符欣悅
摘 要:由于抽象函數(shù)解析式的抽象性,很強的綜合性,靈活性,使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一。本文通過幾個例題來探討抽象函數(shù)的解題技巧和方法。
關(guān)鍵詞:抽象函數(shù);奇偶性;周期性
抽象函數(shù),即沒有給出函數(shù)的解析式,只給出函數(shù)滿足的某些性質(zhì)或某些運算法則的這類函數(shù)。在教學中我發(fā)現(xiàn)近幾年的高考題都會看到對抽象函數(shù)的考察,而學生對于解抽象函數(shù)綜合題型比較困難,所以本文特探究一下此類問題。
題型1:求函數(shù)值
例1:已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且滿足f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(3)=7,求f(2013)的值
解析:由條件知f(x)≠1,故,
故函數(shù)f(x)的周期為8,f(2013)=f(5)=f(-3)=f(3)=7
題型2.求函數(shù)解析式
例2.已知f(x)是定義在R上周期為2的偶函數(shù),當x∈[2,3]時,f(x)=x,則當x∈[-2,0]時,函數(shù)f(x)的解析式為()
A.|x-2| B.|x+4| C.2+|x+1| D.3-|x+1|
解析:當時,
∴;
當時,
∴.故選D。
題型3.判斷函數(shù)的奇偶性
例3:已知f(x)是定義在R上的函數(shù),且滿足f(3+x)=f(3-x),f(x+3)=。試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。
解析:由f(3+x)=f(3-x)知f(x)關(guān)于x=3對稱,即f(-x)=f(6+x),由f(x+3)=,可知函數(shù)f(x)的周期為6,即f(x+6)=f(x);故f(x)=f(-x)∴f(x)是偶函數(shù)
題型4.判斷函數(shù)的單調(diào)性
例4:已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(x)=f(4-x),且當x∈[-2,0]時,f(x)是減函數(shù),求證當x∈[4,6]時f(x)為增函數(shù)
解析:設(shè)則
∵f(x)在[-2,0]上是減函數(shù)∴
又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(x)=f(4-x),可知函數(shù)f(x)的周期為4
∴∵f(-x)=f(x)∴
故當x∈[4,6]時f(x)為增函數(shù)
題型5;確定方程根的個數(shù)
例5:奇函數(shù)f(x)定義在R上,且對常數(shù)T>0,恒有f(x+T)=f(x),則在區(qū)間[0,2T]上,方程f(x)=0根的個數(shù)最小值為()
A.3個 B.4個 C.5個 D.6個
解析:∵f(0)=0故其中一個解為x1=0,又f(2T)=f(T)=f(0)=0
∴可得另兩解為x2=2T,x3=T.
又因為令x=0得
,∴=f(0)=0
∴可得另兩解為,既至少有5個解,本題選C。
解抽象函數(shù)問題應抓住函數(shù)滿足的某些性質(zhì),通過對題目的特征進行觀察、分析、類比和聯(lián)想,尋找具體的函數(shù)模型,再由具體函數(shù)模型的圖象和性質(zhì)來指導我們解決抽象函數(shù)問題,這樣就能突破“抽象”帶來的困難,做到胸有成竹,使得問題迎刃而解。
參考文獻
[1]劉邦,抽象函數(shù)解救方法[J];宿州教育學院學報;2006年01期
[2]秦曄,抽象函數(shù)問題的常用解題方法[J];科技信息;2010年21期