劉 曉

（山西省交通科學(xué)研究院，山西 太原 030006）

0 引言

車(chē)載穩(wěn)定平臺(tái)能夠隔離車(chē)輛受路面顛簸、車(chē)流量影響、發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)等環(huán)境擾動(dòng)產(chǎn)生的六維擾動(dòng)，為數(shù)字相機(jī)、激光傳感器、光學(xué)儀器提供一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的工作平臺(tái)，已作為保障各類(lèi)交通管制偵測(cè)車(chē)、多功能智能檢測(cè)車(chē)工作精度的關(guān)鍵設(shè)備[1]。并聯(lián)式穩(wěn)定平臺(tái)是一個(gè)處于非慣性系環(huán)境中的復(fù)雜多剛體系統(tǒng)[2]，一般由設(shè)備安裝平臺(tái)、運(yùn)動(dòng)執(zhí)行器、鉸鏈、基座構(gòu)成，其中基座時(shí)刻隨車(chē)振動(dòng)。建立系統(tǒng)各剛體之間的加速度映射關(guān)系是分析設(shè)備穩(wěn)定效果、建立運(yùn)動(dòng)學(xué)/動(dòng)力學(xué)模型、制定穩(wěn)定控制策略的前提，因此分析多剛體系統(tǒng)的加速度是開(kāi)展穩(wěn)定平臺(tái)研究的前提。

傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論中通常使用三維矢量代數(shù)描述剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)，即剛體的加速度分別用它的角加速度和其上一點(diǎn)的線加速度來(lái)描述。由于這種傳統(tǒng)的描述方法不具有坐標(biāo)不變性，因此分析剛體加速度是一項(xiàng)繁瑣困難的工作，特別是對(duì)于多剛體動(dòng)力系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，這項(xiàng)工作就變得十分困難，另外，建立的復(fù)雜模型將導(dǎo)致算法耗時(shí)，嚴(yán)重影響穩(wěn)定平臺(tái)響應(yīng)速度；采用Lagrange方法[3]分析剛體加速度時(shí)可回避上述問(wèn)題，但該方法存在拉格朗日函數(shù)偏微分的求導(dǎo)這一繁雜的任務(wù)，實(shí)際上是將分析困難轉(zhuǎn)移。

近年來(lái)，一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論被應(yīng)用于多剛體系統(tǒng)研究中，其中螺旋理論是一種有效的工具[4]。Ball最早建立了螺旋理論的基礎(chǔ)，然而到目前為止，螺旋理論大多應(yīng)用于剛體的速度、靜力分析和幾何綜合，只有很少的工作將螺旋理論應(yīng)用于剛體加速度分析中[5]。Bokelberg等討論了速度螺旋的無(wú)窮小位移；Ridley等研究了剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度中心；Martinez和Duffy分析了剛體簡(jiǎn)化加速度的合成，并指出剛體的簡(jiǎn)化加速度具有坐標(biāo)不變性。但直至目前，國(guó)際上對(duì)旋量的導(dǎo)數(shù)是不是剛體加速度這一問(wèn)題的認(rèn)識(shí)仍未統(tǒng)一，這也限制了其在分析多剛體系統(tǒng)時(shí)的應(yīng)用[6]。

1 剛體加速度的六維旋量描述

令{a}和分別為建立于剛體A和B上的坐標(biāo)系，剛體B相對(duì)于A的速度在{a}系中的描述可定義為：

同時(shí)，式（1）是剛體B相對(duì)剛體A的運(yùn)動(dòng)旋量在{a}系中的六維矢量描述。在本文敘述過(guò)程中，左上標(biāo)表示用于描述矩陣或矢量的坐標(biāo)系，右下標(biāo)表示相對(duì)運(yùn)動(dòng)或位置，如下標(biāo)ab表示剛體B相對(duì)于剛體A的運(yùn)動(dòng)，也可表示點(diǎn)b相對(duì)于{a}系的運(yùn)動(dòng)或位置。展開(kāi)式（1）可得：

式中：

式中：aωab表示剛體B相對(duì)于剛體A的角速度，與傳統(tǒng)的角速度表示一致；avab∈?3是一個(gè)三維矢量，在本文定義為剛體B相對(duì)于A的線速度，與傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論中的線速度定義不同，avab并不是剛體B固連點(diǎn)b相對(duì)于{a}系的速度，而是剛體B上與{a}系原點(diǎn)瞬時(shí)重合點(diǎn)（設(shè)為a′）相對(duì)于{a}系的線速度，其數(shù)值與傳統(tǒng)表示并不相同。因此，基于旋量理論建立的速度描述與傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)描述方式并不相同，在此稱(chēng)為剛體速度，其是一個(gè)包含角速度、線速度的六維矢量。

剛體B相對(duì)A的運(yùn)動(dòng)旋量求導(dǎo)即可得到對(duì)應(yīng)的剛體加速度，對(duì)式（1）兩端求時(shí)間導(dǎo)數(shù)可得：

對(duì)式（2）兩端求時(shí)間導(dǎo)數(shù)：

結(jié)合式（5）、式（6）建立剛體角加速度的旋量描述形式為：

令aaab=av˙ab，并定義aaab為剛體B相對(duì)于剛體A的線加速度，本文稱(chēng)為剛體線加速度，其與傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)描述方式的區(qū)別將在下節(jié)分析。由式（5）、式（6）建立其旋量描述形式為：

將式（3）、（7）代入上式，整理為：

aaab∈?3是一個(gè)三維矢量，依據(jù)李代數(shù)可證明剛體加速度表達(dá)式：

是李代數(shù)的一個(gè)元素，即a?ab∈se（3）為剛體的加速度旋量。

由于本文定義的剛體加速度旋量均是李代數(shù)空間的元素，因此李群空間元素gab的伴隨作用可給出任意兩個(gè)剛體加速度之間的變換，即存在以下關(guān)系成立：

式中：bab為剛體B相對(duì)于A的剛體加速度在系中描述。

上述提供了剛體速度、加速度的六維旋量描述和變換方法，后續(xù)的研究分析將證明這種描述方法在多剛體系統(tǒng)加速度中的優(yōu)點(diǎn)。

2 剛體加速度的物理意義

本節(jié)將分析剛體加速度的物理意義，并與傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)描述方式進(jìn)行對(duì)比。為了分析方便，令剛體B上與{a}系原點(diǎn)瞬時(shí)重合點(diǎn)為a'，并令αpba'為點(diǎn)b指向點(diǎn) a′的位置矢量；ap˙aa′、ap¨aa′分別為點(diǎn) a′相對(duì)于剛體A的瞬時(shí)速度、加速度。應(yīng)用同一剛體上不同點(diǎn)之間的速度和加速度的變換公式可得到以下關(guān)系式：

由點(diǎn)a′所處幾何位置可到apba′=-apab成立，結(jié)合上式，剛體線加速度可整理為：

為了更明確地解釋上式包含的物理意義，假設(shè)點(diǎn)s為剛體B螺旋運(yùn)動(dòng)軸線上的一點(diǎn)，apsa′為點(diǎn)s到點(diǎn)a′的位置矢量，如圖1所示。依據(jù)螺旋理論點(diǎn)a′的速度可寫(xiě)為：

上述分析可以看出，剛體加速度的傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)描述是用剛體的角加速度和剛體上固定點(diǎn)的線加速度構(gòu)成，而剛體加速度的旋量描述是由剛體的角加速度和剛體上瞬時(shí)與所用坐標(biāo)系原點(diǎn)重合點(diǎn)的無(wú)向心加速度組成。上述兩種描述方式的區(qū)別主要在于：a）剛體線加速度不是用剛體上某一固定點(diǎn)來(lái)分析描述，而是采用不同點(diǎn)來(lái)分析計(jì)算，即在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的各瞬時(shí)都采用與所用坐標(biāo)原點(diǎn)重合的點(diǎn)進(jìn)行描述；b）剛體線加速度數(shù)值大小為剛體上瞬時(shí)與所用坐標(biāo)系原點(diǎn)重合點(diǎn)的無(wú)向心加速度。

為進(jìn)一步明確剛體加速度的物理意義，結(jié)合點(diǎn)s、點(diǎn)a′，應(yīng)用同一剛體上不同點(diǎn)之間速度和加速度的變換公式可得：

圖1 剛體空間加速度的物理意義

將式（14）代入式（13），得到簡(jiǎn)化表達(dá)式為：

因此，剛體線加速度又可以看作是由剛體瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)加速度和所用坐標(biāo)系原點(diǎn)相對(duì)于瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的切向加速度合成。

3 多剛體系統(tǒng)加速度伴隨變換

基于上述建立的描述方法及物理意義，分析多剛體系統(tǒng)中各剛體加速度之間的運(yùn)動(dòng)變換關(guān)系，為建立并聯(lián)式車(chē)載穩(wěn)定平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)模型提供依據(jù)。

多剛體系統(tǒng)由3個(gè)剛體構(gòu)成，分別為剛體A、B、C，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系為{a}、、{c}，{c}系建立于剛體 C上，gac、gbc分別為剛體 C相對(duì)于{a}系、系的位姿變換矩陣，結(jié)合式（1），建立剛體C相對(duì)于剛體A的速度表達(dá)式為：

式中：g˙ac=g˙abgbc+gabg˙bc、gac－1=gbc－1gab－1.

通過(guò)對(duì)式（15）求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，建立剛體C相對(duì)于剛體A的加速度表達(dá)式為：

對(duì)式（16）展開(kāi)，結(jié)合式（1）、（5）、（15）將其整理為式（17）最簡(jiǎn)形式：

同理，使用相同的方法可建立剛體C相對(duì)于剛體A的加速度在{c}系中的表達(dá)式為：

上述建立了當(dāng)多剛體系統(tǒng)有3個(gè)剛體時(shí)，各剛體加速度之間的變換關(guān)系。將上述方法推廣到多剛體系統(tǒng)中，令多剛體系統(tǒng)包含（n+1）個(gè)剛體，其中基座N0、運(yùn)動(dòng)剛體N1……Nn；慣性坐標(biāo)系{0}與基座N0固連、非慣性坐標(biāo)系{i}與第i個(gè)剛體Ni連接，如圖2所示。由于篇幅有限，利用相同方法建立該系統(tǒng)第k個(gè)剛體相對(duì)于慣性坐標(biāo)系{0}及非慣性坐標(biāo)系{k}的加速度表達(dá)式為：

圖2 多剛體系統(tǒng)速度、加速度描述

4 結(jié)論

a）基于運(yùn)動(dòng)旋量的李群表達(dá)式，給出了剛體加速度的旋量描述，并提供了剛體加速度在不同坐標(biāo)系中的變化關(guān)系式。

b）揭示了所述剛體加速度的物理意義，即剛體角加速度與傳統(tǒng)描述相同；剛體線加速度為剛體上瞬時(shí)與參考系原點(diǎn)重合點(diǎn)的無(wú)向心加速度，即該點(diǎn)加速度與其繞瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的向心加速度之差。

c）基于旋量的剛體動(dòng)力學(xué)理論基礎(chǔ)，導(dǎo)出了多剛體系統(tǒng)中各剛體加速度之間的伴隨變換表達(dá)式，提供了一種分析復(fù)雜多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的有效方法。

這些概念和公式為基于李群李代數(shù)直接采用六維表示分析非慣性系并聯(lián)式車(chē)載穩(wěn)定平臺(tái)特性和動(dòng)力學(xué)奠定了基礎(chǔ)。