金小峰

(上海市奉賢中學(xué)，201499)

函數(shù)的最值問題是高中數(shù)學(xué)的重要知識之一,求解函數(shù)最值的常用方法有導(dǎo)數(shù)法、均值不等式法、數(shù)形結(jié)合法等.而向量同時具備了“數(shù)”和“形”的特征,是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的重要工具.本文舉例說明向量在求函數(shù)最值上的應(yīng)用.

一、用向量的數(shù)量積不等式求函數(shù)最值

由定義a·b=|a||b|cosα,不難得到如下結(jié)論:

(1)a·b≤|a||b|,當且僅當a與b同向時等號成立.

(2)|a·b|≤|a||b|,當且僅當a∥b時等號成立.

(3)(a·b)2≤|a|2|b|2,當且僅當a∥b時等號成立.

例3求實數(shù)x,y的值,使u=(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2達到最小值[1].

評注此題將u看成向量模的平方,根據(jù)這一代數(shù)式特征巧妙地構(gòu)造向量a和b,使得a·b和|b|為定值是解決問題的關(guān)鍵.

二、用向量的三角不等式求函數(shù)最值

由向量運算的幾何意義,易知有關(guān)向量的三角不等式:

(1)||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當a和b反向時左邊等號成立;當且僅當a和b同向時右邊等號成立.

(2)||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,當且僅當a和b同向時左邊等號成立;當且僅當a和b反向時右邊等號成立.

上述兩個例子巧妙地通過向量不等式解決了某些含無理根式函數(shù)的最小值或最大值問題,解法較為新穎且簡潔明快.

構(gòu)造向量求解函數(shù)最值問題是一種創(chuàng)新性的解題方法,從向量的角度看待數(shù)學(xué)問題,有助于拓寬視野,激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣,感受數(shù)學(xué)的奇妙之處.