算量受到約束種類(lèi)、航天器姿態(tài)等多種因素的影響。Sun等[7]將禁止指向約束轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)，并將姿態(tài)機(jī)動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次型規(guī)劃問(wèn)題，利用提出的一種最小秩方法求解最佳的機(jī)動(dòng)路徑。但該方法計(jì)算量較大，需要多次計(jì)算獲得最優(yōu)解?？娺h(yuǎn)明等[8]將多約束條件下的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑規(guī)劃控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化控制問(wèn)題，并采用基于比例微分控制編碼方法的粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行求解以得到最佳的機(jī)動(dòng)路徑，但其需要進(jìn)行多次迭代搜索，規(guī)劃時(shí)間較長(zhǎng)。路徑規(guī)劃方法通?？梢垣@得最佳的機(jī)動(dòng)路徑，但其計(jì)算量較大、計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，故該方法更適用于離線或慢變的簡(jiǎn)單約束任務(wù)場(chǎng)景，不宜用于考慮多種復(fù)雜約束的實(shí)時(shí)在線航天器自主姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)。

勢(shì)函數(shù)法最初應(yīng)用于機(jī)器人在操作空間的路徑規(guī)劃問(wèn)題，其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)時(shí)控制、計(jì)算簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，目前已被應(yīng)用于天體軟著陸、飛行器編隊(duì)飛行、航天器自主交會(huì)和路徑規(guī)劃等航天領(lǐng)域[9]。勢(shì)函數(shù)法應(yīng)用于規(guī)避禁止指向區(qū)域的航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)也取得了一定的研究成果。McInnes[10-11]設(shè)計(jì)了基于高斯函數(shù)的人工勢(shì)場(chǎng)函數(shù)以規(guī)避太陽(yáng)光的照射，并將其引入李亞普諾夫函數(shù)中進(jìn)行大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制律的設(shè)計(jì)。然而由于其采用歐拉角描述航天器的姿態(tài)及其約束，可能導(dǎo)致姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中存在奇異問(wèn)題。鄭重等[12]在此基礎(chǔ)上采用四元數(shù)描述航天器的禁止姿態(tài)約束以及高斯人工勢(shì)場(chǎng)函數(shù)，并分別對(duì)有無(wú)擾動(dòng)下閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。張景瑞等[13]基于禁止姿態(tài)作用范圍設(shè)計(jì)一種可以規(guī)避局部極小值的勢(shì)函數(shù)，并利用反步法對(duì)控制律進(jìn)行設(shè)計(jì)。崔祜濤等[14]通過(guò)在單位球面上建立視線軸對(duì)應(yīng)的導(dǎo)航函數(shù)設(shè)計(jì)了一種基于反步法的指向約束姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制律，并對(duì)控制律進(jìn)行改進(jìn)使其同時(shí)滿足輸入受限和常干擾抑制。Kim等[15]基于四元數(shù)描述方式對(duì)空間中多種姿態(tài)約束進(jìn)行參數(shù)化凸描述，并利用凸優(yōu)化方法對(duì)航天器的控制律進(jìn)行設(shè)計(jì)。Lee等[1]利用該參數(shù)化約束描述設(shè)計(jì)了一種凸對(duì)數(shù)勢(shì)函數(shù)，并分別根據(jù)李亞普諾夫直接法和改進(jìn)反步法設(shè)計(jì)了模型獨(dú)立及模型非獨(dú)立兩種姿態(tài)控制律。該方法能夠滿足多種姿態(tài)約束的同時(shí)在任意初始條件下保證系統(tǒng)的全局收斂性，但其設(shè)計(jì)的對(duì)數(shù)勢(shì)函數(shù)缺乏較明確的物理意義。同時(shí)，Lee等[17]還應(yīng)用此約束描述將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化求解問(wèn)題，并利用高斯偽譜法求解了考慮多種姿態(tài)約束下的時(shí)間能量最優(yōu)控制。馮振欣等[18]針對(duì)微小衛(wèi)星存在多重指向約束的姿態(tài)控制問(wèn)題進(jìn)行研究，在考慮微小衛(wèi)星計(jì)算能力有限的情況下，提出了一種基于對(duì)數(shù)型勢(shì)函數(shù)的航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制律，并同時(shí)解決了角速度受限問(wèn)題。

由于現(xiàn)有的勢(shì)函數(shù)存在局部極小值問(wèn)題或缺乏較為明確的物理意義，本文在構(gòu)造通用的禁止指向區(qū)域凸約束集的基礎(chǔ)上提出了一種新型具有明確物理意義的凸勢(shì)函數(shù)，能夠有效地避免傳統(tǒng)勢(shì)函數(shù)中的局部極小值問(wèn)題。進(jìn)一步地，考慮多個(gè)禁止指向區(qū)域，設(shè)計(jì)一種基于反步法的姿態(tài)控制律，以實(shí)現(xiàn)航天器的自主姿態(tài)機(jī)動(dòng)。通過(guò)典型數(shù)值仿真校驗(yàn)了所設(shè)計(jì)控制算法的有效性。

1 航天器模型建立

本文以剛體航天器為研究對(duì)象，采用四元數(shù)描述航天器的姿態(tài)，根據(jù)剛體動(dòng)量矩定理以及剛體復(fù)合運(yùn)動(dòng)關(guān)系建立航天器的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如式(1)、式(2)所示:

(1)

(2)

其中，

(3)

(4)

其中，

2 禁止姿態(tài)約束描述

航天器上裝配有各類(lèi)敏感器，在其姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中，應(yīng)避免太陽(yáng)等光源進(jìn)入敏感器視場(chǎng)，以保證敏感器的正常使用，將這類(lèi)約束稱(chēng)為禁止指向區(qū)域。不失一般性，以太陽(yáng)為例，其它光源的描述與其相同，其約束示意圖如圖1所示。其中，xi為航天器指向太陽(yáng)方向的單位向量在慣性系的投影，y代表航天器敏感器視線方向的單位向量在本體系下的投影，θ代表該敏感器的視場(chǎng)大小。

圖1 禁止姿態(tài)示意圖

當(dāng)航天器滿足禁止指向約束時(shí)，光源未進(jìn)入敏感器的視場(chǎng)范圍，即代表方向的兩個(gè)單位向量在同一坐標(biāo)系下投影的夾角應(yīng)大于敏感器的視場(chǎng)角，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(5)所示:

xi·yi

(5)

式中:yi代表敏感器視線方向的單位向量在慣性系下的投影。

敏感器視線方向在慣性下的投影與航天器的姿態(tài)相關(guān)，實(shí)時(shí)變化，不能通用地描述禁止指向區(qū)域。因此，需要將敏感器視線方向在慣性系下的投影yi轉(zhuǎn)化為其在本體系的投影y，轉(zhuǎn)換關(guān)系如式(6)所示:

2(qTy)q+2q4(y×q)

(6)

將式(6)代入式(5)，并整理可得：

2qTyqTxi-qTq(xi)Ty+

(7)

對(duì)式(7)進(jìn)行代數(shù)變化，轉(zhuǎn)換為如式(8)所示的矩陣形式:

(8)

其中，a=xiyT+y(xi)T-((xi)Ty+cosθ)I3，b=(xi)×y，d=(xi)Ty-cosθ

從矩陣A的定義可以看出，A為對(duì)稱(chēng)矩陣，其特征值均為實(shí)數(shù)。同時(shí)，由于A為非正定矩陣，式(8)描述的約束集為非凸集合。非凸約束集在尋找可行機(jī)動(dòng)路徑時(shí)不僅會(huì)增加計(jì)算的復(fù)雜性，而且會(huì)使姿態(tài)陷入局部極小值而不能到達(dá)期望姿態(tài)。因此，需要對(duì)該非凸約束集進(jìn)行處理轉(zhuǎn)化為凸約束集，并將約束中的姿態(tài)四元數(shù)轉(zhuǎn)化為誤差四元數(shù)的形式，為后續(xù)勢(shì)函數(shù)以及控制律的設(shè)計(jì)提供基礎(chǔ)。

定理1.禁止姿態(tài)約束集式(8)可以轉(zhuǎn)化為如式(9)所示的凸約束集形式:

(9)

證.

3 基于勢(shì)函數(shù)的反步法控制律

3.1 勢(shì)函數(shù)設(shè)計(jì)

太空中的光源并非只有太陽(yáng)，故應(yīng)考慮姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)存在多個(gè)禁止指向區(qū)域。實(shí)際航天器中敏感器分布在多個(gè)軸向，即航天器不止單軸受到禁止指向約束。但由于增加指向軸約束會(huì)使姿態(tài)機(jī)動(dòng)的可行空間受到限制，求解復(fù)雜，故本文提出的控制律僅考慮航天器僅單軸受到多禁止指向約束，但延伸應(yīng)用到多軸多禁止指向約束任務(wù)同樣行之有效。

在第2節(jié)對(duì)約束集合凸化的基礎(chǔ)上，本文提出一種新型的凸勢(shì)函數(shù)，該勢(shì)函數(shù)具有明確物理意義，且僅在期望姿態(tài)處具有全局極小值?？紤]多禁止指向約束構(gòu)建的勢(shì)函數(shù)如式(10)所示:

(10)

其中，ki>0為姿態(tài)禁止區(qū)域在勢(shì)函數(shù)中代表的權(quán)重。此勢(shì)函數(shù)中，分子代表了當(dāng)前姿態(tài)與禁止指向區(qū)域的距離，距離越近，分子越小，產(chǎn)生的排斥力越大。而分母則描述期望姿態(tài)的吸引作用，姿態(tài)距離期望姿態(tài)越近，分母值越小，勢(shì)函數(shù)的排斥作用越小。當(dāng)航天器姿態(tài)到達(dá)期望姿態(tài)時(shí)，勢(shì)函數(shù)值為0，即完成了姿態(tài)機(jī)動(dòng)。

證.

下面證明該勢(shì)函數(shù)是凸函數(shù)，通過(guò)對(duì)其海森矩陣(二階梯度)的正負(fù)定性來(lái)判斷其是否為凸函數(shù)，當(dāng)其海森矩陣為正定矩陣時(shí)，該函數(shù)為凸函數(shù)。

該勢(shì)函數(shù)的一階梯度如式(11)所示：

(11)

求導(dǎo)并整理得到二階梯度如式(12)所示：

(12)

(13)

3.2 基于反步法的航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制律

反步法是一種遞歸設(shè)計(jì)方法，其設(shè)計(jì)思想是遞歸地構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)設(shè)計(jì)控制律，能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂到平衡狀態(tài)。式(1)、式(4)構(gòu)成的航天器姿態(tài)誤差模型是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)[19]，因此可以基于反步法對(duì)該系統(tǒng)的姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制律進(jìn)行設(shè)計(jì)。

反步法控制律的設(shè)計(jì)分為兩步。

第一步，設(shè)計(jì)虛擬角速度控制律使航天器的運(yùn)動(dòng)學(xué)分系統(tǒng)穩(wěn)定。該分系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)即為式(10)所示的勢(shì)函數(shù)，對(duì)其求取時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)，如式(14)所示:

(14)

式中：ωs為待設(shè)計(jì)的虛擬角速度控制律。

為保證該分系統(tǒng)漸近穩(wěn)定地收斂到平衡狀態(tài)，設(shè)計(jì)ωs如式(15)所示

(15)

式中:α>0為虛擬角速度控制律的設(shè)計(jì)參數(shù)。

此時(shí)，滿足

在式(15)控制律作用下，該分系統(tǒng)漸漸穩(wěn)定。

第二步，設(shè)計(jì)控制力矩使得虛擬角速度ωs趨近于真實(shí)角速度且漸近收斂于平衡狀態(tài)，即使航天器的動(dòng)力學(xué)分系統(tǒng)穩(wěn)定。

定義虛擬狀態(tài)量

(16)

構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)為

(17)

對(duì)其求取時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)可得：

(18)

(19)

為保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)控制律

(20)

將式(15)代入式(20)對(duì)控制律進(jìn)行整理，得到利用反步法設(shè)計(jì)的基于勢(shì)函數(shù)的航天器姿態(tài)控制律如式(21)所示:

(21)

式(21)所設(shè)計(jì)的控制律由三項(xiàng)組成，其中第一項(xiàng)為航天器動(dòng)力學(xué)非線性抵消項(xiàng)，第二項(xiàng)為虛擬角速度跟蹤誤差項(xiàng)，第三項(xiàng)為姿態(tài)誤差控制項(xiàng)。在該控制律的作用下，航天器能夠滿足禁止指向約束的同時(shí)從任意初始狀態(tài)機(jī)動(dòng)到期望狀態(tài)。

4 數(shù)值仿真

為校驗(yàn)該控制律的可行性對(duì)其進(jìn)行數(shù)值仿真。本節(jié)考慮在空間中存在兩個(gè)光源不能進(jìn)入敏感器的視場(chǎng)，利用式(21)所示的控制律進(jìn)行控制，驗(yàn)證其在完成姿態(tài)機(jī)動(dòng)目的時(shí)能夠滿足姿態(tài)約束。

當(dāng)航天器姿態(tài)誤差較大或距離禁止指向區(qū)域較近時(shí)，由此控制律得到的控制力矩往往較大，雖然能夠使航天器姿態(tài)快速機(jī)動(dòng)到期望姿態(tài)及迅速遠(yuǎn)離禁止指向區(qū)域，但由于航天器的實(shí)際執(zhí)行機(jī)構(gòu)具有物理限制，因此需要考慮控制受限問(wèn)題。通過(guò)合理選擇控制律中各項(xiàng)參數(shù)，使得控制律滿足幅值限制。

在航天器誤差角速度有界的假設(shè)下，航天器的控制力矩幅值滿足

(22)

具體的仿真條件如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

本仿真算例中，控制力矩的幅值約束為10 Nm，選取控制律參數(shù)為α=0.54，β=30，搭建Matlab中的Simulink模型進(jìn)行仿真，并繪制仿真結(jié)果圖。航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中的誤差四元數(shù)變化、誤差角速度變化、控制力矩變化分別如圖2、圖3、圖4所示。

為更直觀地觀察航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑對(duì)禁止指向區(qū)域的規(guī)避，在三維球體上繪制出禁止指向區(qū)域以及航天器敏感器指向的機(jī)動(dòng)路徑圖，如圖5所示。

圖5 航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)軌跡三維示意圖

其中，A錐體表示光源1的禁止指向區(qū)域，B錐體代表光源2的禁止指向區(qū)域。粗實(shí)線代表敏感器指向從初始姿態(tài)q0到期望姿態(tài)qd的機(jī)動(dòng)路徑。

從圖2、圖3可以看出，航天器誤差四元數(shù)以及誤差角速度的調(diào)節(jié)時(shí)間在60 s左右，系統(tǒng)的超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差范圍合理。但由于控制律設(shè)計(jì)采用反步法，系統(tǒng)在到達(dá)平衡狀態(tài)附近的控制作用較弱，趨向于平衡狀態(tài)的時(shí)間較長(zhǎng)。同時(shí)，圖4中控制力矩的幅值始終小于10 N·m，滿足飽和約束，但控制幅值受限帶來(lái)了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)的不利影響。

圖2 航天器誤差四元數(shù)仿真結(jié)果

圖3 航天器誤差角速度仿真結(jié)果

圖4 航天器控制力矩變化圖

從圖5可以看出，航天器的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑在靠近光源1或光源2的禁止指向區(qū)域時(shí)，由于受到勢(shì)函數(shù)的排斥作用而偏離最佳機(jī)動(dòng)路徑，具體表現(xiàn)為在禁止指向區(qū)域附近的機(jī)動(dòng)路徑為遠(yuǎn)離該區(qū)域的兩條弧線。這與控制力矩仿真圖中出現(xiàn)兩次尖峰相符合。同時(shí)禁止指向區(qū)域權(quán)重的大小不同以及距離期望姿態(tài)指向的遠(yuǎn)近不一，光源1產(chǎn)生的排斥力要強(qiáng)于光源2產(chǎn)生的排斥力，控制力矩仿真圖4中表現(xiàn)為第一次尖峰的峰值大于第二次尖峰幅值，與仿真圖5中弧線規(guī)避路徑的半徑大小不同相對(duì)應(yīng)。

5 結(jié) 論

本文在結(jié)合物理意義明確的凸勢(shì)函數(shù)基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種基于反步法的航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制律，能夠快速穩(wěn)定準(zhǔn)確地完成航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程的同時(shí)實(shí)現(xiàn)多禁止指向區(qū)域的規(guī)避。仿真結(jié)果表明了該算法的有效性。

未來(lái)將著手于航天器空間中受到禁止指向區(qū)域、強(qiáng)制指向區(qū)域等多種約束條件下的姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制，以及對(duì)目前控制方法進(jìn)行改進(jìn)加快穩(wěn)態(tài)值附近的控制作用以獲得更佳的控制效果。