趙永強(qiáng) 吳家祥

摘?要：動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是近年來的熱點(diǎn)問題，本文探究出解決此類軌跡問題的一般方法“四步法”.

關(guān)鍵詞：動(dòng)點(diǎn)軌跡;探求;模型

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2020）17-0008-02

一、常用的基本軌跡與定理1.動(dòng)點(diǎn)因運(yùn)動(dòng)而生成的基本軌跡

（1）如圖1，到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線.

（2）如圖2，到角的兩邊距離相等點(diǎn)的軌跡是角的平分線.

（3）如圖3，到一條已知直線距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是平行于已知直線且位于直線兩側(cè)，并和這條直線的距離等于定長的兩條平行線.

（4）如圖4，動(dòng)點(diǎn)P滿足與射線AB的夾角為定值α，即∠BAP1=∠BAP2=∠BAP3=…=∠BAPn=α，則動(dòng)點(diǎn)P點(diǎn)的軌跡是一條射線AP.

（5）如圖5，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓.

（6）如圖6，直角三角形斜邊是定值，直角頂點(diǎn)的軌跡是以斜邊的中點(diǎn)為圓心，斜邊長為直徑的半圓弧.

（7）如圖7，三角形的一條邊長為定值，它所對角也是定值的頂點(diǎn)的軌跡是一段圓弧.

2.常用的定理、公理和性質(zhì)

（1）兩點(diǎn)之間線段最短.

（2）點(diǎn)到直線的距離是垂線段最短.

（3）兩平行線之間的距離是一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.

（4）三角形三邊關(guān)系定理.

（5）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系定理.

二、探究動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的一般步驟

1.初步操作，獲得表象

動(dòng)手操作，畫出幾個(gè)符合條件的動(dòng)點(diǎn);通常找符合條件的“特殊動(dòng)點(diǎn)”，從“支離破碎”的動(dòng)點(diǎn)軌跡中，萃取有價(jià)值的信息，獲得動(dòng)點(diǎn)的表象特征，猜想出動(dòng)點(diǎn)軌跡.

2.運(yùn)用畫板，驗(yàn)證表象

在“幾何畫板”中，畫出幾個(gè)符合條件的動(dòng)點(diǎn)，借助“幾何畫板”，托動(dòng)“主動(dòng)點(diǎn)”演示“從動(dòng)點(diǎn)”的軌跡，進(jìn)一步驗(yàn)證猜想的合理性.

3.根據(jù)軌跡，建立模型

根據(jù)“從動(dòng)點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)軌跡的特點(diǎn)，聯(lián)想對比已有模型信息，作出推理判斷，建立模型.

4.依據(jù)模型，合理解答

根據(jù)已有的條件，借助模型的性質(zhì)，作出合理解答、檢驗(yàn).

三、應(yīng)用舉例

1.直線型軌跡

例1?如圖8，邊長為6的等邊△ABC中，E是對稱軸AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE，將線段CE繞點(diǎn)C，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到CF，則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，DF的最小值為.

步驟：

（1）初步操作，獲得表象

按照題目的要求，作出符合條件CEn、CFn ，描出F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，…，F(xiàn)n，如圖9，獲得表象，動(dòng)點(diǎn)F的軌跡為一條直線.

（2）運(yùn)用畫板，驗(yàn)證表象

如圖9，打開幾何畫板，在幾何畫板中，作出符合條件的CEn、CFn，

托動(dòng)“主動(dòng)點(diǎn)En”，追蹤“從動(dòng)點(diǎn)Fn”的軌跡，驗(yàn)證為一條直線l′.

（3）根據(jù)軌跡，建立模型

如圖13，因AD為等邊△ABC的對稱軸l，所以AD平分∠BAC，

所以∠CAE=30°（或150°），所以△CBF≌△CAE，所以∠CBF=∠CAE=30°（或150°）.根據(jù)基本軌跡4，動(dòng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條與射線BC的夾角為30°（或150°）射線，即過點(diǎn)B與射線BC的夾角為30°的直線l′.

（4）依據(jù)模型，合理解答

如圖10，因動(dòng)點(diǎn)F在過點(diǎn)B與射線BC的夾角為30°的直線l′上運(yùn)動(dòng)，依據(jù)“點(diǎn)到直線的距離是垂線段最短”，所以過點(diǎn)D作DF⊥l′，垂足為F，于是有DF=12BD=3，即在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，DF的最小值為3.

2.線段型軌跡

例2?如圖11，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為23的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥x軸，垂足為M，交直線l：y=-x于N.若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB=30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長為.

步驟：

（1）初步操作，獲得表象

按照題目的要求，作出符合條件的△APnBn，

描出Bo，B1，B2， …，Bn，如圖12，獲得表象，動(dòng)點(diǎn)B的軌跡為一條直線.

（2）運(yùn)用畫板，驗(yàn)證表象

如圖12，打開幾何畫板，在幾何畫板中，作出符合條件的△APnBn，托動(dòng)“主動(dòng)點(diǎn)Pn”，追蹤從“動(dòng)點(diǎn)Bn”的軌跡，驗(yàn)證為一條線段BoBn.

（3）根據(jù)軌跡，建立模型

如圖12，作出動(dòng)點(diǎn)P在O、P、N位置的圖形即△AOB0，△APB，△ANBn，則ABnAN=ABAP=13，∠BnAB=∠NAP，所以△BnAB∽△NAP，所以∠ABnB=∠ANP=45°.根據(jù)基本軌跡4，動(dòng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條與射線BnA的夾角為45°的射線，即過點(diǎn)Bn與射線BnA的夾角為45°的射線.又因點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N，所以動(dòng)點(diǎn)B的軌跡是從B0到Bn的一條線段B0Bn.

（4）依據(jù)模型，合理解答

因動(dòng)點(diǎn)B在線段B0Bn上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的路徑為B0Bn.又因點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)，易知ON=23·2=26，易得△BnAB0∽△NAO，所以B0BnON=ABnAN=13，即B0Bn26=13，所以B0Bn=22，即點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長為22.

3.圓弧型軌跡

例3?如圖13，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD;以AD為直徑的圓交BD于點(diǎn)E，則線段CE長度的最小值為.

步驟：

（1）初步操作，獲得表象

按照題目的要求，作出符合條件的以ADn為直徑的圓，描出E1，E2， …，En，如圖14，獲得表象，動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為一條曲線，像一段弧.

（2）運(yùn)用畫板，驗(yàn)證表象

如圖14，打開幾何畫板，在幾何畫板中，作出符合條件的以ADn為直徑的圓，托動(dòng)“主動(dòng)點(diǎn)Dn”，追蹤從“動(dòng)點(diǎn)En”的軌跡，驗(yàn)證為一段弧.

（3）根據(jù)軌跡，建立模型

如圖15，聯(lián)結(jié)AE，因AD為直徑，所以∠AED=90°，所以∠AEB=90°.根據(jù)基本軌跡6，在△ABE中，AB=2為定長，AB所對角∠AEB=90°為定值，所以動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為以AB為直徑的

右側(cè)的半圓弧.

（4）依據(jù)模型，合理解答

因動(dòng)點(diǎn)E在以AB為直徑的半圓弧上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C在半圓弧所在圓的外部，依據(jù)“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系定理”知當(dāng)O、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，CE值最小.又因OA=1，AC=2，∠BAC=90°，所以O(shè)C=5，所以CE=5-1，即線段CE長度的最小值為5-1.

4.圓型軌跡

例4?如圖16，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，則線段AM長度的最大值為.

步驟：

（1）初步操作，獲得表象

按照題目的要求，作出符合條件的PMn，描出M1，M2， …，Mn，如圖17，獲得表象，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為一條曲線，像一段弧.

（2）運(yùn)用畫板，驗(yàn)證表象

如圖17，打開幾何畫板，在幾何畫板中，作出符合條件的PMn，托動(dòng)“主動(dòng)點(diǎn)Pn”，追蹤“從動(dòng)點(diǎn)Mn”的軌跡，驗(yàn)證為一個(gè)圓.

（3）根據(jù)軌跡，建立模型

如圖18，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得定點(diǎn)N（2，3），聯(lián)結(jié)AN、BN、BM、MN，則AN=AB=3，BN=32.又因∠MBP=∠NBA=45°，BMPA=BNAB=2，所以∠MBN=∠PBA，所以△MBN∽△PBA，所以MNPA=2，所以MN=22.又因點(diǎn)N為定點(diǎn)，M為動(dòng)點(diǎn)，MN為定值22，根據(jù)基本軌跡5知，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)N（2，3）為定點(diǎn)，以22為定長的圓.

（4）依據(jù)模型，合理解答

動(dòng)點(diǎn)M在以點(diǎn)N（2，3）為定點(diǎn)，以22為定長的圓上運(yùn)動(dòng)，依據(jù)“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系定理”知當(dāng)M、N、A三點(diǎn)共線時(shí)，線段AM值最大，最大值為22+3.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉延彬.解答軌跡方程問題的兩種“思路”[J].教育界（基礎(chǔ)教育），2019（07）：87-88.

[責(zé)任編輯：李?璟]