孫彩虹

【摘要】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中理論較深，應(yīng)用較為復(fù)雜的代表知識(shí)，學(xué)生在解決二次函數(shù)題目時(shí)也常見(jiàn)多類障礙。對(duì)此，本文提出了二次函數(shù)應(yīng)用題解題能力培養(yǎng)策略研究，從解題核心思想出發(fā)，提出二次函數(shù)解題的常見(jiàn)方法，并對(duì)教學(xué)實(shí)踐中訓(xùn)練學(xué)生相應(yīng)解題能力的方法進(jìn)行說(shuō)明，以期為初中教師提供參考。

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù);應(yīng)用題;解題;初中數(shù)學(xué)

前言

二次函數(shù)是中考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，也是初中函數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)。二次函數(shù)表現(xiàn)形式較多，能夠以等式等代數(shù)形式或拋物線等幾何形式出現(xiàn)，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯思維能力及抽象思維能力。應(yīng)用題是數(shù)學(xué)知識(shí)與案例的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用，需要學(xué)生根據(jù)問(wèn)題背景抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，選用科學(xué)的方法進(jìn)行求解。

一、二次函數(shù)應(yīng)用題解題的思想

一次函數(shù)的幾何特性是直線，二次函數(shù)則有明顯不同，其幾何特性是曲線。從本質(zhì)上看，二次函數(shù)解題錯(cuò)誤的根本問(wèn)題在于二次函數(shù)的代數(shù)和幾何特性都在試題中有較高的出現(xiàn)率（一次函數(shù)試題中代數(shù)運(yùn)算的考察比重更高） ，在一些復(fù)雜問(wèn)題中學(xué)生容易找不到問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)而出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，本文認(rèn)為二次函數(shù)的解題關(guān)鍵在于把握問(wèn)題的核心，從而尋找最適合的數(shù)學(xué)方法來(lái)解決相應(yīng)問(wèn)題。 例如試題“函數(shù)y = x2 + 2ax + b的圖象與x軸交點(diǎn)分別為A、B，與y軸交于點(diǎn) C（ 0，2） ，已知三角形ABC面積為6，求 a、b的值?！痹搯?wèn)題的題干中同時(shí)給出了二次函數(shù)的代數(shù)（函數(shù)式）和幾何性質(zhì)（坐標(biāo)系中的點(diǎn)） 要素，多數(shù)學(xué)生會(huì)習(xí)慣性地繪制函數(shù)圖形來(lái)分析問(wèn)題，然后把重點(diǎn)放在求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)上，這時(shí)學(xué)生必然會(huì)發(fā)現(xiàn)在圖形中難以準(zhǔn)確判斷A、B坐標(biāo)點(diǎn)，仍要回歸到函數(shù)關(guān)系上來(lái)（僅借助三角形面積知識(shí)求取交點(diǎn)差值來(lái)獲取函數(shù)值為0時(shí)兩個(gè)解的差值，即，把結(jié)果代入二次函數(shù)根的計(jì)算公式即可求出 a、b 的值。因此，解決二次函數(shù)問(wèn)題的一個(gè)核心思想是判斷題目所要考察的問(wèn)題，雖然題目中對(duì)于二次函數(shù)代數(shù)和幾何特性的展現(xiàn)頻率都相對(duì)較高，但實(shí)際考察的內(nèi)容仍會(huì)以代數(shù)性質(zhì)為主。因此要注重培養(yǎng)學(xué)生提煉關(guān)鍵條件和要素并嘗試轉(zhuǎn)化的能力，最終向二次函數(shù)及其根的代數(shù)形式靠攏，把握轉(zhuǎn)化和簡(jiǎn)化這一核心思想來(lái)解決所有二次函數(shù)問(wèn)題。

二、二次函數(shù)應(yīng)用題解題的方法

1.模型構(gòu)建法

在函數(shù)應(yīng)用題中，函數(shù)表達(dá)式一般不會(huì)直接給出，需要學(xué)生根據(jù)背景信息自行確定數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)建函數(shù)表達(dá)式，借助二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)進(jìn)行解題。例如，超市某商品進(jìn)價(jià)為16元/件，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)按照每件20元的價(jià)格出售，月銷售量為360件;按照每件25元的價(jià)格出售，月銷售量則為210件。如果銷售量Y與銷售價(jià)格x滿足關(guān)系y =kx +b，試問(wèn)：如何定價(jià)能獲得最大的收益？由于已經(jīng)確定函數(shù)的形式與兩點(diǎn)的坐標(biāo)，那么很容易求解出y=-30x+960，利潤(rùn)l與售價(jià)，的關(guān)系滿足l=（-30x+960）（x-16），則當(dāng)x的值為24時(shí)，利潤(rùn)最大，為1920元。

2.數(shù)量關(guān)系法

這類問(wèn)題會(huì)給定現(xiàn)實(shí)情境與已知條件，需要學(xué)生借助數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解。在解決這類問(wèn)題時(shí)，學(xué)生首先需要分析題意，明確函數(shù)關(guān)系式，準(zhǔn)確表達(dá)問(wèn)題中隱含的數(shù)量關(guān)系。例如，服裝批發(fā)市場(chǎng)某店鋪有如下優(yōu)惠政策：一次性批發(fā)不超過(guò)20件，按照原價(jià)每件160元;如果超過(guò)20件，每多一件單價(jià)就減少2元。如果一次性的批發(fā)總價(jià)為4800元，那么一共批發(fā)多少件衣服？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，如果不超過(guò)20件，那么最多需要花費(fèi)3200元，顯然花費(fèi)4800元是需要批發(fā)超過(guò)20件服裝的。假設(shè)超過(guò)件數(shù)為x，那么總批發(fā)量為（x+20）件，批發(fā)單價(jià)為（160-2x）元，那么批發(fā)總價(jià)y=（x+20）（160-2x），令y=4800，計(jì)算可得x=40或x=20。

3.數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合就是幾何與代數(shù)的融合，由于函數(shù)本身具有圖像屬性，因此在解決二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)可以借助函數(shù)圖像簡(jiǎn)化問(wèn)題，使得原本抽象的求解過(guò)程更加直觀，這是初中二次函數(shù)應(yīng)用題求解的重要方法。具體來(lái)說(shuō)，二次函數(shù)的圖像是拋物線，具有一些特殊性質(zhì)，因此在求解應(yīng)用題時(shí)可以自行構(gòu)建二次函數(shù)模型，借助二次函數(shù)的圖像進(jìn)行求解，尤其是解決一些無(wú)法單純通過(guò)二次函數(shù)性質(zhì)解決的問(wèn)題，比如最值不在對(duì)稱軸位置取到，使得抽象、復(fù)雜的二次函數(shù)應(yīng)用題直觀化、簡(jiǎn)單化。

三、二次函數(shù)應(yīng)用題解題建議

第一，培養(yǎng)學(xué)生的審題習(xí)慣。在課堂練習(xí)過(guò)程中，教師應(yīng)經(jīng)常性地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解析，按照題干要素收集、問(wèn)題定位與本質(zhì)識(shí)別、問(wèn)題關(guān)聯(lián)有效要素的篩選這三個(gè)步驟對(duì)問(wèn)題進(jìn)行提煉，通過(guò)這種說(shuō)題方法不斷培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)審題的習(xí)慣，幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握核心問(wèn)題。

第二，及時(shí)總結(jié)和反思，梳理轉(zhuǎn)化方法的適用情境。即在經(jīng)過(guò)一定量的訓(xùn)練后，教師應(yīng)當(dāng)對(duì)二次函數(shù)應(yīng)用題解題時(shí)使用的三類轉(zhuǎn)化方法進(jìn)行總結(jié)，直接說(shuō)明所運(yùn)用的具體數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)也認(rèn)同數(shù)學(xué)思想在解題中的價(jià)值，從而將相應(yīng)數(shù)學(xué)思想拓展應(yīng)用到其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用中去，在強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)思想應(yīng)用能力的同時(shí)也強(qiáng)化其應(yīng)用此類思想解決二次函數(shù)應(yīng)用題問(wèn)題的能力。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在教學(xué)過(guò)程中，教師要指導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確提取問(wèn)題背景中的變量及相互關(guān)系，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二次函數(shù)模型，將給定的條件轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)相關(guān)要素，利用二次函數(shù)的性質(zhì)、圖像進(jìn)行求解，幫助學(xué)生更好地解決二次函數(shù)應(yīng)用題，深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)及函數(shù)思想的內(nèi)涵，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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