錢興新 金志遠(yuǎn) 張夢媛

摘要：燃油發(fā)動(dòng)機(jī)對于我們?nèi)粘Ｉ钪械臋C(jī)械工作有著重要作用。燃油進(jìn)入和噴出高壓油管是許多燃油發(fā)動(dòng)機(jī)工作的基礎(chǔ)，燃油進(jìn)入和噴出油管的間歇性工作過程會導(dǎo)致高壓油管內(nèi)壓力的變化，使得所噴出的燃油量出現(xiàn)偏差，從而影響發(fā)動(dòng)機(jī)的工作效率。本文研究發(fā)動(dòng)機(jī)中進(jìn)入和進(jìn)出高壓油管的燃油量，通過控制高壓油管的壓力保持穩(wěn)定來提高發(fā)動(dòng)機(jī)的工作效率。為維持高壓油管壓強(qiáng)穩(wěn)定在100MPa或經(jīng)歷調(diào)整時(shí)長上升到150MPa后保持穩(wěn)定。我們根據(jù)壓強(qiáng)的變化量建立微分方程，將壓強(qiáng)隨時(shí)間的變化離散到每個(gè)進(jìn)油周期，利用隱式歐拉法求解微分方程。

關(guān)鍵詞：微分方程;質(zhì)量守恒;隱式歐拉算法;優(yōu)化模型

0? 引言

燃油進(jìn)入和噴出高壓油管是許多燃油發(fā)動(dòng)機(jī)工作的基礎(chǔ)，燃油經(jīng)過高壓油泵從A處進(jìn)入高壓油管，再由噴口B噴出。燃油進(jìn)入和噴出的間歇性工作過程會導(dǎo)致高壓油管內(nèi)壓力的變化，使得所噴出的燃油量出現(xiàn)偏差，從而影響發(fā)動(dòng)機(jī)的工作效率。為維持油管內(nèi)壓強(qiáng)穩(wěn)定，我們著重研究以下兩個(gè)問題：確定單向閥開啟的時(shí)長，以保證油管內(nèi)的壓強(qiáng)盡可能穩(wěn)定在100MPa;調(diào)整單向閥開啟的時(shí)長，使油管內(nèi)的壓強(qiáng)分別經(jīng)過2s，5s和10s的調(diào)整過程穩(wěn)定在150MPa。

1? 模型假設(shè)

①不考慮各部件彈性變形。

②不考慮溫度變化對壓力，體積的影響。

③不考慮壓力變化時(shí)間，同一腔室內(nèi)燃油壓力及密度處處相同。

2? 符號說明

①t0單向閥開啟時(shí)長;

②ρ燃油密度;

③P燃油壓力;

④Q進(jìn)出油流量;

⑤m燃油質(zhì)量;

⑥E彈性模量。

3? 問題分析

求給出壓強(qiáng)維持在100MPa和壓強(qiáng)從100MPa上升到150MPa的情況下的單向閥開啟時(shí)長，根據(jù)壓強(qiáng)變化量與密度變化量成正比，建立微分模型，將壓強(qiáng)隨時(shí)間的變化離散到各個(gè)進(jìn)油周期，用隱式歐拉算法進(jìn)行迭代求解微分方程數(shù)值解，表示出壓強(qiáng)隨時(shí)間的變化，最后使其穩(wěn)定在一定值求解出單向閥每次開啟的時(shí)間。對于壓強(qiáng)調(diào)整過程也是如此求解，調(diào)整過程后的保持穩(wěn)定的過程則與前述的穩(wěn)定過程求解一樣。

4? 模型建立與求解

4.1 模型分析

問題一需要求解單向閥開啟的時(shí)長，根據(jù)壓強(qiáng)變化量與密度變化量成正比，表示出進(jìn)出油與壓強(qiáng)的關(guān)系，建立微分方程模型，求解壓強(qiáng)隨時(shí)間的變化關(guān)系，保持壓強(qiáng)不變的情況下，取出油周期100ms，以100ms末的壓強(qiáng)值與100MPa的差值最小為目標(biāo)，對t0遍歷搜索，求解維持穩(wěn)定的單向閥開啟時(shí)長t0（ms）。對于壓強(qiáng)從100MPa增加到150MPa的調(diào)整過程，在t1（s）的調(diào)整時(shí)長內(nèi)，將壓強(qiáng)隨時(shí)間的連續(xù)變化離散化為每一個(gè)進(jìn)油的周期t0+10內(nèi)，同樣求解微分方程， 以t1末的壓強(qiáng)值與150MPa的差值最小為目標(biāo)，求解調(diào)整過程單向閥開啟t0。而t1后的穩(wěn)定過程的單向閥開啟時(shí)長同第一子問相同。

4.2 公式推導(dǎo)

4.2.1 燃油壓力與密度的關(guān)系式

根據(jù)注1，燃油壓力變化量與密度變化量成正比，且已知比例系數(shù)，初始條件得到：

根據(jù)數(shù)據(jù)彈性模量與壓力的關(guān)系，對與進(jìn)行二次擬合得到擬合關(guān)系式：

將（2）式代入（1）式求解此微分方程得到：

4.2.2 流量與管內(nèi)壓力，時(shí)間的關(guān)系

進(jìn)油處壓力穩(wěn)定在160MPa，則進(jìn)油處密度也為恒定值，代入（3）式得到：

由注2，進(jìn)出油流量：

此時(shí)小孔面積A0=0.49π。

則在單向閥開關(guān)的一個(gè)周期內(nèi)t0+10：

根據(jù)噴油速率，以及出油頻率，可以得到1個(gè)周期（100ms）：

4.2.3 關(guān)于壓強(qiáng)的微分方程[1]

根據(jù)注1，有油管連續(xù)性方程：

容器體積為V0，可以得到[2]：

其中

將式（2）（7）（6）代入式（8），得到：

其中Q入由式（6）給出，Q出由式（7）給出。

4.3 壓強(qiáng)維持100MPa時(shí)的模型建立與求解

4.3.1 模型建立

①目標(biāo)函數(shù)的確立。

根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)需要使壓強(qiáng)穩(wěn)定在100MPa，我們?nèi)〕鲇椭芷?00ms，將周期末的壓強(qiáng)值作為優(yōu)化目標(biāo)，得到：

P（100）表示100ms對應(yīng)的壓強(qiáng)值。

②約束條件的表示。

對于上述過程，其約束條件為壓強(qiáng)值關(guān)于時(shí)間的微分方程求解。

因?yàn)橐淮纬鲇偷闹芷诿黠@長于一次進(jìn)油周期，故考慮一次出油周期，即100ms末的壓強(qiáng)與100MPa的差值最小，對應(yīng)求出單向閥開啟時(shí)長即可。

在時(shí)間起點(diǎn)的第一個(gè)t0+10內(nèi)，不考慮壓強(qiáng)變化時(shí)對t0做估計(jì)其值應(yīng)在0.2到2.2s之間，即恒定出油的時(shí)候。根據(jù)進(jìn)出油的周期性，在一個(gè)出油周期內(nèi)得到：

而在t0+10到100ms內(nèi)，

其中：T進(jìn)=t0+10，表示進(jìn)油周期。代入（9）式微分方程求解。

綜合以上分析，建立優(yōu)化模型：

4.3.2 模型求解

歐拉算法[4]

對于問題一中的微分方程，由于微分方程比較復(fù)雜，難以求解其解析解，故利用matlab用隱式歐拉法求解其數(shù)值解。對于上述微分方程，微分方程模型為：

計(jì)算P（t）在[a，b]區(qū)間上N個(gè)等間距點(diǎn)的近似值。

隱式歐拉算法如下：

Step1 計(jì)算N個(gè)等間距點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)間長度

Step2輸出（t，P）

Step3對i=1，2，…N重復(fù)step4和Step5

Step4 計(jì)算下一時(shí)刻壓強(qiáng)值

Step5 輸出每個(gè)（ti，Pi）

求解結(jié)果：

根據(jù)隱式歐拉算法，即向后差分的思想對t0遍歷后，求解100ms末的壓強(qiáng)得到，t0取0.31（ms）時(shí)壓強(qiáng)最接近100MPa。以0.01s為步長，求解得到部分結(jié)果見表1。

利用求解到的每個(gè)t與P的關(guān)系作出壓強(qiáng)隨時(shí)間變化的圖像如圖1。

從表1和圖1上可以看出：

①壓強(qiáng)隨時(shí)間是一個(gè)波動(dòng)的過程，在100ms時(shí)壓強(qiáng)值為100.4423，趨近于100MPa。

②在剛開始的一段時(shí)間內(nèi)，壓強(qiáng)迅速降低是因?yàn)樵?.4ms內(nèi)出油迅速，而進(jìn)油很少使管內(nèi)質(zhì)量下降，導(dǎo)致壓強(qiáng)下降。

③2.4ms以后壓強(qiáng)有波動(dòng)的回升是因?yàn)樵诮酉聛淼臅r(shí)間內(nèi)，出油量為0，而進(jìn)油量還在經(jīng)歷周期性的過程，即進(jìn)油量的周期性增加導(dǎo)致壓強(qiáng)回升。

④壓強(qiáng)回升呈現(xiàn)類似于階梯狀反映了在t0=0.31ms的單向閥開啟時(shí)間內(nèi)，燃油迅速流入，沒有流出，故壓強(qiáng)增大得較快，而在余下的10ms內(nèi)沒有進(jìn)出油故壓強(qiáng)保持不變。且“階梯”的分布也反映了單向閥開啟時(shí)間相較關(guān)閉時(shí)間較短的特點(diǎn)，即反映在：“階梯”圖形的上升段很陡，時(shí)間短，持平段時(shí)間長，壓強(qiáng)不變。

4.4 壓強(qiáng)經(jīng)歷調(diào)整過程的模型建立與求解

4.4.1 模型建立

同樣我們的優(yōu)化目標(biāo)在于調(diào)整過程結(jié)束后的壓強(qiáng)值穩(wěn)定在150MPa。

優(yōu)化模型：

4.4.2 模型求解

同理對于（9）式建立的微分模型，用壓力穩(wěn)定在100MPa時(shí)的方法，在100ms內(nèi)討論每個(gè)進(jìn)油周期，但對于由多個(gè)100ms組成的過程，由于進(jìn)出油周期的不一致，100ms結(jié)束后不一定能回到初始狀態(tài)，但由于單向閥開啟的時(shí)長相較于關(guān)閉的時(shí)長比較短，故我們總是假設(shè)經(jīng)過100ms的循環(huán)后能回到與0時(shí)刻相同的狀態(tài)。在此條件下求解模型。

同樣用隱式歐拉法求解微分方程，得到不同調(diào)整時(shí)長下單向閥最佳開啟時(shí)長。

結(jié)果如表2。

從表格可以看出：

①隨著調(diào)整時(shí)長的增加，單向閥開啟時(shí)長減少，反映了調(diào)整時(shí)間內(nèi)油管總體質(zhì)量的增加應(yīng)該是一個(gè)較為穩(wěn)定的量，從壓強(qiáng)增加值保持穩(wěn)定量來看，因?yàn)閴簭?qiáng)變化量與密度變化量成正比，而體積不變，故質(zhì)量變化量也應(yīng)該是較為穩(wěn)定。

②調(diào)整時(shí)長越長，穩(wěn)定壓強(qiáng)與150MPa越接近，說明調(diào)整過程是一個(gè)漸變的波動(dòng)過程，逐漸趨于穩(wěn)態(tài)。

同樣，作出2s，5s調(diào)整過程中的壓力隨時(shí)間變化的曲線，得到圖2。

觀察圖2并進(jìn)行對比，可以得出：

①2秒時(shí)壓強(qiáng)變化呈現(xiàn)波動(dòng)，漸趨穩(wěn)定，反映了2s內(nèi)每個(gè)100ms的進(jìn)出油的特性。當(dāng)調(diào)整時(shí)長變長時(shí)曲線更加平滑，反映了更長的調(diào)整時(shí)長內(nèi)，進(jìn)出油周期性變化被削弱。

②調(diào)整時(shí)長增加時(shí)，達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間值也逐漸增長，說明壓強(qiáng)的調(diào)整過程是一個(gè)對時(shí)間敏感的量，對應(yīng)于我們求解微分方程時(shí)用隱式歐拉法的時(shí)間上的迭代也有很好的說明效果。

5? 結(jié)論

根據(jù)壓強(qiáng)穩(wěn)定的條件得出維持壓強(qiáng)在100MPa保持穩(wěn)定的單向閥每次開啟時(shí)長為0.31ms。同理求解出經(jīng)歷2s，5s，10s調(diào)整時(shí)長過程中的單向閥每次開啟時(shí)長分別為：0.81ms，0.62ms，0.60ms。經(jīng)過調(diào)整時(shí)長之后保持150MPa穩(wěn)定壓強(qiáng)的單向閥每次開啟時(shí)長如前面一致為0.31ms。

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