羅禮明

(湖南省炎陵一中，412500)

充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念,它主要討論命題的條件與結(jié)論間的相互關(guān)系.因條件的充分性和必要條件與命題的四種形式及命題的否定有密切的聯(lián)系,所以在一些充要條件的判斷問題中常出現(xiàn)“已知p與q,判斷p是q的什么條件”等類型的問題.初學(xué)者由于對“p”理解不夠透徹，往往由于非等價變換導(dǎo)致錯誤,本文舉例給予說明.

一、錯解剖析

分析本題是一個充要條件的判斷問題,只要研究“p?q”與“q?p”的真假即可,也可以用集合的觀點來判斷.

解法2由p:|5x-2|>3，得p:|5x-2|≤3,即

剖析兩種解法,孰對孰非?答案是解法1正確,解法2錯誤.理由是解法2簡單地認(rèn)為“>”的否定為“≤”，這是片面的.事實上，q是對q的否定,應(yīng)包括和x2+4x-5=0”,即q應(yīng)為:{x|-5

(A)必要不充分條件

(B)充分不必要條件

(C)充要條件

(D)既不充分也不必要條件

錯解由p:log2x<0，得p:log2x≥0,即p:x≥1.

剖析命題p的否定p不是log2x≥0,而應(yīng)包括log2x≥0與log2x無意義兩種情形.所以，p所對應(yīng)的x的取值范圍是{x|log2x≥0}∪{x|x≤0}={x|x≤0或x≥1}.所以p?/q,q?p,從而p是q的必要不充分條件,故選A.也可以先由p:log2x<0求出x的取值范圍0

錯解命題p為真命題,命題q也為真命題,所以選B.

二、反思小結(jié)

1.對于“已知p與q,判斷p是q的什么條件”類型的問題,一般可先把p與p化簡,最后求p與q,再進(jìn)行判斷.若先求p與q，一定要注意等價性.特別是對于p與q為分式不等式或無理不等式，更要考慮分母為零與根式無意義的情況是否包含在p與q中.

2.在處理含有不等式p的邏輯問題時,應(yīng)先求出不等式p的解,然后再確定p.若先求p,一定要注意p的真正含義:一是p的真假與p的真假相反；二是p必須包含p的所有對立面.做到不重復(fù)也不遺漏,避免考慮不全而出錯.