黃兵 孔程程

摘要：多自由度有阻尼振動系統(tǒng)在工程實際中普遍存在，為研究和掌握該系統(tǒng)在外界激勵作用下的振動規(guī)律，采用Matlab/simulink對多自由度振動系統(tǒng)進行仿真分析。數(shù)值仿真得到在正弦函數(shù)和固定值的外界激勵作用下系統(tǒng)的輸出性能，并研究不同的阻尼和彈簧參數(shù)對系統(tǒng)中質(zhì)量塊的位移和穩(wěn)定性的影響。這對多自由度振動系統(tǒng)的實際應(yīng)用提供參考依據(jù)。

關(guān)鍵詞：simulink;多自由度;振動;仿真

0? 引言

在實際工程中，許多物體都涉及到振動問題，比如在行駛過程中的汽車、城市軌道車輛、高速運行的動車等。但是對于很多復(fù)雜物體的振動分析較為困難，因此在分析的過程中要加以簡化才可以。通常而言，大部分物體振動可以簡化為簡單的三自由度系統(tǒng)，這樣更加方便計算和分析。比如現(xiàn)在的汽車在滿足安全的同時追求更好的駕駛舒適性，其車的結(jié)構(gòu)也是越來越復(fù)雜。大多數(shù)汽車座椅下面使用了彈簧和橡膠來吸收振動、緩解沖擊，同時在汽車底盤和輪胎處都采用了減振裝置，這所有就可以看成一個三自由度的系統(tǒng)。

簡化模型來解決復(fù)雜振動問題，可以采用理論分析和數(shù)值仿真，數(shù)值仿真通常用Matlab。本文主要針對工程中常用的三自由度系統(tǒng)的簡化模型進行了分析，綜合采用理論計算和數(shù)值仿真。理論計算做了三自由度的運動微分方程、固有頻率和主振型的計算，數(shù)值仿真做了系統(tǒng)的模型用來分析各部分在外界激勵的作用下的位移響應(yīng)曲線。本文用的是Simulink動態(tài)分析，它可以在做出實際系統(tǒng)之前，預(yù)先對設(shè)計的系統(tǒng)進行仿真分析，并可以根據(jù)仿真結(jié)果隨時進行參數(shù)的修正，提高系統(tǒng)的性能和穩(wěn)定性，以減少對實際系統(tǒng)的設(shè)計與修改，實現(xiàn)高效率的開發(fā)和設(shè)計分析系統(tǒng)的目的。

1? 三自由度振動系統(tǒng)理論計算

本節(jié)用一個三自由度有阻尼系統(tǒng)來近似模擬簡化的機械物體在運動過程中的振動。

問題描述：已知一個系統(tǒng)剛度K=500N/m，系統(tǒng)質(zhì)量M3=20kg、M2=20kg、M1=20kg，阻尼器系數(shù)C=2Ns/m，彈簧和質(zhì)量塊為蓄能元件，阻尼器為耗能元件。三個質(zhì)量塊的位移分別為X1、X2和X3，外部激勵X（t）為，系統(tǒng)初值為零。

具體分析過程如下：

根據(jù)對質(zhì)量塊受力分析，可以得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程如下：

整理為下面的形式方便建模：

矩陣形式為：

即振動系統(tǒng)可以表示為：

下面進行系統(tǒng)的模態(tài)分析：

系統(tǒng)矩陣可以寫為（4）

其中M-1表示系統(tǒng)質(zhì)量逆矩陣，K表示剛度矩陣，可以表示為：

系統(tǒng)矩陣為：

令，則有

對此頻率方程展開，令其為零，可得一個關(guān)于λ的方程，求解后得到系統(tǒng)的各階固有頻率：

D的伴隨矩陣為

將代入式（6），可得

該矩陣是成比例的，矩陣的第三列就是取x1為基準的主振型。

同理，將帶入式中，可得

將代入式中，可得

根據(jù)上面理論計算我們得到了三自由度的固有頻率和主振型，得到固有頻率和主振型可以了解到此系統(tǒng)的共振區(qū)域，通過對這些數(shù)據(jù)的了解與分析可知這系統(tǒng)設(shè)計的不合理處，為結(jié)構(gòu)設(shè)計提供一定的指導(dǎo)，并在以后的振動損壞的起因上找到最不合理的地方并進行改進。也可以對計算模型進行校驗，驗證做的仿真計算的模型是否正確，為以后開展瞬態(tài)分析、譜分析提供基礎(chǔ)。

2? Simulink仿真模型的建立與分析

結(jié)合上述理論分析，采用Matlab/simulink對上述三自由度系統(tǒng)進行數(shù)值仿真，建立的仿真模型如圖2所示。

在該分析中，主要采用了增益模塊、求和模塊、積分模塊、三角函數(shù)模塊。分別設(shè)置一次和二次積分模塊初始值為0，因為質(zhì)量增益模塊是在積分前面的，所以值要設(shè)為質(zhì)量的倒數(shù)為1/20，最后分別設(shè)置剛度和阻尼增益模塊為500和2。數(shù)值仿真結(jié)果如圖3。

從仿真結(jié)果圖可以看出當(dāng)輸入為正弦函數(shù)時，質(zhì)量塊的位移剛開始一段時間偏離平衡點比較遠，而且振動不是很穩(wěn)定，隨著時間變化系統(tǒng)最終會以輸入函數(shù)的形式在平衡點附近穩(wěn)定的振動。當(dāng)輸入系統(tǒng)的外界激勵是一個定值時，系統(tǒng)會在平衡點附近比較穩(wěn)定的來回振動，最后因為阻尼作用而逐漸衰減為0。

3? 結(jié)語

本文系統(tǒng)而簡略地介紹了常見的多自由度數(shù)學(xué)模型的建立和Simulink的建模仿真。通過Simulink對設(shè)計的系統(tǒng)進行建模仿真，可以得到每個參數(shù)對系統(tǒng)的影響，并可以隨時對不正確的參數(shù)進行優(yōu)化，即先分析系統(tǒng)的可行性和可能產(chǎn)生的結(jié)果，然后在解決實際工程問題時能把設(shè)計的風(fēng)險降到最低。這樣可以更好的對系統(tǒng)設(shè)計提供理論基礎(chǔ)，同時也可以對多自由度減振結(jié)構(gòu)分析提供相應(yīng)的參考和指導(dǎo)。

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