林桂武,葛新廣,吳輝琴,李暾

(廣西科技大學(xué)土木建筑學(xué)院，廣西柳州545006)

0 引言

高架橋是一種能跨越河流、峽谷等障礙物并具有傳力路線明確、施工簡單、造價(jià)低的經(jīng)濟(jì)性橋型，且近年來隨著城市立體交通的發(fā)展需要，城市高架橋也隨著城市發(fā)展的需要大量涌現(xiàn)。然而，該類橋梁結(jié)構(gòu)屬于典型的“頭重腳輕結(jié)構(gòu)”，動力性能較差。1994年美國Northridge 地震導(dǎo)致數(shù)座橋梁倒塌；1995年日本阪神地震中，Hanshin高架橋全線路發(fā)生側(cè)向倒塌[1]；2008年中國汶川大地震中在映秀鎮(zhèn)附近一座高架橋橋梁因柱式橋墩剪壞發(fā)生數(shù)跨側(cè)向倒塌或整體落地[2]。對近30年地震橋梁破壞情況調(diào)查統(tǒng)計(jì)，橋梁工程在每次大地震中都受到嚴(yán)重破壞，其中高架柱式橋墩因根部的破壞尤其嚴(yán)重。作為生命線工程的橋梁基于地震動的研究一直是廣大工程人員的研究重點(diǎn)[2-6]。

橋梁地震動響應(yīng)研究中，地震輸入的選擇至關(guān)重要，目前橋梁設(shè)計(jì)主要以地震動時(shí)程分析[4,7]和設(shè)計(jì)反應(yīng)譜理論為主，隨機(jī)激勵(lì)下橋梁的地震動分析文獻(xiàn)較少。然而地震動發(fā)生具有時(shí)間、空間及強(qiáng)度的隨機(jī)性，而時(shí)程分析為確定性激勵(lì)分析、反應(yīng)譜理論為準(zhǔn)靜力分析，兩者都與實(shí)際地震動存在明顯的偏差。HOUSNER[8]于1947年提出用白噪聲激勵(lì)模擬地震動，開創(chuàng)了用隨機(jī)激勵(lì)研究結(jié)構(gòu)地震動的先河。20世紀(jì)60年代，隨著人類地震動時(shí)程記錄的不斷積累，日本學(xué)者KANAI[9]和TAJIMI[10]在對大量地震時(shí)程記錄的基礎(chǔ)上提出了過濾白噪聲激勵(lì)模型，工程上稱之Kanai-Tajimi譜。該隨機(jī)模型將基巖運(yùn)動看做白噪聲振動過程，其上覆蓋土層看做過濾器，能根據(jù)場地不同來模擬地震動對地面運(yùn)動的影響。雖然該模型過分夸大低頻振動的影響，但仍能較準(zhǔn)確的反應(yīng)地震動的振動特性，是其他地震動隨機(jī)激勵(lì)模型的基礎(chǔ)，受到廣泛的應(yīng)用[11-12]。

結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動響應(yīng)的分析方法主要有頻域法和時(shí)域法[12-13]。頻域法中，因結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)與地震激勵(lì)功率譜有直接代數(shù)關(guān)系而受到廣泛應(yīng)用，其中虛擬激勵(lì)法[14]是其典型的代表。時(shí)域法是將結(jié)構(gòu)的響應(yīng)能表達(dá)成脈沖函數(shù)與地震動激勵(lì)的杜哈梅積分形式，模態(tài)法是其典型代表，其中從解微分方程的角度，將二階運(yùn)動方程轉(zhuǎn)為一階運(yùn)動方程而產(chǎn)生的復(fù)模態(tài)方法[15-16]具有能解決各類非時(shí)變結(jié)構(gòu)的地震動響應(yīng)的特點(diǎn)而得到廣泛的應(yīng)用。實(shí)際工程應(yīng)用時(shí)，常需要獲得結(jié)構(gòu)的時(shí)域響應(yīng)值；頻域法應(yīng)用時(shí)需要轉(zhuǎn)換為時(shí)域值進(jìn)而存在數(shù)值積分的復(fù)雜問題，雖然一些基于頻域法的快速算法的提出[17]，對于復(fù)雜的地震動激勵(lì)模型或者大型結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析頻域法仍然存在計(jì)算效率低下的突出問題。此外，動力可靠度分析是結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題之一，而結(jié)構(gòu)響應(yīng)譜矩是可靠度分析的基礎(chǔ)，然而，目前計(jì)算譜矩的方法存在需要數(shù)值積分且計(jì)算量較大的問題。

本文以廣西柳州某城市高架橋的多跨簡支梁橋?yàn)檠芯勘尘埃趥?cè)向地震動作用下將其等效成4質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)；地震輸入采用Kanai-Tajimi隨機(jī)譜，并利用其基于白噪聲的過濾器微分方程，與橋墩運(yùn)動方程聯(lián)合組成非經(jīng)典阻尼運(yùn)動體系。利用復(fù)模態(tài)方法[13, 16]研究了隨機(jī)激勵(lì)下的質(zhì)點(diǎn)位移、質(zhì)點(diǎn)速度及質(zhì)點(diǎn)間剪力的協(xié)方差分析。最后基于譜矩的定義，推到了橋墩各質(zhì)點(diǎn)響應(yīng)的0階、1階譜和2階譜矩的解析解。

1 工程概況

廣西柳州某城市高架橋，依據(jù)公路橋梁抗震設(shè)計(jì)規(guī)范，按7度設(shè)防。上部結(jié)構(gòu)采用橫向7片20 m跨度的簡支小箱梁組成，一聯(lián)7跨；橋墩采用采用邊長為1.8 m的正方形的雙柱墩，墩高20 m,采用板式支座。橋墩參數(shù)如圖1所示：

圖1 橋墩構(gòu)造圖Fig.1 Structural diagram of pier

圖2 橋墩計(jì)算簡圖Fig.2 Calculation map of pier

2 橋墩地震動運(yùn)動方程

2.1 橋墩動力基本參數(shù)

根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)的離散原則，橋墩以系梁和蓋梁為橫向系，立柱為豎向系，其等效成雙柱二橫梁的框架結(jié)構(gòu)，利用結(jié)構(gòu)力學(xué)求出其橫向抗側(cè)剛度。根據(jù)系梁拉結(jié)作用，橋墩最后等效成如圖2所示的m1-m2的2質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)，集中質(zhì)量分別取橫向系和對應(yīng)立柱的質(zhì)量。橋墩采用鋼筋混凝土，其阻尼按瑞雷阻尼由阻尼比計(jì)算，阻尼比取0.05。上部結(jié)構(gòu)通過支座與橋墩蓋梁相連，可等效成梁體質(zhì)量、支座構(gòu)成的振動體系；質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量取20 m跨度簡支梁的總質(zhì)量的一半計(jì)；抗側(cè)剛度k3,k4按照所采用支座的力學(xué)參數(shù)計(jì)算獲得，根據(jù)支座的阻尼性能，由阻尼比來計(jì)算c3及c4，本文研究支座阻尼比對減震性能的影響，此處數(shù)值待定。結(jié)構(gòu)振動基本參數(shù)見表1。

表1 結(jié)構(gòu)振動基本參數(shù)Tab.1 Basic structural vibration parameters

2.2 橋墩地震動方程

由動力學(xué)知識，質(zhì)點(diǎn)m1的運(yùn)動方程：

(1)

質(zhì)點(diǎn)m2的運(yùn)動方程：

(2)

質(zhì)點(diǎn)m3的運(yùn)動方程：

(3)

質(zhì)點(diǎn)m4的運(yùn)動方程：

(4)

(5)

(6)

式中，S0為地震動強(qiáng)度常數(shù)，δ(τ)為Dirac函數(shù)。

地面運(yùn)動的絕對加速度與Kanai-Tajimi譜的關(guān)系：

(7)

令：

(8)

聯(lián)立式(1)～(5)及式(7)，橋墩運(yùn)動方程表示為：

(9)

3 橋墩各質(zhì)點(diǎn)動力響應(yīng)的統(tǒng)一表達(dá)式

引入狀態(tài)變量：

(10)

方程(9)改寫為：

(11)

式中:

依據(jù)復(fù)模態(tài)理論[16]，方程(11)存在特征值矩陣P，右特性向量V、U,且特征值矩陣P為實(shí)部為正值的對角陣，上述參量支架存在關(guān)系：

(12)

引入復(fù)模態(tài)變換[16]：

y=Uz,

(13)

式中，z為復(fù)模態(tài)廣義變量。

將式(15)代入式(11)并利用正交性，式(11)變?yōu)椋?/p>

(14)

把式(12)代入式(14)，并整理為：

(15)

鑒于P為對角陣，則式(15)有分量形式：

(16)

式中，zi,ηi,pi分別為z,η,P的分量。

(17)

(18)

式中，uj為右特征向量矩陣的第j行向量，橋墩各個(gè)質(zhì)點(diǎn)處響應(yīng)的強(qiáng)度系數(shù)：

λj,i=uj,iηi,

(19)

式中，uj,i右特征向量矩陣的第j行第i列元素。

由結(jié)構(gòu)力學(xué)理論并根據(jù)結(jié)構(gòu)計(jì)算簡圖2可知，橋墩質(zhì)點(diǎn)間的剪力為：

Vi=ki(xi-xi-1)，i=1～2,

(20)

式中，Vi表示橋墩第i質(zhì)點(diǎn)與i+1質(zhì)點(diǎn)之間的剪力。

對式(20)求導(dǎo)，可獲得剪力的變化率：

(21)

同理，支座剪力及其變化率為：

V3=k3(x3-x2)，V4=k4(x4-x2),

(22)

(23)

根據(jù)式(17)、(22)，剪力可統(tǒng)一表示為：

(24)

根據(jù)式(18)、(23)，剪力的變化率可統(tǒng)一表示為：

(25)

為后文推導(dǎo)方法，由式(17)、(18)及式(24)、(25)可知，橋墩質(zhì)點(diǎn)處的位移及速度、質(zhì)點(diǎn)間剪力及其變化率響應(yīng)可統(tǒng)一表示為：

(26)

式中，l代表響應(yīng)量，其第i個(gè)響應(yīng)分量為：

(27)

式中，各響應(yīng)的強(qiáng)度系數(shù)sl,i。

4 橋墩質(zhì)點(diǎn)響應(yīng)分析

4.1 響應(yīng)協(xié)方差分析

由式(26)及隨機(jī)振動的協(xié)方差定義[16]，響應(yīng)Sl的協(xié)方差為：

(28)

由式(27)、(28)中的分量可表示為：

(29)

把式(6)代入式(29)：

(30)

利用Dirac的函數(shù)性質(zhì)，式(30)改寫為：

(31)

對式(31)積分：

(32)

由式(28)、(32)，基于Kanai-Tajimi譜的橋墩動力響應(yīng)協(xié)方差為：

(33)

令：

(34)

則橋墩響應(yīng)的協(xié)方差可表示為：

(35)

從式(47)中可知，橋墩基于Kanai-Tajimi譜的動力響應(yīng)的協(xié)方差等于橋墩各個(gè)動力特征值所對應(yīng)的指數(shù)函數(shù)的線性組合。因此，可以認(rèn)為，多自由結(jié)構(gòu)響應(yīng)的協(xié)方差可轉(zhuǎn)化為其振動特征值對應(yīng)的協(xié)方差的線性組合，且表達(dá)式非常簡潔。

4.2 響應(yīng)譜矩分析

根據(jù)Wiener-Khinchin關(guān)系[16]，橋墩l響應(yīng)的單邊功率譜為：

(36)

式中，GSl(ω)為橋墩質(zhì)點(diǎn)響應(yīng)的單邊功率譜。

把式(35)代入式(36)：

(37)

對式(37)進(jìn)行積分：

(38)

由譜矩的定義[16]，譜矩αS,i可表示為：

(39)

由文獻(xiàn)[17],質(zhì)點(diǎn)響應(yīng)0階譜矩、2階譜矩與響應(yīng)的協(xié)方差存在如下關(guān)系：

(40)

(41)

質(zhì)點(diǎn)響應(yīng)1階譜矩的分析，把式(38)代入式(39)并取l=1，得：

(42)

對式(42)積分：

(43)

根據(jù)文獻(xiàn)[17]可知，

(44)

則譜矩αSl,1可表示為：

(45)

由式(40)、(41)、(45)可知，結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的0-2階譜矩均有解析解，且表達(dá)式簡潔明了，與虛擬激勵(lì)法[19-20]所提方法相比，本文方法不需要積分，計(jì)算效率大大提高。

5 參數(shù)分析

橋墩按7°設(shè)防，場地土為中硬土，其Kanai-Tajimi譜的參數(shù)為ξg=0.8,ωg=16.5rad/s,S0=0.006 9 m2/s3，對以下問題進(jìn)行分析：

①支座阻尼比為0.05時(shí),橋墩復(fù)振動特征值及對應(yīng)的強(qiáng)度系數(shù)。

根據(jù)文中式(12)計(jì)算出橋墩的地震動復(fù)振動特征值，共10個(gè)，且兩兩共軛，共軛對的模值是相等的，為此共軛對按1個(gè)模態(tài)合計(jì)，計(jì)5個(gè)模態(tài)；按特征值模值從小到大進(jìn)行排序，分別稱之為模態(tài)1至模態(tài)5。根據(jù)復(fù)模態(tài)理論可計(jì)算模態(tài)1至模態(tài)5對應(yīng)的強(qiáng)度系數(shù)，計(jì)算結(jié)果如表2。

由表2可知，模態(tài)3的等效阻尼比0.8，自振圓頻率為16.5 rad/s，與Kanai-Tajimi濾波器的場地特征值與阻尼比一致，這是由式(5)本身能解耦為2個(gè)一階微分方程的原因；模態(tài)3的強(qiáng)度系數(shù)的實(shí)部與虛部均比其他模態(tài)值大，說明地震動激勵(lì)的振動作用在各個(gè)模態(tài)中其主導(dǎo)作用。模態(tài)1及模態(tài)4的強(qiáng)度系數(shù)也較大，但模態(tài)1及模態(tài)2特征值模值相差不大，但模態(tài)2強(qiáng)度系數(shù)很小，原因不明。

表2 各模態(tài)特征值及強(qiáng)度系數(shù)Tab.2 Vibration mode number, eigenvalue and modal strength coefficient

②支座阻尼比0.05時(shí),橋墩位移及剪力的譜矩計(jì)算。

利用本文公式(40)、(41)及(45)計(jì)算橋墩各質(zhì)點(diǎn)位移及剪力的0-2階譜矩如表3、表4。

表3 質(zhì)點(diǎn)位移譜矩Tab.3 Mass displacement spectrum moment

表4 質(zhì)點(diǎn)間剪力譜矩Tab.4 Spectrum moment of shear forces

③支座阻尼比對橋墩側(cè)向變形及剪力的影響。

阻尼是耗能的，因此需要分析橋墩支座的阻尼對橋墩側(cè)向變形及橋墩內(nèi)力的影響。為此，分別就橋墩支座阻尼分別取0.05、0.1、0.15、0.2、0.25工況下的位移和質(zhì)點(diǎn)間剪力進(jìn)行對比分析，如圖3和圖4所示。

從圖3和圖4可見，隨著橋梁支座阻尼比的增加橋墩各質(zhì)點(diǎn)的位移及各質(zhì)點(diǎn)間的剪力明顯減小。因此，支座阻尼對于橋墩抗震效果影響明顯。橋梁設(shè)計(jì)時(shí)可采用大阻尼的支座可有效減震。

圖3 橋墩各振動質(zhì)點(diǎn)位移方差與橋墩支座阻尼比關(guān)系Fig.3 Relation between variance of displacement of vibration masses and damping ratio of pier support

圖4 質(zhì)點(diǎn)間剪力隨支座阻尼比變化Fig.4 Relation between variance of shear force of vibration masses and damping ratio of pier support

6 結(jié)論

本文通過對一高架橋柱式的橋墩在Kanai-Tajimi隨機(jī)地震動下的動力響應(yīng)進(jìn)行分析，結(jié)合Kanai-Tajimi濾波方程提出了該隨機(jī)激勵(lì)下響應(yīng)、譜矩等振動特征的簡明解析解，并分析了支座阻尼比對橋墩減震的影響，取得如下結(jié)果：

①利用隨機(jī)振動理論對橋墩基于隨機(jī)地震動激勵(lì)下的振動響應(yīng)分析，可較準(zhǔn)確的描述實(shí)際地震動橋墩的動力響應(yīng)，為橋梁基于抗震性能設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

②將Kanai-Tajimi譜的濾波方程與橋墩的動力方程聯(lián)立求解，可將復(fù)雜的地震動激勵(lì)模型精確轉(zhuǎn)化為白噪聲激勵(lì)，能極大的提高計(jì)算效率。

③本文所提方法為時(shí)域法，能獲得橋墩地震動響應(yīng)分析的0-2階譜矩的解析解，與虛擬激勵(lì)法等頻域法相比，無需積分，計(jì)算效率高。

④橋墩支座類型眾多，對于抗震的橋梁應(yīng)優(yōu)先考慮阻尼比高的材料制作，可有效減少橋墩的剪力及彎矩，提高其抗震性能。