高 倩,高 麗,梁曉艷

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000)

0 引言

對(duì)于任意正整數(shù)n,歐拉函數(shù)φ(n)表示1,2,…,n-1中與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。歐拉函數(shù)φ(n)是數(shù)論中極為重要的一類函數(shù),而有關(guān)該方程解的研究也是數(shù)論中極具意義的研究課題之一。引起了不少數(shù)論學(xué)者的關(guān)注,也得到了一些結(jié)論。如文獻(xiàn)[1]得出方程φ(mn)=k(φ(m)+φ(n))在k=3時(shí)的部分解,而文獻(xiàn)[2-4]得出該方程在k=3,4,5,6時(shí)的全部解,而文獻(xiàn)[5-7]得出方程φ(xyz)=k[φ(x)+φ(y)+φ(z)]在k=3,4,5時(shí)的全部解,張四保[8]研究了歐拉函數(shù)方程φ(ab)=kφ(a)φ(b)的可解性問題,本文在上述文獻(xiàn)的啟發(fā)下研究φ(abc)=3φ(a)φ(b)+4φ(c)的可解性問題，并給出了該方程的全部正整數(shù)解。

1 相關(guān)引理

其中p1,p2,…pk為素?cái)?shù)。

引理3[9]當(dāng)n≥2時(shí),φ(n)

2 定理及其證明

定理三元變系數(shù)混合型歐拉函數(shù)方程φ(abc)=3φ(a)φ(b)+4φ(c)有共計(jì)87組正整數(shù)解,即為下述

φ(a,b,c)=(1,17,5),(1,17,8),(1,17,10),(1,17,12),(1,32,5),(1,34,5),(1,48,5),(2,17,5),(3,16,5),(16,3,5),(17,1,5),(17,1,8),(17,1,10),(17,1,12),(17,2,5),(32,1,5),(34,1,5),(48,1,5)(1,15,7),(1,16,7),(1,20,7),(1,24,7),(1,30,7),(1,16,9),(1,20,9),(1,15,14),(2,15,7),(3,5,7),(3,8,7),(3,10,7),(3,5,14),(4,5,7),(4,5,9),(6,5,7),(5,3,7),(5,3,14),(5,4,7),(5,4,9),(5,6,7),(8,3,7),(10,3,7),(15,1,7),(15,1,14),(15,2,7),(16,1,7),(16,1,9),(20,1,7),(20,1,9),(24,1,7),(30,1,7),(2,15,4),(2,16,3),(2,20,3),(1,16,4),(1,20,4),(1,24,4),(4,5,6),(4,10,3),(3,8,4),(4,5,4),(4,8,3),(3,10,4),(10,3,4),(10,4,3),(5,4,6),(5,6,4),(5,4,4),(8,3,4),(8,4,3),(30,1,4),(16,1,6),(20,1,6),(16,2,3),(20,2,3),(15,2,4),(2,8,2),(2,10,2)(2,12,2),(4,4,2),(4,6,2),(6,4,2),(10,2,2),(12,2,2),(8,2,2),(16,1,4),(20,1,4),(24,1,4)。

證明對(duì)于三元變系數(shù)混合型歐拉函數(shù)方程

φ(abc)=3φ(a)φ(b)+4φ(c)

(1)

=3φ(a)φ(b)+4φ(c)≤7φ(a)φ(b)φ(c)

(1)當(dāng)φ(c)=4,φ(a)φ(b)=16時(shí),得φ(c)=4,φ(a)=1,φ(b)=16;φ(c)=4,φ(a)=2,φ(b)=8;φ(c)=4,φ(a)=4,φ(b)=4;φ(c)=4,φ(a)=8,φ(b)=2;φ(c)=4,φ(a)=16,φ(b)=1。

1)當(dāng)φ(c)=4,φ(a)=1,φ(b)=16時(shí),c=5,8,10,12;a=1,2;b=17,32,34,40,48,60。將a,b,c分別組合代入(a,bc)=1,(b,c)=1經(jīng)驗(yàn)證得(a,b,c)=(1,17,5),(1,17,8),(1,17,10),(1,17,12),(1,32,5),(1,34,5),(1,48,5),(2,17,5)滿足(1)式。

2)當(dāng)φ(c)=4,φ(a)=2,φ(b)=8時(shí)c=5,8,10,12;a=3,4,6;b=15,16,20,24,30。將a,b,c分別組合代入(a,bc)=1,(b,c)=1經(jīng)驗(yàn)證得(a,b,c)=(3,16,5)滿足(1)式。

3)當(dāng)φ(c)=4,φ(a)=4,φ(b)=4時(shí)a=b=c=5,8,10,12。將a,b,c分別組合代入(a,bc)=1,(b,c)=1,經(jīng)驗(yàn)證不存在(a,b,c)滿足(1)式。

4)當(dāng)φ(c)=4,φ(a)=8,φ(b)=2時(shí)c=5,8,10,12;a=15,16,20,24,30;b=3,4,6。將a,b,c分別組合代入(a,bc)=1,(b,c)=1,經(jīng)驗(yàn)證得(a,b,c)=(16,3,5)滿足(1)式。

5)當(dāng)φ(c)=4,φ(a)=16,φ(b)=1時(shí)c=5,8,10,12;a=17,32,34,40,48,60;b=1,2。將a,b,c分別組合代入(a,bc)=1,(b,c)=1,經(jīng)驗(yàn)證得(a,b,c)=(17,1,5),(17,1,8),(17,1,10),(17,1,12),(17,2,5),(32,1,5),(34,1,5),(48,1,5)滿足(1)式。

(2)當(dāng)φ(c)=5,φ(a)φ(b)=10時(shí)，得φ(c)=5,φ(a)=1,φ(b)=10;φ(c)=5,φ(a)=2,φ(b)=5;φ(c)=5,φ(a)=5,φ(b)=2;φ(c)=5,φ(a)=10,φ(b)=1。由引理3知φ(c)=5無解，因此式(1)無解。

(3)當(dāng)φ(c)=6,φ(a)φ(b)=8時(shí),得φ(c)=6,φ(a)=1,φ(b)=8;φ(c)=6,φ(a)=2,φ(b)=4;φ(c)=6,φ(a)=4,φ(b)=2;φ(c)=6,φ(a)=8,φ(b)=1。

1)當(dāng)φ(c)=6,φ(a)=1,φ(b)=8時(shí),c=7,9,14,18;a=1,2;b=15,16,20,24,30。

將a,b,c分別組合代入(a,bc)=1,(b,c)=1,經(jīng)驗(yàn)證得(a,b,c)=(1,15,7),(1,16,7),(1,20,7),(1,24,7),(1,30,7),(1,16,9),(1,20,9),(1,15,14),(2,15,7)滿足(1)式。

2)當(dāng)φ(c)=6,φ(a)=2,φ(b)=4時(shí),c=7,9,14,18;a=3,4,6;b=5,8,10,12。將a,b,c分別組合代入(a,bc)=1,(b,c)=1,經(jīng)驗(yàn)證得(a,b,c)=(3,5,7),(3,8,7),(3,10,7),(3,5,14),(4,5,7),(4,5,9),(6,5,7)滿足(1)式。

3)當(dāng)φ(c)=6,φ(a)=4,φ(b)=2時(shí),c=7,9,14,18;a=5,8,10,12;b=3,4,6。 將a,b,c分別組合代入(a,bc)=1,(b,c)=1,經(jīng)驗(yàn)證得(a,b,c)=(5,3,7),(5,6,7),(8,3,7),(10,3,7),(5,3,14),(5,4,7),(5,4,9)。

4)當(dāng)φ(c)=6,φ(a)=8,φ(b)=1時(shí),c=7,9,14,18,a=15,16,20,24,30,b=1,2。 將a,b,c分別組合代入(a,bc)=1,(b,c)=1,得(a,b,c)=(15,1,7),(15,1,14),(15,2,7),(16,1,7),(16,1,9),(20,1,7),(20,1,9),(24,1,7),(30,1,7)。

(4)當(dāng)φ(c)=7,φ(a)φ(b)=7時(shí),得φ(c)=7,φ(a)=1,φ(b)=7;φ(c)=7,φ(a)=7,φ(b)=1。由引理3知φ(c)=7 無解,因此式(1)無解。

(5)當(dāng)φ(c)=9,φ(a)φ(b)=6時(shí)得，φ(c)=9,φ(a)=1,φ(b)=6;φ(c)=9,φ(a)=2,φ(b)=3;φ(c)=9,φ(a)=3,φ(b)=2;φ(c)=9,φ(a)=6,φ(b)=1。由引理3知φ(c)=9無解，因此式(1)無解。

(6)當(dāng)φ(c)=15,φ(a)φ(b)=5時(shí)得，φ(c)=15,φ(a)=1,φ(b)=5;φ(c)=15,φ(a)=5,φ(b)=1。由引理3知φ(c)=15無解，因此式(1)無解。

(1)當(dāng)φ(c)=2,φ(a)φ(b)=8時(shí)得,φ(c)=2,φ(a)=1,φ(b)=8;φ(c)=2,φ(a)=2,φ(b)=4;φ(c)=2,φ(a)=4,φ(b)=2;φ(c)=2,φ(a)=8,φ(b)=1。

1)當(dāng)φ(c)=2,φ(a)=1,φ(b)=8時(shí),c=3,4,6;a=1,2;b=15,16,20,24,30。將a,b,c分別組合代入上述4種關(guān)系逐一驗(yàn)證得(a,b,c)=(2,15,4),(2,16,3),(2,20,3),(1,16,4),(1,20,4),(1,24,4)滿足(1)式。

2)當(dāng)φ(c)=2,φ(a)=2,φ(b)=4時(shí),a=c=3,4,6;b=5,8,10,12。將a,b,c分別組合代入上述4種關(guān)系逐一驗(yàn)證得(a,b,c)=(4,5,6),(4,10,3),(3,10,4),(3,8,4),(4,5,4),(4,8,3)滿足(1)式。

3)當(dāng)φ(c)=2,φ(a)=4,φ(b)=2時(shí),c=b=3,4,6;a=5,8,10,12。將a,b,c分別組合代入上述4種關(guān)系逐一驗(yàn)證得(a,b,c)=(10,3,4),(10,4,3),(5,4,6),(5,6,4),(5,4,4),(8,3,4),(8,4,3)滿足(1)式。

4) 當(dāng)φ(c)=2,φ(a)=8,φ(b)=1時(shí),c=3,4,6;a=15,16,20,24,30;b=1,2。將a,b,c分別組合代入上述4種關(guān)系逐一驗(yàn)證得(a,b,c)=(30,1,4),(16,1,6),(20,1,6),(16,2,3),(20,2,3) (15,2,4),(16,1,4),(20,1,4),(24,1,4)滿足(1)式。

(2)當(dāng)φ(c)=3,φ(a)φ(b)=4時(shí),即φ(c)=3,φ(a)=1,φ(b)=4;φ(c)=3,φ(a)=2,φ(b)=2;φ(c)=3,φ(a)=4,φ(b)=1,由引理3知φ(c)=3無解,因此式(1)無解。

當(dāng)φ(c)=1,φ(a)φ(b)=4時(shí),φ(c)=1,φ(a)=1,φ(b)=4;φ(c)=1,φ(a)=2,φ(b)=2;φ(c)=1,φ(a)=4,φ(b)=1。

1)當(dāng)φ(c)=1,φ(a)=1,φ(b)=4時(shí),c=a=1,2;b=5,8,10,12,將a,b,c分別組合代入上述三者逐一驗(yàn)證得(a,b,c)=(2,8,2),(2,10,2),(2,12,2)滿足(1)式。

2)當(dāng)φ(c)=1,φ(a)=φ(b)=2時(shí),c=1,2;a=b=3,4,6,將a,b,c分別組合代入上述三者逐一驗(yàn)證得(a,b,c)=(4,4,2),(4,6,2),(6,4,2)滿足(1)式。

3)當(dāng)φ(c)=1,φ(a)=4,φ(b)=1時(shí),c=b=1,2;a=5,8,10,12,將a,b,c分別組合代入上述三者逐一驗(yàn)證得(a,b,c)=(10,2,2),(12,2,2),(8,2,2)滿足(1)式。

綜上所述,該定理得證,即有本文結(jié)論。