黃 成，王 巖，鄧立為

(1. 哈爾濱理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，哈爾濱150080；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，哈爾濱150001)

0 引 言

航天器姿態(tài)控制技術(shù)在交會(huì)對(duì)接、在軌裝配、繞飛和編隊(duì)飛行等太空任務(wù)中有廣泛的應(yīng)用，是順利完成各項(xiàng)任務(wù)的關(guān)鍵因素。近年來，為進(jìn)一步提高航天器姿態(tài)控制精度，特別是確保姿態(tài)大角度機(jī)動(dòng)時(shí)的穩(wěn)定性與魯棒性，許多非線性控制方法得到了廣泛研究和應(yīng)用，如漸進(jìn)穩(wěn)定控制[1]、魯棒次優(yōu)控制[2]、基于線性矩陣不等式的非線性控制[3]和逆最優(yōu)自適應(yīng)控制[4]等。這些方法都能夠很好地解決航天器姿態(tài)系統(tǒng)的非線性控制問題，但忽略了系統(tǒng)狀態(tài)的有限時(shí)間收斂性。因此，為了滿足空間任務(wù)的快速性要求和實(shí)現(xiàn)航天器更高的可操作性，具有有限時(shí)間收斂和非線性等特性的有限時(shí)間控制方法被廣泛應(yīng)用到航天器姿態(tài)控制領(lǐng)域[5]。

齊次性原理常被用于航天器姿態(tài)有限時(shí)間控制器的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[6]利用有限時(shí)間觀測器，針對(duì)航天器角速度不可測量的情況設(shè)計(jì)了有限時(shí)間輸出反饋?zhàn)藨B(tài)跟蹤控制器。進(jìn)一步地，文獻(xiàn)[7]針對(duì)編隊(duì)飛行航天器，設(shè)計(jì)了分布的有限時(shí)間輸出反饋?zhàn)藨B(tài)協(xié)同控制器。考慮執(zhí)行器的物理限制，文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了具有飽和特性的航天器姿態(tài)穩(wěn)定有限時(shí)間控制器。為了更好地處理系統(tǒng)所受的外部擾動(dòng)，終端滑?？刂评碚摮１粦?yīng)用于航天器姿態(tài)有限時(shí)間控制器的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[9-11]利用終端滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)了航天器有限時(shí)間姿態(tài)控制器。為了解決終端滑?？刂破娈惖膯栴}，文獻(xiàn)[12-13]設(shè)計(jì)了基于非奇異終端滑模面的航天器有限時(shí)間姿態(tài)控制器。進(jìn)一步地，為了解決終端滑模控制在遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)收斂速度慢的問題，文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)了基于快速終端滑模面和雙閉環(huán)結(jié)構(gòu)的有限時(shí)間姿態(tài)位置耦合控制器；文獻(xiàn)[15]針對(duì)剛?cè)狁詈闲l(wèi)星設(shè)計(jì)了有限時(shí)間輸出反饋?zhàn)藨B(tài)控制器；文獻(xiàn)[16]設(shè)計(jì)了快速非奇異終端滑模面，并應(yīng)用到航天器姿態(tài)有限時(shí)間控制。剛性航天器姿態(tài)系統(tǒng)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)，反步法作為一種應(yīng)用于級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的強(qiáng)大設(shè)計(jì)工具，在處理該類系統(tǒng)控制問題時(shí)具有很大的優(yōu)勢，常被用于航天器姿態(tài)有限時(shí)間控制器的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[17]利用自適應(yīng)預(yù)測和反步法設(shè)計(jì)了微型航天器有限時(shí)間姿態(tài)控制器。進(jìn)一步地，文獻(xiàn)[18-19]利用有限時(shí)間觀測器和反步法設(shè)計(jì)了有限時(shí)間輸出反饋?zhàn)藨B(tài)跟蹤控制器。

雖然上述研究都采用數(shù)值仿真手段對(duì)控制方法進(jìn)行了校驗(yàn)，但是鑒于空間任務(wù)的特殊性，在航天器進(jìn)入太空之前，必須對(duì)其控制方法和系統(tǒng)進(jìn)行嚴(yán)格的地面物理仿真試驗(yàn)。因此，為了更真實(shí)地檢驗(yàn)控制方法的可行性和有效性，有關(guān)地面物理仿真試驗(yàn)的研究必不可少。文獻(xiàn)[20]和文獻(xiàn)[21]分別應(yīng)用三自由度氣浮臺(tái)物理仿真系統(tǒng)和五自由度氣浮臺(tái)物理仿真系統(tǒng)對(duì)航天器控制問題進(jìn)行了物理仿真試驗(yàn)研究。文獻(xiàn)[22]將最優(yōu)滑?？刂品椒☉?yīng)用到六自由度氣浮仿真試驗(yàn)臺(tái)上。

考慮太空任務(wù)的特殊性和現(xiàn)代航天器姿態(tài)大角度機(jī)動(dòng)任務(wù)對(duì)快速收斂性的需求，根據(jù)基于反步法的有限時(shí)間控制與基于快速終端滑模的有限時(shí)間控制相比在動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度方面的優(yōu)越性[23]，本文設(shè)計(jì)了連續(xù)的自適應(yīng)反步有限時(shí)間姿態(tài)大角度機(jī)動(dòng)控制器，并將該控制方法應(yīng)用到某型號(hào)航天器交會(huì)對(duì)接全物理仿真試驗(yàn)中，通過試驗(yàn)來驗(yàn)證方法的可行性。與現(xiàn)有文獻(xiàn)相比，本文研究的創(chuàng)新點(diǎn)在于：1)考慮系統(tǒng)受到外部擾動(dòng)，利用改進(jìn)的自適應(yīng)律進(jìn)行估計(jì)，并保證控制器的連續(xù)性；2)對(duì)設(shè)計(jì)的控制方法進(jìn)行全物理仿真試驗(yàn)和對(duì)比試驗(yàn)，驗(yàn)證其可行性和有效性，進(jìn)而提高方法的可應(yīng)用價(jià)值。

本文首先給出了航天器姿態(tài)控制模型；然后設(shè)計(jì)了魯棒的有限時(shí)間控制器，并給出了相應(yīng)的證明；最后，通過數(shù)值仿真表明了控制方法的有限時(shí)間穩(wěn)定性和有效性，并進(jìn)一步將控制方法應(yīng)用到全物理仿真試驗(yàn)，校驗(yàn)了其可行性和有效性。

1 航天器姿態(tài)控制模型

旋轉(zhuǎn)矩陣描述方式能夠避免歐拉角描述方式的奇異問題發(fā)生，基于旋轉(zhuǎn)矩陣的航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型為

(1)

(2)

(3)

式中：Rc∈SO(3)表示航天器姿態(tài)從本體坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣；ωc∈R3×1為航天器姿態(tài)角速度在本體坐標(biāo)系下的表示；Jc∈R3×3為航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；u∈R3×1和d∈R3×1分別為航天器的控制力矩和擾動(dòng)力矩在本體坐標(biāo)系下的表示。

姿態(tài)誤差Re為矩陣，很難應(yīng)用到控制器的設(shè)計(jì)中，本文采用文獻(xiàn)[24]構(gòu)造的一種姿態(tài)誤差表示形式

(4)

式中:tr(Re)表示Re的跡，“∨”表示叉乘的逆運(yùn)算：SO(3)→R3×1。

(5)

(6)

(7)

(8)

2 控制器設(shè)計(jì)

本文利用反步法的思想設(shè)計(jì)航天器姿態(tài)大角度機(jī)動(dòng)有限時(shí)間控制器，下面給出設(shè)計(jì)控制器時(shí)要用到的相關(guān)引理和假設(shè)。

1)V為正定函數(shù)。

引理3[16].Β是正定對(duì)稱矩陣，λmin和λmax分別為矩陣B特征值中的最小值和最大值，對(duì)于x∈R3×1，有λminxTx≤xTΒx≤λmaxxTx成立。

1)V為正定函數(shù)。

引入如下變量

(9)

第一步，根據(jù)反步法的設(shè)計(jì)思路，同時(shí)為了保證姿態(tài)誤差e始終定義在集合L中，選取虛擬控制器為

(10)

f(x1,i)=

(11)

證. 選擇李雅普諾夫函數(shù)

(12)

(13)

根據(jù)引理1，結(jié)合式(11)可得

當(dāng)|x1,i|≤η,i=1,2,3時(shí),

-2(β1+β2r1)V1,i

(14)

當(dāng)|x1,i|>η,i=1,2,3時(shí),

(15)

根據(jù)引理2可知，x1,i在有限時(shí)間內(nèi)可收斂到區(qū)域|x1,i|≤η。

第二步，基于虛擬控制器(10)，設(shè)計(jì)連續(xù)控制器和自適應(yīng)更新律如下

(16)

(17)

選擇李雅普諾夫函數(shù)

(18)

對(duì)其沿著系統(tǒng)軌跡求導(dǎo)

(19)

代入式(16)～(17)，結(jié)合引理1和引理3整理得

(20)

uz=u-k2sig(x2)γ

(21)

定理1. 針對(duì)航天器姿態(tài)系統(tǒng)(5)～(6)，基于假設(shè)1，利用有限時(shí)間控制器(21)和自適應(yīng)律(17)，可以實(shí)現(xiàn)如下目標(biāo):

1) 狀態(tài)x1和x2是實(shí)際有限時(shí)間收斂的;

2) 角速度誤差ωe是實(shí)際有限時(shí)間收斂的。

證.考慮李雅普諾夫函數(shù)V2，對(duì)其沿著系統(tǒng)軌跡求導(dǎo)

當(dāng)|x1,i|>η時(shí)，

(22)

式中：

當(dāng)|x1,i|<η時(shí)，即x1已經(jīng)在收斂域|x1,i|<η內(nèi),則

(23)

根據(jù)式(9)～(10)，角速度誤差ωe可以表示為

ωe=x2-β1E-1x1-β2E-1f(x1)+

(24)

因?yàn)闋顟B(tài)x1和x2是實(shí)際有限時(shí)間收斂的，可以得到角速度誤差ωe是實(shí)際有限時(shí)間收斂的。問題(2)得證。

3 仿真校驗(yàn)

3.1 數(shù)值仿真

為了校驗(yàn)所提出控制器的有效性，本節(jié)進(jìn)行姿態(tài)大角度機(jī)動(dòng)有限時(shí)間控制數(shù)值仿真，方案如下：航天器從初始姿態(tài)機(jī)動(dòng)到橫滾角20°，俯仰角0°，偏航角0°的目標(biāo)姿態(tài)，分別與圖中姿態(tài)向量的第1、第2、第3個(gè)元素相對(duì)應(yīng)，并保持穩(wěn)定，機(jī)動(dòng)穩(wěn)定時(shí)間滿足t<30 s。為了校驗(yàn)所提出控制方法在動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度方面的優(yōu)越性，采用基于快速終端滑模的有限時(shí)間控制方法[23]進(jìn)行對(duì)比仿真。

根據(jù)全物理仿真系統(tǒng)的實(shí)際物理參數(shù)，航天器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

航天器姿態(tài)和角速度的初始值選擇為

[φ,δ,?]T=

[-0.00012, 0.00023935, -0.000234521]Trad

ωc(0)=

根據(jù)沃茲和尼爾森的研究結(jié)論，本次實(shí)驗(yàn)確定采用5名被試對(duì)象。研究者在與汽車相關(guān)的專業(yè)班級(jí)中篩選出5名學(xué)生作為測試對(duì)象。這些學(xué)生都掌握電腦基本操作，視力正常(或矯正視力正常)，愿意安排時(shí)間參與本項(xiàng)實(shí)驗(yàn)研究。

[0.0000536, -0.000101725, 0.0000957]Trad/s

外部擾動(dòng)力矩選擇為

d=0.002[sin(0.1t),cos(0.2t),sin(0.2t)]TN·m

圖1 姿態(tài)曲線

圖2 角速度曲線

圖3 控制力矩曲線

圖4 ψi估計(jì)值曲線

圖5～圖7是基于快速終端滑模的有限時(shí)間控制器作用下的閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)曲線，從圖5～圖7可以看出該控制方法準(zhǔn)確、快速地完成了姿態(tài)大角度機(jī)動(dòng)任務(wù)。由圖5～圖7和圖1～圖3的對(duì)比可知，在控制輸入相近的情況下，基于反步法的有限時(shí)間控制器和基于快速終端滑模的有限時(shí)間控制器作用下的閉環(huán)系統(tǒng)收斂性能基本相同，前者的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度更快，更適合姿態(tài)大角度機(jī)動(dòng)控制。

圖5 對(duì)比仿真姿態(tài)曲線

圖6 對(duì)比仿真角速度曲線

圖7 對(duì)比仿真控制力矩曲線

3.2 全物理仿真試驗(yàn)

本節(jié)在全物理仿真系統(tǒng)上進(jìn)行航天器姿態(tài)大角度機(jī)動(dòng)控制全物理仿真試驗(yàn)，試驗(yàn)方案同上，執(zhí)行機(jī)構(gòu)為控制力矩陀螺群。另外，為了驗(yàn)證所提出有限時(shí)間控制方法的可實(shí)際應(yīng)用性，采用工程上常用的PD控制方法進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。

有限時(shí)間控制方法的試驗(yàn)結(jié)果如圖8～圖10所示。從圖8和圖9可以看出，系統(tǒng)機(jī)動(dòng)軸的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程很快，機(jī)動(dòng)穩(wěn)定時(shí)間為26 s左右，兩個(gè)非機(jī)動(dòng)軸動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程平穩(wěn)，沒有出現(xiàn)由耦合干擾而引起的抖振現(xiàn)象。

圖8 姿態(tài)試驗(yàn)曲線

圖9 角速度試驗(yàn)曲線

圖10 控制力矩試驗(yàn)曲線

從圖8和圖9中還可以看出，穩(wěn)態(tài)階段姿態(tài)和角速度都出現(xiàn)了輕微的抖振現(xiàn)象，這是因?yàn)殡S著控制輸入的減弱，此時(shí)系統(tǒng)噪聲的影響顯著提高。在數(shù)值仿真中，由于沒有考慮噪聲的影響，所以在穩(wěn)態(tài)階段未出現(xiàn)上述抖振現(xiàn)象。圖10為控制力矩試驗(yàn)曲線。

PD控制方法的試驗(yàn)結(jié)果如圖11～圖13所示。將圖11～圖12與圖8～圖9進(jìn)行對(duì)比可知，兩種控制方法作用下的機(jī)動(dòng)軸穩(wěn)態(tài)指向精度基本相同，而有限時(shí)間控制所需的機(jī)動(dòng)時(shí)間更短。將圖13與圖10進(jìn)行對(duì)比可知，有限時(shí)間控制方法作用下的執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出最大控制力矩的時(shí)間相對(duì)較長，調(diào)整時(shí)間相對(duì)較短。

圖13 PD控制下控制力矩試驗(yàn)曲線

圖12 PD控制下角速度試驗(yàn)曲線

圖11 PD控制下姿態(tài)試驗(yàn)曲線

表1和表2給出了姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)的調(diào)節(jié)時(shí)間、穩(wěn)態(tài)時(shí)姿態(tài)指向精度和穩(wěn)態(tài)時(shí)姿態(tài)穩(wěn)定度，說明兩種控制方法的技術(shù)指標(biāo)都滿足試驗(yàn)要求，穩(wěn)態(tài)時(shí)姿態(tài)指向精度和穩(wěn)態(tài)時(shí)姿態(tài)穩(wěn)定度基本相同。另外，與PD控制方法相比，有限時(shí)間控制方法所需的調(diào)節(jié)時(shí)間更短。

表1 調(diào)節(jié)時(shí)間

表2 技術(shù)指標(biāo)

4 結(jié) 論

本文采用反步法研究了航天器姿態(tài)大角度機(jī)動(dòng)有限時(shí)間控制問題。所設(shè)計(jì)的有限時(shí)間控制器實(shí)現(xiàn)了航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂，自適應(yīng)律在完成了對(duì)外部擾動(dòng)估計(jì)的同時(shí)保證了控制器的連續(xù)性。仿真結(jié)果表明了所提出控制方法的有效性，全物理仿真試驗(yàn)進(jìn)一步校驗(yàn)了方法的有效性和優(yōu)越性。