張 可，楊凱遜，豐景春，王小環(huán)，李 明，薛 松

項目群工期非線性獎勵模型研究

張 可1,3，楊凱遜1,2，豐景春1,4，王小環(huán)5，李 明1，薛 松1,2

（1.河海大學(xué) 商學(xué)院，江蘇 南京 211100；2.河海大學(xué) 項目管理研究所，江蘇 南京 211100；3.河海大學(xué) 國際河流研究中心，江蘇 南京 211100；4.江蘇省“世界水谷”與水生態(tài)文明協(xié)同創(chuàng)新中心，江蘇 南京 211100；5.廣東省水利廳，廣東 廣州 510635）

進(jìn)度目標(biāo)控制是項目群管理的核心之一，直接影響項目群的作用和效益?，F(xiàn)有項目群工期獎勵研究普遍采用線性模型，存在激勵效果不足及承包商風(fēng)險控制等問題。本文以委托代理理論為研究基礎(chǔ)，從理論上分析項目群工期提前采用非線性獎勵模型的適用性；然后利用關(guān)鍵路徑方法（CPM）分析合同項目工期提前對項目群工期的影響；針對線性模型激勵不足以及未控制承包商風(fēng)險等問題，通過邊際遞增模式的設(shè)計保證激勵效用的充分性，引入最高獎勵金額及邊際遞減模式控制承包商風(fēng)險偏好，基于此構(gòu)建項目群工期非線性獎勵模型；結(jié)合ú項目群，對該非線性獎勵模型進(jìn)行案例分析。研究成果克服了現(xiàn)行項目群進(jìn)度提前線性獎勵的不足，為制定更加科學(xué)合理的獎勵機制提供理論依據(jù)。

項目群工期；非線性；獎勵模型；委托代理理論；風(fēng)險控制

0 引言

受“一帶一路”戰(zhàn)略推動，大型的群組項目應(yīng)運而生，多項目及項目群管理日漸成為建設(shè)工程管理的主要趨勢。工期作為項目管理的三大要素之一，直接影響工程能否及時發(fā)揮功能及效益[1, 2]。因此，進(jìn)度控制在項目管理中具有至關(guān)重要的地位，是項目群目標(biāo)能否實現(xiàn)的關(guān)鍵[3, 4]。通常情況下，進(jìn)度控制主要依靠組織、技術(shù)、經(jīng)濟(jì)以及管理四個實施手段，其中經(jīng)濟(jì)激勵最易被承包商接受，應(yīng)用也較為廣泛。相關(guān)研究表明，有效的激勵機制設(shè)計能夠在一定程度上促進(jìn)項目群工期的控制與優(yōu)化[5, 6]。

目前，單項目激勵機制設(shè)計方面的理論研究成果較為豐富，多依據(jù)委托代理理論研究進(jìn)度激勵原理，構(gòu)建工期提前獎勵模型。例如：Meng X[7]探討了激勵機制及其對項目績效的影響，認(rèn)為激勵具有績效促進(jìn)、抑制以及混合效應(yīng)，有效的激勵機制對于績效改善具有重要作用。Gallagher B等[8]比較了激勵性項目和非激勵性項目在時間和質(zhì)量方面的不同表現(xiàn)，揭示了激勵措施促使業(yè)主期望和承包商努力水平保持一致的內(nèi)在機理；Chen Y等[9]指出現(xiàn)行獎懲模型未考慮施工合同、成本等多種約束下承包商的最大利益；Ogwueleka A C等[10]提出在激勵機制設(shè)計時應(yīng)將風(fēng)險與獎勵相結(jié)合的觀點；Wei Y等[11]建立了基于委托代理理論的獎金激勵模型和收入分配激勵模型；陳勇強等[12]基于委托代理理論構(gòu)建了業(yè)主與承包商的激勵模型，有助于業(yè)主選擇適當(dāng)?shù)募顝姸炔崿F(xiàn)合理的風(fēng)險分擔(dān)；王穎林等[13]認(rèn)為獎懲額度的增加并不總是促使承包商行為向高努力轉(zhuǎn)變，合理的獎懲制度才能實現(xiàn)預(yù)期的激勵效果。

項目群進(jìn)度激勵的研究較少，且主要采用線性方式構(gòu)建工期獎勵模型。例如：Feng J C等[1]將項目群工期提前帶來的經(jīng)濟(jì)利益劃分為項目自身效益、關(guān)鍵節(jié)點效益、項目群效益以及由于前序項目工期提前所得到的補償4個部分，并在此基礎(chǔ)上建立了線性模式下的項目群工期提前獎勵模型。線性工期提前獎勵模型的特征是隨工期提前，獎勵金額同步增加且激勵程度保持不變。該類模型在工期提前收益較為穩(wěn)定、工期提前量較少的情況下具有較好的適用性。但受項目群外部運行環(huán)境的影響，工期提前的收益可能存在周期性、階段性，造成業(yè)主對于工期提前具有一定的期望值和不同的支付意愿；并且線性獎勵方式不易彌補承包商加快進(jìn)度導(dǎo)致的成本非線性增加。因此，線性獎勵模型存在激勵方式與工期提前收益、壓縮成本不匹配，易導(dǎo)致激勵效果不足和承包商風(fēng)險等問題。

本文以委托代理理論為研究基礎(chǔ)，從理論上分析項目群工期提前采用非線性獎勵模型的適用性；然后利用關(guān)鍵路徑方法（CPM）分析合同項目工期提前對項目群工期的影響，著重考慮項目群工期提前獎勵模型的激勵和防御雙重效應(yīng)；通過邊際遞增模型的設(shè)計保證激勵效用的充分性，引入最高獎勵金額及邊際遞減模型模擬業(yè)主支付意愿和風(fēng)險防御偏好，從而構(gòu)建項目群工期非線性獎勵模型；最后，以南水北調(diào)工程中的項目群為例，驗證本文方法的有效性。

1 項目群工期線性獎勵模型特點分析

從項目群激勵理論角度來看，工期獎勵體系包含：工期提前帶來的收益、加快工期的成本、業(yè)主的激勵意愿和承包商努力水平四個要素。其中，收益和成本是進(jìn)度獎勵的客觀基礎(chǔ)，業(yè)主意愿是進(jìn)度獎勵的主觀因素，三者共同決定了承包商對于項目群進(jìn)度的努力水平。只有當(dāng)工期提前帶來的收益大于成本，業(yè)主才有激勵意愿獎勵承包商提高努力水平。線性激勵模型假定獎勵體系中的主要要素隨著工期提前線性增長，這些假設(shè)在項目群工期提前獎勵中存在一定的局限性。

（1）線性獎勵模型假定工期提前所帶來的收益具有線性特征，忽略了項目群運行環(huán)境的影響。線性獎勵模型認(rèn)為工期提前收益是時間的線性函數(shù)，隨著工期提前天數(shù)增加收益也線性增長。當(dāng)項目受外部運行環(huán)境影響較小時，該模型具有較好的效果，但隨著項目群規(guī)模的增大，外部運行環(huán)境變得更加錯綜復(fù)雜，工程效益的發(fā)揮受運行環(huán)境影響可能存在周期性和階段性，從而導(dǎo)致工期提前所產(chǎn)生的收益也具有非線性特征。以南水北調(diào)東線項目群為例，一個調(diào)水周期的調(diào)水計劃主要集中在前一年的10月到12月和次年的3月到5月，工程效益具有顯著的階段性，因此工期提前的效益也具有非線性特征。此外，大型防洪、灌溉、交通等項目群也具有類似特征。另一方面，大型項目群往往是經(jīng)濟(jì)、社會、生態(tài)效益的綜合體，綜合收益本身也具有非線性特征。

（2）線性獎勵模型假設(shè)獎勵金額可以彌補承包商加快工期的成本，未考慮承包商的成本特征。在工程項目工期優(yōu)化中，工程項目直接費與項目工期呈現(xiàn)非線性關(guān)系，具體表現(xiàn)為工程成本隨工期壓縮而增加，工期-直接費斜率邊際遞增[14, 15]。根據(jù)委托代理理論，業(yè)主作為委托人，承包商作為理性的代理人，其行為受到個人理性約束，即代理人接受激勵合同的前提是其在激勵合同中所得到的收益必定大于他放棄該激勵合同得到的收益，具體到項目群工期優(yōu)化的激勵中，只有當(dāng)業(yè)主給予承包商的獎勵大于承包商不接受該激勵合同時的收益，該激勵合同才會生效。因此當(dāng)承包商加快工期的成本呈現(xiàn)非線性增加時，業(yè)主仍采用線性獎勵方式進(jìn)行激勵，易導(dǎo)致承包商獲得的獎勵金額難以彌補其加快工期的成本損失，從而導(dǎo)致激勵效率下降甚至是激勵合同失效。

（3）線性獎勵模型認(rèn)為業(yè)主激勵意愿始終保持不變，但實際工程中業(yè)主激勵意愿具有門限效應(yīng)。項目群工期獎勵總體趨勢是工期提前越多，獎勵額度越大。但是受工期提前收益的非線性影響，業(yè)主獎勵意愿具有一定的期望值，獎勵支付意愿圍繞著工期提前期望值呈現(xiàn)先升后降趨勢。具體表現(xiàn)為：在外部運行環(huán)境作用下，業(yè)主對項目群工期提前天數(shù)具有心理預(yù)期；在達(dá)到心理預(yù)期前，對進(jìn)度提前偏好呈上升趨勢，承包商提前天數(shù)越多，業(yè)主愿意支付的獎勵金額也越多；但提前天數(shù)達(dá)到業(yè)主心理預(yù)期后，工期提前的偏好呈現(xiàn)下降趨勢，業(yè)主不愿再為項目工期縮短支付過多的獎勵。因此，業(yè)主的激勵意愿并非始終不變。

（4）線性獎勵模型假定承包商努力程度隨獎勵線性增長，忽略了承包商行為的不可觀測性和道德風(fēng)險[16-18]。不可否認(rèn)，當(dāng)代理人風(fēng)險中性，簡單的線性獎勵方式是最優(yōu)契約之一，能夠充分調(diào)動承包商，使其積極主動的進(jìn)行工期優(yōu)化[17]，但由于業(yè)主對承包商行為及付出的努力程度等信息較難獲取，只有在工程最終完成時，才能從工期、質(zhì)量、費用等方面判斷承包商的努力程度，因此承包商在進(jìn)行工期壓縮過程中極易做出利于自身但是損害他人利益的行為。在項目群工期優(yōu)化中具體表現(xiàn)在承包商損害質(zhì)量壓縮工期的掏空行為。由于進(jìn)度和質(zhì)量間存在平衡關(guān)系，線性激勵方式易造成承包商只注重工期壓縮，忽視工程項目質(zhì)量[19, 20]。工期壓縮能在一定程度上提升系統(tǒng)收益，但也會導(dǎo)致施工質(zhì)量下降等問題[15]。相關(guān)研究表明，一旦激勵超過閥值，承包商就會通過損害質(zhì)量來壓縮工期，因此業(yè)主的激勵機制設(shè)計應(yīng)充分考慮對這種掏空行為的防御[21]。綜上，線性工期獎勵模型激勵強度不變，對于承包商的激勵作用一直較強的特征，易造成承包商為追求經(jīng)濟(jì)利益不斷加快進(jìn)度目標(biāo)，從而導(dǎo)致工程質(zhì)量難以保證。

2 項目群工期非線性獎勵理論分析

2.1 項目群工期非線性獎勵理論基礎(chǔ)分析

因此，相關(guān)領(lǐng)域的激勵模式設(shè)計也開始逐漸從線性模型向非線性模型轉(zhuǎn)變。比如徐寧等[26]指出高管股權(quán)激勵與R&D之間呈現(xiàn)非線性關(guān)系，激勵力度與R&D投入、控制權(quán)激勵與技術(shù)創(chuàng)新動態(tài)能力存在倒“U”型，達(dá)到一定極值呈現(xiàn)遞減趨勢；曲亮、任國良等[27]在其文章中指出高管薪酬對企業(yè)價值有非線性的“U”型影響，薪酬超過一定的額度后，高管薪酬激勵明顯呈現(xiàn)出邊際遞增的激勵效果；賴永劍等[28]研究發(fā)現(xiàn)以金融相關(guān)比率為衡量指標(biāo)，金融發(fā)展對區(qū)域創(chuàng)新績效存在顯著的非線性影響。張克群等[29]探討發(fā)現(xiàn)技術(shù)多樣化與創(chuàng)新績效的非線性關(guān)系。左松[30]分析了委托代理理論框架下監(jiān)理的道德風(fēng)險，討論業(yè)主對監(jiān)理單位激勵報酬設(shè)計的指標(biāo)因素，提出對線性報酬模型進(jìn)行改進(jìn)；陸龔曙[14]在進(jìn)行業(yè)主對承包商的激勵機制設(shè)計中指出成本與工期的激勵系數(shù)是非線性的最優(yōu)化問題；易濤等[31]在基于費用控制的激勵機制設(shè)計與模型構(gòu)建中提出將工程成本與工期作為雙指標(biāo)激勵，直接費與工期可表示為非線性關(guān)系，并建立了非線性雙因子激勵模型。

類似地，在項目群工期激勵中，也具有委托代理關(guān)系。業(yè)主作為投資方，承包商作為施工方。承包商對于工程項目的了解程度明顯強于業(yè)主，但是業(yè)主對于承包商行為及付出的努力程度等信息較難獲取，承包商行為具有不可觀測性，因此，在項目群工期優(yōu)化中，承包商是信息隱蔽的“代理人”，而業(yè)主是難以獲取對方信息的“委托人”。業(yè)主通過工期提前獎勵以激勵承包商選擇合適的努力程度主動地進(jìn)行工期優(yōu)化。同樣，在項目群工期激勵中也存在利益趨同和壕溝防御，對承包商的適度獎勵有助于實現(xiàn)業(yè)主的工期優(yōu)化目標(biāo)，但過度的、不加限制的獎勵會使承包商不斷壓縮工期以追求自身利益最大化。因此，激勵的雙重效應(yīng)在一定程度驗證了項目群工期與激勵間同樣具有非線性關(guān)系。

2.2 項目群工期非線性獎勵特征分析

2.2.1現(xiàn)行非線性獎勵特征分析

目前非線性激勵模型主要存在邊際遞減和邊際遞增兩種主要模式，在不同的領(lǐng)域均有所應(yīng)用且各有利弊。

（1）邊際遞減模式。邊際遞減獎勵模型的特點是獎勵金額逐漸增長，但獎勵強度逐漸降低。該模型的優(yōu)點在于能夠有效地控制激勵程度，防御被獎勵對象的道德風(fēng)險[32]。項目群進(jìn)度獎勵采用該模型意味著重點防御承包商追求經(jīng)濟(jì)利益不斷加快進(jìn)度目標(biāo)的情況，能在一定程度上避免承包商可能出現(xiàn)的掏空行為，即為壓縮工期犧牲工程質(zhì)量，有效地防止代理人過度追求風(fēng)險。而該模型的缺陷在于凸性的激勵強度小于線性獎勵模型的激勵強度，有可能造成對承包商的激勵不夠充分，從而降低承包商對于加快工期、控制進(jìn)度目標(biāo)的積極性。

（2）邊際遞增模式。邊際遞增獎勵模型的特點是獎勵金額和強度同時增加。該模型的優(yōu)點在于能夠充分發(fā)揮激勵效應(yīng)，激發(fā)被獎勵對象的努力水平。項目群進(jìn)度獎勵采用該模型意味著工期提前越多，獎勵幅度越大，激勵強度大于線性獎勵模型的強度，因此能夠極大地激勵承包商提前完工。但是缺陷在于易造成承包商為了追求更大的經(jīng)濟(jì)利益，不斷加快進(jìn)度，引發(fā)質(zhì)量、安全等風(fēng)險；顯然，邊際遞增的獎勵模型未對風(fēng)險進(jìn)行控制，在引導(dǎo)承包商的行為方面存在偏差，容易引發(fā)承包商過度偏好風(fēng)險。

2.2.2項目群工期非線性獎勵機制分析

合理有效的項目群工期提前獎勵模型主要包含三個目標(biāo)：一是促使承包商積極主動地為實現(xiàn)項目群的目標(biāo)而不斷努力；二是確保獎勵對承包商有足夠的激勵作用；三是引導(dǎo)承包商的行為朝著正確的方向進(jìn)行并按時終止。傳統(tǒng)的線性獎勵方式可以實現(xiàn)目標(biāo)一和目標(biāo)二，但是可能存在激勵敏感性過強，易造成過度激勵等問題；對于目標(biāo)三，線性獎勵模型中幾乎沒有體現(xiàn)。通過分析獎勵要實現(xiàn)的三個目標(biāo)，發(fā)現(xiàn)線性獎勵雖然可以實現(xiàn)對承包商的激勵作用，但是在實際應(yīng)用中存在一定的局限性。非線性獎勵模型能夠在一定程度上彌補線性獎勵模型存在的缺陷，在實際工程中具有更強的適應(yīng)性。目前，非線性獎勵模型主要存在邊際遞增和邊際遞減兩種激勵形式，但這兩種形式并不完全適用于項目群工期提前獎勵機制。原因如下：

（1）業(yè)主對于進(jìn)度提前的偏好具有先升后降的特征。業(yè)主對于項目工期提前天數(shù)有一定的心理預(yù)期，在達(dá)到預(yù)期工期提前天數(shù)之前，業(yè)主對于進(jìn)度提前偏好呈現(xiàn)上升趨勢，承包商提前的天數(shù)越多，業(yè)主愿意支付的獎勵金額就越多。但工期提前天數(shù)達(dá)到業(yè)主的心理預(yù)期之后，業(yè)主對于工期提前的心理效用就會呈現(xiàn)下降趨勢，對于項目工期的縮短不再愿意支付過多的獎勵，達(dá)到業(yè)主心理預(yù)期后的工期提前對項目群的價值或是業(yè)主的經(jīng)濟(jì)效益影響不再顯著。因此，單純的邊際遞增雖然激勵效率顯著但是增加了業(yè)主的成本，而邊際遞減模型雖然可以有效節(jié)省委托代理成本但是存在激勵效率較低，易造成提前天數(shù)難以達(dá)到業(yè)主心理預(yù)期。

（2）承包商努力水平隨獎勵提升呈現(xiàn)先低后高的趨勢。獎勵金額較少，對承包商的激勵作用較小，因此承包商努力水平較低；但是隨著獎勵金額增長，對承包商的激勵作用逐漸增強，因此承包商努力水平顯著提升。值得注意的是，獎勵金額的提升一定程度上會造成承包商對于利益的過度追求，易產(chǎn)生道德風(fēng)險。因此，單純的邊際遞增模型雖然可以保證激勵效率但是易造成承包商的掏空行為，而邊際遞減模型雖然可以有效避免道德風(fēng)險但難以保證激勵效率。

綜上，單純采用邊際遞增或邊際遞減的獎勵方式并不滿足項目群工期激勵的實際要求。因此，項目群工期激勵需綜合考慮現(xiàn)有兩種非線性獎勵模型的優(yōu)勢，設(shè)計符合工程實踐的激勵機制。

2.2.3項目群工期非線性獎勵特征分析

激勵機制設(shè)計多以委托代理模型為基礎(chǔ)，通常會同時包含激勵效應(yīng)和防御效應(yīng)兩種非線性關(guān)系。相關(guān)研究表明，設(shè)計具有上述兩種效應(yīng)的激勵機制時，激勵力度和激勵效率間滿足N型非線性關(guān)系，即激勵力度具有門限效應(yīng)[21, 23-25]。前文分析表明，項目群工期提前獎勵中也存在上述兩種效應(yīng)，因此N型激勵曲線更為適合構(gòu)建工期提前獎勵模型。N型曲線始終保持獎勵金額單調(diào)遞增，但是具體增長方式分為激勵效應(yīng)和防御效應(yīng)兩個階段。其中，激勵效應(yīng)階段是指通過獎勵力度的不斷增加，激勵承包商更加努力地優(yōu)化進(jìn)度目標(biāo)，從而使項目群工期提前量達(dá)到業(yè)主預(yù)期。這一階段獎勵金額和激勵力度都隨工期提前天數(shù)不斷上升，其中激勵力度在業(yè)主心理預(yù)期點出達(dá)到最大值。防御效應(yīng)階段是指通過激勵力度的降低，控制承包商過度追求風(fēng)險，防止承包商通過損害質(zhì)量來壓縮工期的掏空行為。這一階段獎勵金額依舊隨著工期提前天數(shù)增加，但是激勵力度呈現(xiàn)單調(diào)下降趨勢。

通過上述分析，項目群工期提前量與獎勵金額之間亦存在N型非線性關(guān)系，即獎勵金額隨工期提前量增長呈現(xiàn)先邊際遞增后邊際遞減的特性。通過對N型曲線形式的模擬，項目群工期提前獎勵的非線性特征可采用以下模型近似表示：

式中：Aπ—項目群工期獎勵金額的上限；b—業(yè)主對項目群提前天數(shù)的預(yù)期；x—項目群工期提前的天數(shù)。

Figure 1 Program Schedule ahead of time Award Curve

假設(shè)業(yè)主對于項目群提前天數(shù)的目標(biāo)（心理預(yù)期）是天，愿意支付的獎勵金額是S，則項目群工期提前獎勵的N型曲線如圖1所示。其中點、點、點分別代表激勵效應(yīng)階段、轉(zhuǎn)折點及防御效應(yīng)階段范圍內(nèi)的點。點處二階導(dǎo)數(shù)大于0，獎勵模型為凹函數(shù)，獎勵力度邊際遞增；點處二階導(dǎo)數(shù)等于0，是獎勵曲線的拐點，此處獎勵力度最大；點處二階導(dǎo)數(shù)小于0，獎勵模型為凸函數(shù)，獎勵力度邊際遞減。

其中，點既是最有利于工程項目群發(fā)揮效益的點，又是業(yè)主考慮復(fù)雜外部環(huán)境影響下的心理預(yù)期點，同時該點對承包商來說也是激勵力度最大的點。業(yè)主的工期提前預(yù)期，由業(yè)主綜合考慮工程運行外部環(huán)境約束、工程效益等因素確定。對式(1)求一階導(dǎo)數(shù)得到式(2)，對式(1) 求二階導(dǎo)數(shù)得到式(3)。

式中：符號含義同式(1)。

令(3)式等于0，得到=，即曲線的拐點，代表最優(yōu)的項目工期目標(biāo)，即業(yè)主設(shè)定的心理預(yù)期。此時工期提前所能獲得的獎勵金額幅度是整個過程中最大的，在這個點之前，獎勵金額隨工期提前邊際遞增，在這個點之后，獎勵金額隨著工期提前邊際遞減。

項目群中承包商工期提前獲得獎勵金額隨著進(jìn)度加快先邊際遞增后邊際遞減，呈現(xiàn)先凹后凸的非線性特征。采用這種工期激勵的方式，主要有以下兩個原因，分別對應(yīng)曲線兩個階段。

（1）第一階段：隨項目工期的不斷提前，曲線的切線斜率不斷增大，即隨著進(jìn)度的不斷加快，獎勵幅度越來越大，獎勵金額呈現(xiàn)邊際遞增。

本階段采用邊際遞增的獎勵模型主要是為了更好的激勵承包商。由于最初承包商可以通過自身的努力極大地提前項目工期，此時不論是采用邊際遞減或是線性的獎勵模型，都有可能造成對承包商的激勵不夠充分，從而降低承包商對于加快工期、控制進(jìn)度目標(biāo)的積極性。此時給予承包商工期提前的獎勵呈現(xiàn)邊際遞增更為合理。

（2）第二階段：隨項目工期的不斷提前，曲線的切線斜率不斷減小，即隨著進(jìn)度的不斷加快，獎勵幅度越來越小，獎勵金額呈現(xiàn)邊際遞減。

本階段采用邊際遞減的激勵模型主要是考慮達(dá)到業(yè)主心理預(yù)期后，工期的進(jìn)一步提前對項目群的價值或是業(yè)主的經(jīng)濟(jì)效益影響已經(jīng)不再顯著。一方面，項目群工期一旦達(dá)到業(yè)主心理預(yù)期，關(guān)鍵路徑上的單個項目提前對于業(yè)主心理效用及項目群目標(biāo)的實現(xiàn)影響較小，業(yè)主不再愿意支付過多的獎勵；另一方面，當(dāng)單個項目位于項目群的非關(guān)鍵路徑上，即使工期無限壓縮，對于項目群的效益的發(fā)揮也無實質(zhì)性意義。因此，邊際遞減的獎勵模型與項目群價值的波動性特征及激勵意愿的門限效應(yīng)相吻合。

此外，邊際遞減的激勵模型一定程度上也可以防御承包人追求過快的進(jìn)度目標(biāo)。傳統(tǒng)線性獎勵模型存在工期獎勵敏感性過強、未控制承包商過度追求進(jìn)度目標(biāo)等問題，而邊際遞減的獎勵模型可以有效抑制承包商對于進(jìn)度風(fēng)險的追求。當(dāng)過快的進(jìn)度目標(biāo)并不會出現(xiàn)如線性獎勵模型中的高收益，承包商的工期優(yōu)化行為就能夠按時終止，這在一定程度上也保證了工程質(zhì)量，避免承包商的掏空行為的出現(xiàn)。因此，凸性的非線性獎勵引導(dǎo)承包商不以最快工期作為行為指標(biāo)，有利于業(yè)主控制風(fēng)險。

綜上，項目群工期提前采用的先邊際遞增后邊際遞減的非線性獎勵模型，既保證了激勵的充分性，同時在一定程度上引導(dǎo)承包商不以最快進(jìn)度為目標(biāo)，而是尋求適度的、最優(yōu)的項目工期。

3 項目群工期非線性獎勵模型的構(gòu)建

3.1 假設(shè)條件

（1）工期變動造成的合同項目自身效益、關(guān)鍵節(jié)點效益及項目群效益均可量化計算。

（2）假設(shè)工期不存在延誤。合同中規(guī)定的工期相對寬裕，承包商能在合同規(guī)定的工期節(jié)點前完工。

（3）各項目工期提前的程度可以新增關(guān)鍵路徑，但不出現(xiàn)關(guān)鍵路徑轉(zhuǎn)為非關(guān)鍵路徑的狀況。

（4）項目群中各合同項目同時招標(biāo)。由于招標(biāo)時間影響項目群工期獎勵，如果緊前項目完成才進(jìn)行后續(xù)項目招標(biāo)，那么就不存在前后序項目上的補償與分享關(guān)系。

3.2 模型構(gòu)建

根據(jù) Feng等[1]，獎勵模型要在保證實際經(jīng)濟(jì)效益大于等于原計劃的前提下，達(dá)到項目群進(jìn)度最優(yōu)化，因此目標(biāo)函數(shù)是：

式中：—第個合同項目；—項目群中合同項目總數(shù)；—項目群合同工期；—項目群實際工期；T—非關(guān)鍵路徑的計劃工期；T'—非關(guān)鍵路徑的實際工期；t—關(guān)鍵路徑上第個合同項目的合同工期；t—關(guān)鍵路徑上第個合同項目的實際工期；—項目群按原計劃完工后的預(yù)期收益；—項目群按實際進(jìn)度完工后的預(yù)期收益。

在項目群實施過程中，當(dāng)某個合同項目工期提前時，有可能造成后續(xù)項目開工時間的提前，從而產(chǎn)生一系列的獎勵和補償問題。對于工期提前的合同項目，應(yīng)該和開工時間提前的緊后項目或者其他后續(xù)項目分享產(chǎn)生的項目群效益；對于工期沒有縮短的合同項目，由于前面合同項目的提前導(dǎo)致其開工時間提前的應(yīng)該獲得一定的補償。

為了達(dá)到項目群經(jīng)濟(jì)效益的最大化，業(yè)主不應(yīng)該承擔(dān)其他多余的成本，即合同項目提前完工給項目群帶來的整體效益應(yīng)該大于等于合同項目獲得的獎勵以及其他項目因此獲得的補償之和。利用非線性表達(dá)方式表示如下：

通過上述分析，結(jié)合項目群工期線性獎勵模型，對于項目群工期提前非線性獎勵M表示如下：

4 案例分析

4.1 案例簡介

南水北調(diào)工程是一項由眾多項目群組成的大型復(fù)雜工程。根據(jù)南水北調(diào)東線工程目標(biāo)分解構(gòu)建項目群體系，其中ú為南水北調(diào)工程項目群體系中的一個項目群。ú項目群由14個合同項目組成，各個合同項目的合同工期、實際工期、中標(biāo)金額、線性獎勵模型下獎勵金額如表1所示。

表1 ú項目群工期概況及獎勵金額表

4.2 非線性獎勵模型下合同項目獎勵計算

繪制ú項目群網(wǎng)絡(luò)計劃圖，并通過計算合同項目時間參數(shù)確定關(guān)鍵路徑，具體各合同項目總時差以及自由時差參見圖2。ú項目群網(wǎng)絡(luò)計劃圖如圖2所示。

圖例：標(biāo)段項目（TF/FF）

Legend: Tender section project (TF/FF)

圖2 ú項目群網(wǎng)絡(luò)計劃

Figure 2 ú Program Network Planning

由此可見，ú項目群的關(guān)鍵路徑為：A—D—H—I—K —N，其中（10）為關(guān)鍵節(jié)點，即公路橋的建成可以獨立發(fā)揮功能效益。為了對該項目群工期非線性獎勵模型進(jìn)行計算，將ú項目群分為關(guān)鍵路徑和非關(guān)鍵路徑兩部分。關(guān)鍵路徑上工期提前的工程項目有：A、H、I、N，關(guān)鍵路徑上的工程項目不僅影響自身工期，還會對緊后工程項目最早開始時間以及項目群工期產(chǎn)生影響；非關(guān)鍵路徑上工期提前的工程項目有：C和G，造成緊后工程項目工期提前，關(guān)鍵節(jié)點效益受到影響。

該項目群完工后還需要經(jīng)過南水北調(diào)工程全線調(diào)試、試通水、試運行，并需要等待下一年度調(diào)水計劃和開機指令下達(dá)才能顯著發(fā)揮工程效益。同時，南水北調(diào)作為國家戰(zhàn)略性工程，其質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)大于進(jìn)度要求。因此，業(yè)主對于工期提前的預(yù)期并不強烈，理論上業(yè)主工期提前的預(yù)期為無窮大，為便于計算，在此取為項目工期提前天數(shù)的10倍。根據(jù)建設(shè)工程工程量清單計價規(guī)范的相關(guān)規(guī)定，工期獎懲額度一般為合同金額的1‰/天—5‰/天，工期延誤最高懲罰金額為合同中標(biāo)金額的5%左右。相較于工期延誤懲罰，業(yè)主對于承包商工期提前較少采取獎勵措施，獎勵最高金額在合同中較少體現(xiàn)，參照過往經(jīng)驗，在此按照合同中標(biāo)金額的1%乘以π作為獎勵的上限，由此確定項目群工期非線性獎勵模型參數(shù)。

通過上述分析，計算得到ú項目群工期提前非線性的獎勵金額。其中表中自身、關(guān)鍵、項目群、補償、分擔(dān)分別代表由于該合同項目工期提前獲得的獎勵金額、由于關(guān)鍵節(jié)點提前獲得的獎勵金額、由于項目群工期提前獲得的獎勵金額、前序項目提前所獲得的補償金額、由于項目提前為緊后項目分擔(dān)的金額，具體如表2所示。

表2 ú項目群工期提前非線性獎勵金額表

4.3 與線性獎勵模型對比分析

（1）本文利用非線性獎勵模型得到對ú項目群工期獎勵的總金額為100.21萬元，遠(yuǎn)小于線性獎勵模型下的360.2萬元。主要在于非線性獎勵模型依據(jù)中標(biāo)金額設(shè)定獎勵金額上限，其次后期邊際遞減的獎勵模型抑制承包商以最快進(jìn)度作為工期控制的首要目標(biāo)。

（2）合同項目A獎勵對比分析。由本文計算出來的獎勵金額為75.34萬元，大于線性獎勵模型下的20萬元。原因主要在于項目起始階段，獎勵金額處于邊際遞增，承包商通過自身努力加快工程進(jìn)度能夠獲得較高的獎勵。一般項目群的起始階段，項目管理體系難以執(zhí)行、人員到位情況難以落實，業(yè)主、承包商、監(jiān)理的協(xié)同管理程度不高，項目管理體系還處于磨合階段，容易出現(xiàn)進(jìn)度難以提前，甚至滯后的問題。該階段的獎勵金額高于線性激勵不僅有利于承包商提高自身努力程度，而且有利于各參建方之間的信息溝通與組織協(xié)調(diào)。

（3）合同項目C獎勵對比分析。在本文非線性獎勵模型的計算下，合同項目C可以獲得獎勵金額為9.41萬元，遠(yuǎn)小于線性獎勵模型下的145.8萬元。原因在于雖然提前了240天但是只取得關(guān)鍵節(jié)點效益，且收益總額與后續(xù)項目的補償相互抵消；同時，當(dāng)項目群工期獎勵模型具有邊際遞減的獎勵特征，承包商追求過快的進(jìn)度目標(biāo)并不會出現(xiàn)如線性獎勵模型中的高收益時，從而保證其工期優(yōu)化行為能夠按時終止，進(jìn)而避免了壓縮工期損害工程質(zhì)量的掏空行為。

（4）合同項目H、I、N、G獎勵對比分析。H項目合同獎勵金額4.53萬元，小于線性獎勵模型下的52.7萬元。一方面，由于事先設(shè)定獎勵金額的上限，獎勵金額相對線性模型下有了較大幅度的減少；另一方面，項目群工期提前的天數(shù)較多時，獎勵金額呈現(xiàn)邊際遞減，這也是造成獎勵金額被限制的原因之一。I、N合同項目與其類似。合同項目G處于非關(guān)鍵路徑，只取得自身項目工期提前的獎勵以及緊前項目工期提前的補償，最終獲得的獎勵金額未出現(xiàn)較大變動。

5 結(jié)論

現(xiàn)有項目群工期激勵普遍采用線性獎勵模型，存在激勵方式與工期提前收益、壓縮成本不匹配，易導(dǎo)致激勵效果不足和承包商風(fēng)險偏好等問題。為此，本文以委托代理理論為基礎(chǔ)，分析了項目群工期提前采用非線性獎勵模型的適用性，建立了包含激勵效應(yīng)和防御效應(yīng)的兩階段項目群工期非線性獎勵模型，克服了線性獎勵模型存在的前期獎勵效果不足和后期未控制承包商過度追求進(jìn)度目標(biāo)問題。案例結(jié)果表明，相同工期提前量條件下，項目群工期非線性模型較線性模型的獎勵金額大幅減少。

本文構(gòu)建的非線性獎勵模型在激勵效應(yīng)和防御效應(yīng)兩個階段展現(xiàn)了獨特優(yōu)勢，通過邊際遞增模式的設(shè)計保證激勵效用的充分性，引入最高獎勵金額及邊際遞減模式控制承包商風(fēng)險偏好。研究成果在一定程度上可以為項目群工期激勵機制設(shè)計和施工合同的獎勵條款制定提供理論依據(jù)。此外，本文在構(gòu)建模型時假定項目群中所有承包商的單位工期提前成本無差異性，綜合考慮承包商差異性的非線性獎勵模型還有待深入研究。

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Nolinear incentive model for program schedule

ZHANG Ke1,3, YANG Kaixun1,2, FENG Jingchun1,4, WANG Xiaohuan5, LI Ming1, XUE Song1,2

（1. Business School of Hohai University, Nanjing 211100, China; 2. Institute of Project Management of Hohai University, Nanjing 211100, China; 3. International River Research Centre of Hohai University, Nanjing 211100 China; 4. Jiangsu Provincial Collaborative Innovation Center of World Water Valley and Water Ecological Civilization，Nanjing 211100, China; 5. Water Resources Department of Guangdong Province，Guangzhou 510635, China）

As one of the three major factors of project management, the construction schedule directly affects the project function and income. Therefore, schedule control is significantly crucial in program management and is the key to the realization of the program objectives. Among the main schedule control measures, economic incentives are the most acceptable measure to contractors. Furthermore, relevant research shows that the effective incentive mechanism can promote the control and optimization of the program schedule to a certain extent.

The existing program schedule incentives generally employ linear incentives measure. The model can perform an incentive role in project optimization with low engineering complexity and small project. Especially in single projects or projects with a short project schedule, it is an applicable incentive measure for the project owner. However, because of the cyclical characteristics of the program income caused by a complex external environment, the threshold effect of the owner's incentive will become a nonlinear increase of the cost caused by the accelerated progress of the projects. Therefore, obvious disadvantages are using the linear incentive method for program schedule control. To this end, it is necessary to construct a nonlinear incentive model that matches the characteristics of the program schedule.

Firstly, according to the four components of the program schedule incentive, the paper discussed the characteristics of the linear incentive model of the program schedule from four aspects: the income brought by schedule control, the cost of accelerating the program schedule, the incentive of the owner and the effort level of the contractor. The discussion shows the shortcomings of the incentive model. Namely, the incentive method does not match the income brought by schedule control and the cost of accelerating the program schedule, which may lead to insufficient incentive effect and contractor risk preference.

Secondly, the paper analyzed the theoretical basis of the nonlinear incentive of the program schedule, established an analytical framework with principal-agent theory, and demonstrated the nonlinear relationship between program schedule and incentives through interest convergence and trench defensive hypothesis. Meanwhile, the two main nonlinear incentive models show the characteristics and shortcomings in detail. Furthermore, three goals were proposed for a reasonable program incentive model. According to this, the paper explained reasons that the existing marginal increase and marginal diminishing incentive models do not apply to actual engineering.

Thirdly, the paper analyzed the nonlinear incentive mechanism and characteristics of the program schedule and concluded that there is an N-type nonlinear relationship between the amount of program schedule in advance and the number of incentives. That is to say, the incentive amount possesses the N-curve characteristic with the program schedule in advance, a marginal decrease after a marginal increase. Through the simulation of the N-curve form, a quantified model of incentive is obtained. In addition, the paper also deeply analyzed the two stages of the N-type nonlinear incentive model.

Finally, the critical path method (CPM) was introduced to analyze the impact of the contract project schedule on the program schedule. Based on the above analysis, the nonlinear incentive model of the program schedule was constructed, and the program in the South-to-North Water Transfer Project was studied as an example to verify the effectiveness of the proposed method.

The research results show that considering the impact of the external operating environment of the program and the expectation of the owner's program schedule in advance, there is a nonlinear relationship between the project schedule and the incentive. In other words, the incentive amount is characterized by a marginal increase, followed by a marginal decrease with the program schedule in advance. The nonlinear incentive model constructed in this paper demonstrates unique advantages in the two stages of incentive effect and defensive effect. The model guarantees the sufficiency of incentive utility through the design of marginal increment mode. Also, the model introduces the highest incentive amount and marginal decline mode to control contractor risk preference. The model can help overcome the problem of insufficient incentive effect and uncontrolled contractor's excessive pursuit of schedule targets in the linear incentive model. The case study shows the result that under the same amount of program schedule in advance, the amount of incentive for the nonlinear model is significantly reduced compared to the linear model. To a certain extent, the research results can provide a theoretical basis for the design of the incentive mechanism for the program schedule and the formulation of the reward clause for the construction contract.

Program schedule; Nonlinear; Incentive model; Principal-agent theory; Risk control

2018-01-20

2018-11-28

Funded by the National Social Science Fund (17BGL156); Guangdong Water Conservancy Science and Technology Plan Innovation Project (2017-04); Guizhou Water Conservancy Science and Technology Plan Project (KT201601)

C931

A

1004-6062(2020)05-0122-008

10.13587/j.cnki.jieem.2020.05.013

2018-01-20

2018-11-28

國家社科基金資助項目（17BGL156）；廣東省水利科技計劃創(chuàng)新項目（2017-04）；貴州省水利科技計劃項目（KT201601）。

張可（1983—），男，河南信陽人；河海大學(xué)商學(xué)院副教授，碩士生導(dǎo)師；研究方向：系統(tǒng)工程。

中文編輯：杜 ??；英文編輯：Charlie C. Chen