高震

摘 要：本文從解答題的角度，分別以2019年全國(guó)3卷理科、2019年全國(guó)1卷理科和2019年浙江卷理科導(dǎo)數(shù)題為實(shí)例，針對(duì)2019年高考中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的三類熱點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行分析和研究，形成了一定的規(guī)律，總結(jié)了高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)熱點(diǎn)問(wèn)題的解決方法和套路。

關(guān)鍵詞：函數(shù)與導(dǎo)數(shù);不等式

1.問(wèn)題的綜述

眾所周知，高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是要考查的核心內(nèi)容，是歷年高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，在新課程改革后的高考試卷中經(jīng)常以選擇題、填空題和解答題的形式命題，有基礎(chǔ)題，也有中檔題，更多的時(shí)候是以難題的位置來(lái)考查，能力要求高，是各地高考卷常見(jiàn)的壓軸題，綜合程度高，難度較大，分值占比多，因此探究此類問(wèn)題的處理策略時(shí)，找到解題套路是獲取高分的必要途徑。高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)涉及的問(wèn)題形式多樣，常見(jiàn)的熱點(diǎn)問(wèn)題有：研究函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性、求切線方程、單調(diào)區(qū)間、極值、最值等）;研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題（方程根的個(gè)數(shù)、曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等）;利用導(dǎo)數(shù)求解不等式問(wèn)題（證明不等式、不等式的恒成立問(wèn)題、存在性問(wèn)題或者求解參數(shù)的取值范圍等等）.

2.三種常見(jiàn)熱點(diǎn)問(wèn)題的舉例

2.1熱點(diǎn)一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

以含參數(shù)的函數(shù)為背景，結(jié)合具體函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究函數(shù)的性質(zhì)，本熱點(diǎn)主要有三種考查方式：

1.討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

2.討論函數(shù)的極值或最值情況

3.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

（2019年全國(guó)3卷理科）

已知函數(shù)f（x）=2x3-ax2+b.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）是否存在a，b，使得f（x）在區(qū)間[0，1]最小值為-1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值;若不存在，說(shuō)明理由.

【點(diǎn)睛】這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合題，題目難度比往年降低了不少?？疾榈暮瘮?shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計(jì)算。思考量不大，由計(jì)算量補(bǔ)充。

2.2熱點(diǎn)二研究函數(shù)的零點(diǎn)

函數(shù)與方程思想一直是高考考查的重點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)或者方程的根是近幾年高考命題的熱點(diǎn)，常常轉(zhuǎn)化為研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)研究函數(shù)的極值的情況，數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，本熱點(diǎn)主要有兩種考查方式：

i1j討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

（2）已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍

（2019年全國(guó)1卷理科）

已f（x）=sinx-ln（1+x），函數(shù)f'（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù).證明：

（1）f'（x）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn);

（2）f（x）有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題.解決零點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵一方面是利用零點(diǎn)存在定理或最值點(diǎn)來(lái)說(shuō)明存在零點(diǎn)，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性，二者缺一不可.

2.3熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)求解不等式問(wèn)題

不等式實(shí)際上是高考要考查的一個(gè)非常重要的內(nèi)容，高考試卷中雖然很少直接考查，但幾乎每年都會(huì)滲透在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用中進(jìn)行考查。本熱點(diǎn)主要有三種考查方式：

i1j解不等式

i2j證明不等式

i3j已知不等式成立（恒成立問(wèn)題或存在性問(wèn)題）求參數(shù)的取值范圍

（2019年浙江卷科）

已知實(shí)數(shù)a≠0，設(shè)函

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間

（2）對(duì)任意均有求a的取值范圍.

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)這一工具研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求解不等式的恒成立問(wèn)題，求得參數(shù)的取值范圍。

3.小結(jié)

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，例如求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程;利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間、極值和最值等等;已知帶有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，反過(guò)來(lái)求參數(shù)的取值范圍;求解函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、方程根的問(wèn)題或者兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題;證明函數(shù)不等式;證明數(shù)列不等式;利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題…從歷年高考題中我們可以總結(jié)以下規(guī)律：

對(duì)我們廣大的考生而言，目標(biāo)決定態(tài)度，心態(tài)影響高度。目標(biāo)不能僅僅停留在第一問(wèn)必拿。這樣你對(duì)第一問(wèn)的難度就會(huì)期望降低。一旦第一問(wèn)比較復(fù)雜，你就拿不到第一問(wèn)的滿分。第二問(wèn)也不是難的不能去啃，往往第一問(wèn)復(fù)雜了，第二問(wèn)就會(huì)在此基礎(chǔ)上有法可尋。廣西地區(qū)2019年全國(guó)3卷理科的導(dǎo)數(shù)滿分人數(shù)有近900人，滿分人數(shù)的增多，激勵(lì)我們?cè)鰪?qiáng)信心，做好準(zhǔn)備。100%的準(zhǔn)備。80%的期望。

筆者是從事了三屆完整高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一名一線教師，從這些年對(duì)高考試卷中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)熱點(diǎn)問(wèn)題的分析與研究把高考的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題歸為四大模型：模型一恒成立問(wèn)題、存在性問(wèn)題和零點(diǎn)問(wèn)題的模型。解題的關(guān)鍵套路：獨(dú)立參量、分類討論和數(shù)形結(jié)合。模型二函數(shù)不等式的模型。解題的關(guān)鍵套路：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為模型一。模型三數(shù)列不等式的模型。解題的關(guān)鍵套路：通過(guò)對(duì)帶參數(shù)的函數(shù)不等式進(jìn)行賦值得到一個(gè)沒(méi)有參數(shù)的函數(shù)不等式，然后在對(duì)自變量進(jìn)行賦值得到一個(gè)基本的數(shù)列不等式，最后通過(guò)累加等數(shù)列變形技巧得到最終的數(shù)列不等式。模型四極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的模型。解題的關(guān)鍵套路：直接構(gòu)造極值點(diǎn)偏移函數(shù)或者先對(duì)條件進(jìn)行變形再構(gòu)造函數(shù)。

參考文獻(xiàn)

[1]張鵬麗《基于全國(guó)卷的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)教學(xué)研究》陜西師范大學(xué)，2017-05-01，碩士論文

[2]吳寶樹(shù)《全國(guó)高考統(tǒng)一命題視角下的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)策略研究》福建師范大學(xué)，2017-03-22，碩士論文

[3]劉偉偉《高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題的研究與思考》河北師范大學(xué)，2017-03-20，碩士論文

[4]孫維《新課程背景下高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題命題研究及分析》青海師范大學(xué)，2015-04-01，碩士論文

[5]郭慧清《2017年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題命題分析》中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2017-08-15，期刊