王蕊 曲莉

摘 要：對于一類一般散度型線性橢圓方程解的存在性問題的研究，本文通過利用泛函分析和算子理論的一些知識，給出了兩種證明方法.這兩種方法包括：Riesz表示定理和Lax-Milgram定理.

關鍵詞：線性橢圓方程;解的存在性;Riesz表示定理;Lax-Milgram定理

一、一般散度型線性橢圓方程：

（1.1）

其中且方程（1.1）滿足一致橢圓條件，即存在常數(shù)使得

.

這時方程（1.1）為一致橢圓型方程，本文只討論方程（1.1）的帶齊邊值條件

（1.2）

的Dirichlet問題弱解問題的證明方法.

2.1Riesz表示定理：設F為Hilbert空間H上有界線性泛函，則存在唯一的使得其中為空間H中的內(nèi)積。

例1：證明Dirichlet問題弱解的存在性。

證明：

設令，對于任意.有

即.

又

取

有

綜上有，即兩種范數(shù)是等價的，帶有新內(nèi)積空間記為，令，則為上的有界線性泛函.

證明如下：事實上

即F為上的有界線性泛函.故按Riesz表示定理，存在唯一的成立.

2.2定理：設為空間H上有界強制的雙線性型，則對H上任一有界線性泛函F，恒存在唯一的，使得

且有估計

例2：存在常數(shù)c0，使得當c≥c0時，對任何，問題存在唯一弱解

證明：

令

，

事實上：

同理可證：，由此證明為雙線性型的。

由

由此證明是有界的。

有，

，

此時取則對某常數(shù)，有，即是強制的。

事實上，

有定理，

即積分恒等式成立，即為的弱解。

本文利用Riesz表示定理和Lax-Milgram定理證明了一致橢圓型方程解的存在，本文所使用的證明方法簡潔，可為以后的有關研究提供參考的方法.

參考文獻

[1]趙秀芳，張曉琳.一類散度型橢圓方程解的討論[J].高師理科學刊，2016，36（10）：16-19.

[2]劉冠琦，王玉文，史峻平.具有強Allee效應的半線性橢圓方程正解的存在性和非存在性[J].應用數(shù)學和力學，2009，30（11）：1374-1380.

[3]伍卓群，尹景學，王春朋.橢圓與拋物型方程引論[M].北京：科學出版社，2003.

[4]吳淑君，姚苗新.一類半線性橢圓型方程的全局正解的存在性[J].河北師范大學學報，2006，30（1）：25-28.

[5]韓穎，李春雷.半線性橢圓方程多解的存在性[J].通化師范學院學報，2008，29（8）：21-23.

作者簡介：王蕊、曲莉;出生年：1995年;性別：女;民族：漢族;籍貫：吉林四平;學歷：在讀研究生;單位：吉林師范大學;研究方向：應用數(shù)學偏微分方程