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        一脈相承的兩個基本圖形

        2020-09-10 07:22:44張倩
        初中生學習指導·提升版 2020年4期
        關鍵詞:正三角形外角同類

        張倩

        等邊三角形與正方形是大家非常熟悉的兩個基本圖形,共有的特點是每條邊相等,每個內(nèi)角相等. 因此,這兩類圖形相關問題的解答有著一脈相承之處. 通過對下面一組問題的探索,希望同學們能由此及彼,舉一反三,真正領悟解決這類問題的思想方法.

        一、與全等有關的問題

        例1 如圖1,G是正三角形ABC的邊AB上一點,以BG為一邊作正三角形BGE,連接AE,CG,那么AE = CG. 為什么?

        解析:因為△ABC和△BGE都是等邊三角形,

        所以AB = BC,BE = BG,∠ABC = ∠EBG = 60°,

        所以△AEB ≌ △CGB,所以AE = CG.

        同類練:如圖2,G是正方形ABCD的邊AB上一點,以BG為一邊作正方形BGFE,連接AE,CG,那么AE = CG. 為什么?

        例2 如圖3,E是正三角形ABC的邊BC上一點,CF是正三角形ABC的外角平分線,∠AEF = 60°,那么AE = EF. 為什么?

        解析:如圖4,在AB上取一點P,使AP = CE,連接PE,

        由正三角形ABC可知AB = BC,∠B = ∠ACB = 60°,

        所以BP = BE,所以△BPE是等邊三角形,所以∠APE = 120°,

        又因為CF是正三角形ABC的外角平分線,

        所以∠BCF = 120°,所以∠APE = ∠BCF;

        又因為∠1 + ∠AEB = 120°,∠2 + ∠AEB = 180°- ∠AEF = 120°,所以∠1 = ∠2,

        所以△APE≌△ECF,所以AE = EF.

        同類練:如圖5,E是正方形ABCD的邊BC上的一點,CF是正方形ABCD的外角平分線,∠AEF = 90°,那么AE = EF,為什么?

        二、與求角度有關的問題

        例3 如圖6,E,F(xiàn)分別是正三角形ABC的邊BC,AC上的兩點,BE = CF,連接AE,BF交于點P,求∠APF的度數(shù).

        解析:易證△ABE≌△BCF,所以∠1 = ∠2,又因為∠2 + ∠3 = 60°,所以∠1 +∠3 = 60°,所以∠APF = ∠1 + ∠3 = 60°.

        同類練:如圖7,E,F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊BC,CD上的兩點,BE = CF,連接AE,BF交于點P,求∠APF的度數(shù).

        例4 如圖8,分別以△ABC的兩邊AB,AC為一邊作正三角形ABD和正三角形ACE,連接BE,CD交于點P,求∠DPE的度數(shù).

        解析:易證△ADC≌△ABE,所以∠1 = ∠2,

        又因為∠3 = ∠4,∠1 + ∠3 = 180°- ∠DAB = 120°,

        所以∠2 + ∠4 = 120°,所以∠DPE = ∠2 + ∠4 = 120°.

        同類練:如圖9,分別以△ABC的兩邊AB,AC為一邊作正方形ABED和正方形ACFG,連接BG,CD交于點P,求∠DPG.

        三、與旋轉(zhuǎn)有關的問題

        例5 如圖10,P是正三角形ABC內(nèi)一點,PA = 3,PB = 4,PC = 5,求∠APB的度數(shù).

        解析:如圖11,將△BCP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△BAQ的位置,

        可得AQ = CP = 5,BQ = BP = 4,∠QBP = 60°,所以△QBP為等邊三角形,得PQ = 4,

        在△APQ中,因為AQ2 = AP 2 + PQ 2,所以∠APQ = 90°,

        則∠APB = 60°+ 90°= 150°.

        同類練:如圖12,P是正方形ABCD內(nèi)一點,PA = 1,PB = ■,PC = ■ ,求∠APB.

        四、與勾股定理有關的問題

        例6 如圖13,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,分別以AC,BC,AB為邊向外作正方形,面積分別是S1,S2,S3,試判斷S1,S2和S3之間的數(shù)量關系.

        解析:設Rt△ABC的三邊長分別為a,b,c,則S1 = b2,S2 = a2,S3 = c2.

        又因為a2 + b2 = c2,所以S1 + S2 = S3.

        同類練:在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,分別以AC,BC,AB為邊向外作等邊三角形ACD、等邊三角形BCE、等邊三角形ABF,它們的面積分別是S1,S2,S3,試判斷S1,S2,S3之間的數(shù)量關系.

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