◎管妍雪 趙 雪 （北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 吉林 132013）

隨著我國新課程改革的不斷深化，如何提高課堂教學(xué)效率已經(jīng)成為擺在眾多教育教學(xué)工作者面前的重要問題.在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，如何能使學(xué)生更加透徹、深入地掌握復(fù)雜的概念性知識和靈活多變的解題方法，是教師要深入探討和研究的問題.通過查閱大量文獻(xiàn)以及教學(xué)實踐，我們可以發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學(xué)課堂中引入案例教學(xué)法，可以很好地“實現(xiàn)教師為主導(dǎo)，學(xué)生為學(xué)習(xí)的主體”的教學(xué)新理念.本文主要闡述了案例教學(xué)法在高中數(shù)學(xué)課堂中的幾個有效應(yīng)用.

一、案例教學(xué)法

案例教學(xué)法以案例作為教學(xué)基礎(chǔ)，它的典型特征是目的性、客觀性、真實性、綜合性、誘導(dǎo)性、實踐性.案例教學(xué)法的主要目的是使學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，能對生活中、社會中不同的案例進(jìn)行一系列的分析和探討，最終提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.案例教學(xué)法打破了常規(guī)的教學(xué)模式，使其從單一的傳授知識轉(zhuǎn)變?yōu)榻虝W(xué)生學(xué)習(xí)，在充滿互動的環(huán)境中實現(xiàn)雙向性學(xué)習(xí)，在調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的同時，提高課堂教學(xué)效率.

二、案例教學(xué)法在高中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用

1.引用生活化案例提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效果

新課程大綱明確指出，數(shù)學(xué)教育的主要目的就是讓學(xué)生在生活經(jīng)驗與知識經(jīng)驗中學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)知識并理解數(shù)學(xué)知識.因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要運(yùn)用生活化的案例，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，注意生活細(xì)節(jié)中的數(shù)學(xué)問題，充分調(diào)動學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性的同時，提高課堂教學(xué)效率.

例如，在高中數(shù)學(xué)“空間點、線、面的位置關(guān)系”的教學(xué)中，學(xué)生對于抽象的立體幾何很難理解，因此有很多學(xué)生感覺這部分知識很抽象，很有距離感.為了讓學(xué)生更加深入地理解這部分知識，教師可以借助學(xué)生熟悉的生活實例設(shè)計生活化案例，幫助學(xué)生更好地理解這部分知識.

案例1根據(jù)《西游記》的情節(jié)，教師提出問題：孫悟空為什么永遠(yuǎn)飛不出如來佛祖的五指山？ 如果將如來佛祖的手抽象成一個平面，由于平面的性質(zhì)之一是可以無限延伸，因此孫悟空永遠(yuǎn)都飛不出去.這其中就蘊(yùn)含了“平面具有延展性” 的數(shù)學(xué)知識.

案例2有很多攝影愛好者，他們的必備工具之一就是三腳架，教師提出問題：為什么用三腳架來固定相機(jī)的位置呢？ 為什么不用四腳架或者兩腳架？ 學(xué)生仔細(xì)觀察三腳架的位置關(guān)系就會發(fā)現(xiàn) “三點定面” 的數(shù)學(xué)概念.

教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生身邊的實際問題設(shè)計生活化案例，在給學(xué)生充分親切感的同時，加深了學(xué)生對抽象概念的理解，簡化了數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容.教師要想增加學(xué)生處理實際問題的能力，就要重視在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入生活化案例，達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo).

2.引用數(shù)學(xué)史案例激發(fā)學(xué)生主觀能動性，提高學(xué)生參與度

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展及其規(guī)律的科學(xué).目前，數(shù)學(xué)史已經(jīng)成為數(shù)學(xué)課程的有機(jī)組成部分.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，合理地引用數(shù)學(xué)史案例，不但有利于學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法，樹立正確的數(shù)學(xué)觀，體會數(shù)學(xué)的源遠(yuǎn)流長，而且有利于激發(fā)學(xué)生的主觀能動性，提高學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中的參與度，從而提高課堂教學(xué)效果.

例如，在“等差數(shù)列的前n項和”的教學(xué)實踐中，教師在進(jìn)行導(dǎo)學(xué)時可以引用數(shù)學(xué)王子高斯的故事：高斯被認(rèn)為是有史以來最偉大的三位數(shù)學(xué)家之一，在他十歲的時候，他的數(shù)學(xué)老師給他出了一道難題：計算 1＋2＋3＋…＋100 ＝？ 他的小伙伴都被難倒了，只能按照題目的要求一個一個地加起來，這個時候高斯起來說：“老師，我已經(jīng)算好了！” 對于老師和同學(xué)們的驚訝，高斯解釋道：“因為 1＋100 ＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，…，像這樣的 101 一共有 50 個，所以最后的結(jié)果就是 50×101＝5050.”

教師問學(xué)生：“同學(xué)們看懂高斯的計算方法了嗎？ 這種方法能不能用在別的題目上呢？ 如我們學(xué)過的等差數(shù)列求和，你能得到什么樣的結(jié)論呢？”

教師繼續(xù)說：“高斯這種計算方法的前提條件是有偶數(shù)個數(shù)相加，那么，如果想求奇數(shù)個數(shù)相加的時候，又該怎么算呢？ 其實這個問題在很早之前就已經(jīng)被解決了，我國北宋時期著名的政治家、科學(xué)家沈括完美地解決了這個問題，他的方法叫‘隙積術(shù)’ ，也是他最著名的成果之一（可用多媒體來展示出自《夢溪筆談》的隙積術(shù)及其翻譯）.在當(dāng)時，‘隙積術(shù)’主要用于計算堆砌的酒壇子等堆垛物體的體積，它也可以轉(zhuǎn)化為我們要研究的等差數(shù)列前n項和的求法，具體怎么做呢？ 同學(xué)們分組討論一下.”

由此引入了倒序相加法，以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，小組討論共同完成了等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo).在學(xué)生將自己的思路呈現(xiàn)出來的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律.教師還可以讓一部分學(xué)生在黑板上展示自己的思路，其他學(xué)生進(jìn)行糾錯，共同發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)知識.

3.引用數(shù)學(xué)模型案例培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思維，提高學(xué)生解決實際問題的能力

數(shù)學(xué)建模思想是新課程改革中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.研究表明，在高中數(shù)學(xué)課堂上培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的過程中，雖然真實案例的數(shù)學(xué)建模相對更難，但是更能吸引學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的好奇心和興趣點.引用數(shù)學(xué)模型案例來培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想，能激勵學(xué)生參與到數(shù)學(xué)建模的活動當(dāng)中.在數(shù)學(xué)模型案例的教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮引導(dǎo)者的角色，在培養(yǎng)學(xué)生合作能力的同時，培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于實際問題、解決實際問題的能力，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想.

例如，在日常課堂教學(xué)過程中，過難的數(shù)學(xué)模型案例會導(dǎo)致學(xué)生無從下手，甚至交白卷，過易的數(shù)學(xué)模型案例又達(dá)不到原有的教學(xué)目的，所以，如何挑選一個難度適宜的數(shù)學(xué)模型案例是關(guān)鍵.適宜的數(shù)學(xué)模型案例可以增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的自信心，有助于培養(yǎng)學(xué)生在日常生活中發(fā)現(xiàn)問題、建立模型、模型求解并最終解決實際問題的能力，以下給出兩個案例.

那天晚上，一杭怎么也睡不著，索性起床，下樓，打車去了雪螢租住的城隍公寓。公寓大門緊閉，保安亭的燈已經(jīng)熄了。他有些失望地在解放北路游蕩。

案例3目前，越來越多的可再生能源出現(xiàn)在我們的生活中，如風(fēng)能、太陽能、核能等，我們在每天的天氣預(yù)報中都能看到不同的風(fēng)級預(yù)報.獲取風(fēng)能的風(fēng)車也因此獲得了不同的功率，那么，不同的風(fēng)力和風(fēng)車獲得的功率之間有什么關(guān)系呢？ 試著建立一個數(shù)學(xué)模型來解決這個實際問題.

想要建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題，首先要找到有關(guān)的變量.在這個問題中，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的變量有速度v、面積s、空氣密度ρ、功率p.其次，為了解決這個實際問題，學(xué)生應(yīng)該在教師的指導(dǎo)下分組討論，查閱相關(guān)書籍，獲取相應(yīng)的量綱：

［v］＝LT－1，［s］＝L2，［ρ］＝ML－3，［p］＝ML2T－3.

在此基礎(chǔ)上，假設(shè)每個變量之間的函數(shù)關(guān)系為f（v，s，ρ，p）＝ 0，給出函數(shù)中各個項的形式 π ＝vα1sα2ρα3pα4.根據(jù)查閱資料可知量綱齊次原理［π］＝1，結(jié)合本題中的各變量的量綱，有：

建立好數(shù)學(xué)模型之后就要對模型進(jìn)行求解，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生以小組為單位對模型進(jìn)行求解，得α1＝－3，α2＝－1，α3＝－1，α4＝1，所以可以求出 π ＝v－3s－1ρ－1p.因為最開始假設(shè)的函數(shù)關(guān)系為：f（π）＝ 0，也就是說，π ＝λ（常數(shù)），從而可得出以下關(guān)系：v－3s－1ρ－1p＝λ，進(jìn)而可得p＝λv3sρ，λ為常數(shù).

最后，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，小組探討后對所求的實際問題給出解釋：通過所求的數(shù)學(xué)模型很容易發(fā)現(xiàn)，風(fēng)速越大，風(fēng)車功率就越大； 風(fēng)車迎風(fēng)面積越大，風(fēng)車功率也會越大； 空氣密度越大，風(fēng)車功率同樣越大.

案例4學(xué)校周邊有許多鮮奶吧售賣酸奶等奶制品，細(xì)心的同學(xué)會發(fā)現(xiàn)，到了夏天，奶制品的需求量會增加，但是所需原材料鮮奶的儲存費(fèi)用也會隨之增加，那么鮮奶吧要多久訂購一批鮮奶才能獲得最大利潤呢？ 試著建立數(shù)學(xué)模型對這個實際生活中的案例進(jìn)行求解.

要解決這個實際案例，學(xué)生要先去走訪周邊的鮮奶吧收集數(shù)據(jù).假設(shè)在每天都有足夠的奶制品供應(yīng)給學(xué)生的情況下，每次鮮奶吧訂購鮮奶的費(fèi)用為5000 元，每千克鮮奶每個月的存儲費(fèi)為0.2 元，一個鮮奶吧平均每月對鮮奶的需求量為6000 千克，在這些數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，設(shè)單位時間內(nèi)對鮮奶的需求量為D千克，每次訂購鮮奶為Q千克，訂貨的周期為T，單位時間的存儲費(fèi)為Cp元，給出必要的模型假設(shè)：這里把鮮奶的需求看作連續(xù)均勻的.

建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)各個變量間的內(nèi)在關(guān)系可知，一個周期T內(nèi)的存儲費(fèi)為由于訂購鮮奶的費(fèi)用為CD，那么一個周期T內(nèi)所需要的總費(fèi)用為以下函數(shù)關(guān)系式：

根據(jù)所收集到的數(shù)據(jù)，將單位時間T考慮為1 個月，則每月鮮奶的需求量D＝6000 千克，每月每千克牛奶的存儲費(fèi)Cp＝ 0.2 元，則每次訂購鮮奶的費(fèi)用為CD＝ 5000 元，所以可以求出最佳訂購周期

除此之外，生活中還有許許多多常見的案例可以用來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想及解決實際問題的能力，使學(xué)生真正做到學(xué)數(shù)學(xué)是為了用數(shù)學(xué)的宗旨，在這里，本文給出兩個比較簡單的案例以供參考.

案例5冬天的操場上有很多積雪，同學(xué)們課間堆起了雪人，雪人融化時組成雪人的兩個雪球的半徑減小量與時間成正比，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)堆好的雪人在兩個小時后變成了原來的那么還需要多久雪人才會全部融化？

案例6菠蘿是很多同學(xué)愛吃的水果，仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)，在削菠蘿的過程中，很多商販會在菠蘿上留下一條螺線，給人一種美的感覺，從數(shù)學(xué)的視角來看，為什么人們比較喜歡這樣的菠蘿？

在引入數(shù)學(xué)模型案例的過程中，教師可以根據(jù)學(xué)生的具體情況，如年級、個性差異、知識水平等，選取難易程度不同的案例，從數(shù)學(xué)模型的子能力 （模型假設(shè)、模型構(gòu)成、模型求解、模型檢驗） 出發(fā)，逐步訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力.

三、結(jié)束語

教師在使用案例教學(xué)法時，應(yīng)及時對學(xué)生的思路和分析過程進(jìn)行點評和指導(dǎo).教師在分析案例和解決問題的過程中，針對學(xué)生思維不嚴(yán)謹(jǐn)、解題不正確等問題，教師要及時糾正.教師在教學(xué)中要在結(jié)合實際的基礎(chǔ)上引入案例教學(xué)，緊扣教學(xué)目標(biāo)，選取合適的教學(xué)案例，將案例教學(xué)法的作用與效果發(fā)揮到最大，從而提高課堂的教學(xué)效率.