王宦

【摘 要】本文對(duì)同心鼓的顛球模式及發(fā)力情況進(jìn)行了分析，建立多個(gè)參數(shù)模型對(duì)顛球策略進(jìn)行了優(yōu)化，并基于接球瞬間拉平鼓面對(duì)原有策略進(jìn)行了修改，最終應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)情形中的“同心協(xié)力”項(xiàng)目。對(duì)問題一，首先利用繩子的長度L和初始的角度α進(jìn)行標(biāo)量乘積變換，得出同心鼓在拉力的作用下上升的高度區(qū)域。再通過球從鼓面中心上方落下的高度與同心鼓上升的高度進(jìn)行差值化，確定了鼓面已經(jīng)上升時(shí)與球重力做功時(shí)的距離范圍，初步算得h的值域。再建立一個(gè)參數(shù)模型，假設(shè)在完全彈性碰撞時(shí)，利用能量守恒定律和動(dòng)量守恒定律使得剛接觸到鼓面的排球速度V1和鼓被拉動(dòng)的速度V2“相交換”，將顛球高度的范圍模型化，終值范圍大于40cm。對(duì)問題二，首先根據(jù)已知參數(shù)信息，對(duì)表1的9組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。表1中存在隊(duì)員發(fā)力不均衡或發(fā)力時(shí)間延遲的情況，此時(shí)使拉力使得鼓面傾斜，鼓在運(yùn)動(dòng)過程中具備一個(gè)特定的角速度。同時(shí)，根據(jù)剛體的軸轉(zhuǎn)動(dòng)原理，較大拉力一方所具備的角速度大于與之相對(duì)的方向的拉力一方的角速度。將8個(gè)組員的拉力分解為垂直向上的力和處于平面上的力，再把合力結(jié)合剛體的軸轉(zhuǎn)動(dòng)公式求出鼓的角加速度，根據(jù)積分原理求出0.1s時(shí)的傾斜角度。

【關(guān)鍵詞】微元;剛體;動(dòng)量守恒定律;類平拋運(yùn)動(dòng);光的反射

一、問題分析

問題一要求我們研究“同心協(xié)力”項(xiàng)目的最佳策略，并給出該策略下的首先需要確定已經(jīng)上升的鼓面與球重力做功之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。考慮使用繩子的長度L和初始的傾斜角度α進(jìn)行標(biāo)量乘積變換，確定同心鼓的上升高度范圍。再進(jìn)行整體的參數(shù)模型建模，基于完全彈性碰撞的假設(shè)下，根據(jù)能量守恒定律和動(dòng)量守恒定律來建立顛球高度模型?？紤]到待優(yōu)化參數(shù)較多，可對(duì)參數(shù)迭代優(yōu)化，得到值域。

問題二要求我們結(jié)合給定的隊(duì)員發(fā)力情況的參數(shù)，給出0.1s時(shí)鼓面的傾斜角度。由于在現(xiàn)實(shí)情形中，隊(duì)員發(fā)力時(shí)機(jī)和力度不可能做到精確控制，鼓面無法一直保持水平。因此，隊(duì)員的發(fā)力情況和鼓面的傾斜角度密切相關(guān)，就會(huì)出現(xiàn)表1所給出的各種鼓面傾斜情況。在建立模型時(shí)，只有對(duì)每組組員的發(fā)力時(shí)機(jī)和用力大小進(jìn)行綜合分析，才能保證結(jié)果的準(zhǔn)確性。首先，要對(duì)力進(jìn)行抵消和分解的模擬，問題的重點(diǎn)在于如何確定力的方向。其次，還需從物質(zhì)運(yùn)動(dòng)過程的角度考慮，分析鼓傾斜的時(shí)機(jī)，對(duì)力進(jìn)行組合，選擇剛體的軸轉(zhuǎn)動(dòng)公式演算出鼓傾斜角速度的加速度，作為得出鼓的傾斜角度的前提。

二、模型建立與求解

（一）問題一模型的求解

在理想狀態(tài)下，每個(gè)人可以精確控制用力方向、時(shí)機(jī)和力度，因此可以將力度看成一個(gè)關(guān)于角度的函數(shù)，使向上的力為恒力。此時(shí)，鼓進(jìn)行勻加速直線運(yùn)動(dòng)，而排球只受重力，進(jìn)行自由落體運(yùn)動(dòng)。根據(jù)動(dòng)量守恒定理，球重力做功至鼓面的瞬時(shí)速度和鼓面與球接觸時(shí)的瞬時(shí)速度進(jìn)行交換。基于完全彈性碰撞的假設(shè)，排球落下時(shí)只受重力做功，顛起來時(shí)也只需克服重力做功，因此排球的速度應(yīng)當(dāng)和鼓的速度是一對(duì)方向相反，大小相同的量。

動(dòng)量守恒定律：一個(gè)系統(tǒng)不受外力或所受外力之和為零，這個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變，這個(gè)結(jié)論叫做動(dòng)量守恒定律。

問題一給定的條件是在理想狀態(tài)下，因此我們可以看成一個(gè)子母球模型。

能量守恒定律：在只有保守力做功的情況下，系統(tǒng)能量表現(xiàn)為機(jī)械能，動(dòng)能和勢能的能量守恒具體表達(dá)為機(jī)械能守恒定律。

由于排球落至鼓面和鼓面上升接觸排球的初速度均為0，所以只考慮末速度的情況。排球在彈起的過程中只需要克服重力做功，而排球的下落距離與顛球高度又相等。因此排球的末速度和鼓的末速度是一對(duì)大小相等，方向相反的量。此時(shí)兩個(gè)公式聯(lián)立，就可以得到排球的末速度。

可以得出球?qū)嶋H下落的高度是（40-Lsinα）cm

將其代入公式中：

我們最后可以得出力在豎直方向上的分量為1.95N，在繩水平面的夾角的大小為1.7°且繩長為1.9m時(shí)，人使用的力為82.81N。

（二）問題二模型的建立

在問題2中，我們采取建立二維坐標(biāo)系的方法。通過將鼓看成是剛體，利用剛體的轉(zhuǎn)軸模型進(jìn)行運(yùn)算。指的是在大家同時(shí)抬起鼓的瞬間還未發(fā)力，延遲了0.1s后才開始發(fā)力，即0.1s時(shí)的力為0。

我們將單獨(dú)一個(gè)方向的力進(jìn)行十字拆分。那么可以得出8個(gè)向上的分力，再將向上的力進(jìn)行組合，合并為向上拉力。同時(shí)在水平方向上的6個(gè)力相互抵消，只剩下①和⑤的平面分力，兩者進(jìn)行差值化運(yùn)算即可得出水平方向上的合力，通過求出力的矢量和，得到一個(gè)合力。

將豎直方向的面單獨(dú)取出，建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，求出其夾角。同時(shí)因?yàn)閯傮w的轉(zhuǎn)軸定理，支點(diǎn)就在將力反向延長后離反向延長線的矩形的角上，通過做垂線段，在坐標(biāo)系上利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得力矩。再通過剛體的轉(zhuǎn)軸公式求得相應(yīng)的角加速度，而角加速度是角速度與時(shí)間的積分之商，因此角速度的值即可知道，之后通過角速度和時(shí)間的乘積的積分即可求出相應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角度。

排球落下的時(shí)間為0.2 。

在進(jìn)行力的分配，因?yàn)楸壤?;2

所以兩位同學(xué)根據(jù)自己所在的角度分別減少使用13N和26N即可。