左 玲

0 引言

大學生活是豐富美好的，多樣化的學科知識對學生今后的發(fā)展起著至關(guān)重要的作用。高等數(shù)學是大一新生普遍會學習的一門數(shù)學基礎(chǔ)課。其對接下來的數(shù)學類課程的開展有著重要的基礎(chǔ)作用。同時，學好這門課程也有利于學生對其專業(yè)課程的理解與掌握[2]。然而，較強的邏輯思考和較為單一的書面討論形式使大部分的學生對高等數(shù)學產(chǎn)生了一種比較刻板的印象，認為其枯燥晦澀，難以掌握，常常令大部分同學感到望而生畏。怎樣開展這門數(shù)學基礎(chǔ)課程的教學對大學學習尤為重要，是大學數(shù)學學習中值得探討的一個問題。如何在高等數(shù)學的課堂教學中恰當?shù)刈龅嚼碚撀?lián)系實際，進而提高同學們的求知欲與學習能力呢？

在高等數(shù)學的學習中，研究的基本問題是函數(shù)的性質(zhì)與形態(tài)。高等數(shù)學的上冊主要針對的是一元函數(shù)，下學期是對上冊內(nèi)容的推廣和深入拓展。其中對函數(shù)的分析主要體現(xiàn)在函數(shù)的微分學與積分學兩個方面。因此，本文結(jié)合一元函數(shù)的積分問題和大家探討高等數(shù)學的教與學。定積分是函數(shù)積分問題的重要開端，如何生動而豐富地理解定積分，同時運用定積分求解實際問題，這是本文將逐一分析的內(nèi)容。具體地，通過對定積分的幾何應(yīng)用這一節(jié)內(nèi)容的教學設(shè)計來簡單地探討這個問題。在同濟大學第7 版的高等數(shù)學中[1]，我們在第六章第二節(jié)中討論了定積分的幾何應(yīng)用。具體地，利用定積分計算了平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、平行截面面積已知的立體體積、平面曲線的弧長。本文針對定積分求解平行截面面積已知的立體體積這一問題來探討本節(jié)的教與學。

1 結(jié)合曲邊梯形問題提出元素法

在前面的課程中我們介紹了定積分的概念。結(jié)合具體的實際問題引導學生思考定積分概念的由來和在實際應(yīng)用中的背景。這與本節(jié)討論的定積分求解平行截面面積已知的立體體積有著相似的分析方式。因此，首先引導學生回顧這一部分的內(nèi)容，感受知識點相互之間的緊密關(guān)聯(lián)?？紤]閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)與坐標軸圍成的曲邊梯形的面積。通過分割、近似替代、求和與取極限四個步驟來處理不規(guī)則的曲邊梯形的面積問題。經(jīng)過任意分割之后的每一份小的曲邊梯形進行近似，用矩形替代，無限細分，并且運用極限求解這個無限變化過程中的精確解。即曲邊梯形的面積。從中體會化整為零和以直代曲的思想，用嚴格的數(shù)學形式刻畫定積分求解面積的原理。幾何的直觀表達可以有效地提高學生對代數(shù)表達式的興趣與理解程度。

通過對曲邊梯形面積的分析抽離出一種一元函數(shù)的乘積的和式的極限，將其定義為定積分。定積分中蘊含著怎樣的數(shù)學思想呢？能否將其用數(shù)學的語言來表達？可否運用這種數(shù)學思想求解其他的問題呢？這就需要依附曲邊梯形的面積問題推導出定積分的元素法，分析運用元素法時目標對象需要滿足的條件，歸納元素法解決問題時的步驟。強調(diào)定積分與元素法相輔相成的關(guān)系。同時這也是本節(jié)課探討的主題：定積分的元素法以及如何運用元素法求解平行截面面積已知的立體體積。定積分的元素法是定積分概念的簡化版本，是抽象出來得更為簡潔的教學形式。換個角度來思考，定積分的元素法是對其進一步的推廣。定積分的元素法主要包含三個步驟：

（1）合理地選擇選擇積分變量。

（2）求出部分量ΔU 的近似值dU 的表達式，這也是最關(guān)鍵的一步。

（3）對dU 求積分得到U。結(jié)合曲邊梯形問題，可以得到部分量 ΔA 的近似：dA=（fx）dx，則面積為

2 引用經(jīng)典案例，提高學生學習的興趣

圖1

然后，結(jié)合實際問題背景吸引學生學習這一課題的興趣。南朝數(shù)學家祖暅在其經(jīng)典的數(shù)學著作《綴術(shù)》中有云：“緣冪勢既同，則積不容異”。意思是兩個不同的立體，如果立體的高和任意截面面積相等，則這個立體的體積相同，為什么呢？通過將理論聯(lián)系實際，一方面提高學生參與討論的積極性，另一方面引導學生感受中國古代博大的數(shù)學文化和深邃的思想。引導學生觀察這兩個立體的不同點和共同之處，啟發(fā)學生思考怎樣將其與定積分的元素法結(jié)合起來。

3 運用元素法分析平行截面面積已知的立體體積

接下來，介紹平行截面面積已知的立體，即兩個立體的任意垂直軸的平行截面面積相同。這一部分的重點是分析如何運用元素法求解這一幾何問題。

【重點：元素法推導平行截面已知的立體體積的計算公式】本章主題是探討定積分元素法的應(yīng)用問題。除了求解不規(guī)則平面圖形的面積，還能運用定積分解決哪些幾何問題？這也是對定積分應(yīng)用在其他領(lǐng)域的重要嘗試[3]。引導學生探討如何運用元素法將平行截面已知的立體體積轉(zhuǎn)化為定積分的計算。在這一過程中注意強調(diào)對元素法原理的理解。

【解決方法】在教學過程中，擬采用逐層深入的方式探討元素法的原理及其在求解平行截面已知的立體體積中的應(yīng)用。結(jié)合圖形啟發(fā)學生思考元素法適用的問題類型，需要滿足哪些條件的要求。在計算平面面積的幾何問題中，歸納操作元素法的基本步驟。然后提出問題：平行截面面積已知的立體是否具備使用元素法的條件呢？怎樣合理地選擇積分變量？采用對比的方式使學生感受不同的選擇對積分產(chǎn)生的影響。接下來，當確定積分變量后，如何根據(jù)幾何體的特點求解平行截面面積函數(shù)？在這個過程中結(jié)合板書推導的方式強調(diào)對面積函數(shù)的分析。最后，根據(jù)截面面積函數(shù)與定積分的計算，解決立體體積問題。

圖2

【難點：平行截面已知的立體體積的計算】運用定積分求解平行截面已知的立體體積時需要計算出立體平行截面的面積函數(shù)。而空間幾何體的抽象性使得學生較難直觀地感受到立體的幾何特性。因此，如何提高學生的空間幾何的解析能力是一個有挑戰(zhàn)性的問題。

【解決方法】本節(jié)段采用特殊到一般的方式展開對難點的分析：首先，列舉一些大家較為熟悉的幾何體，通過板書詳細解答例題的演練過程，積累關(guān)于常見幾何體的處理方法和技巧。然后，逐漸過渡和推廣到較復雜的幾何類型。通過多媒體輔助的形式，增強學生對幾何體的空間感受力。在這個過程中培養(yǎng)學生的空間幾何的解析能力。最后，總結(jié)求解立體截面過程中的一般步驟。

圖3

主要分為三步：

（1）定變量：x[a，b]。

（2）找微元：dV=A（x）dx。

因此，對體積元素積分，得到平行截面面積已知的立體體積的計算公式最后，回到剛才列舉的引例中，用元素法得到的平行截面已知的立體體積公式解釋“祖暅原理”。

4 將理論聯(lián)系實際案例加深學生對重難知識點的理解

結(jié)合定積分的概念啟發(fā)學生思考元素法的歸納過程。引導學生學會結(jié)合定積分的定義與曲邊梯形的面積來提煉出元素法。了解元素法適用的問題類型，掌握其使用時的具體步驟。目標對象可以表示為某一元素的求和，并且元素為一元函數(shù)與長度微元的乘積形式。探索能否運用這種比較抽象的數(shù)學方法來解決其他幾何問題。例如：怎樣運用定積分的元素法求解平行截面面積已知的立體體積？教會學生辨識平行截面面積已知的立體。能夠判斷此類幾何問題是否滿足元素法的適用條件。再次回到引例中，當兩個立體高相等，且平行截面面積相同時，根據(jù)定積分求解平行截面面積已知的立體體積公式知道，這兩個立體的體積相同。

5 總結(jié)和拓展

本節(jié)探討了定積分的元素法在幾何問題中的應(yīng)用。采用了問題引導式的教學方法，結(jié)合平行截面面積已知的立體體積問題引導大家思考定積分的元素法的使用。啟發(fā)學生理解定積分的化整為零與以直代曲的基本思想[4]。同時，通過“祖暅原理”感受古今中外數(shù)學家們的智慧結(jié)晶，體會數(shù)學學科的實用性。培養(yǎng)學生學習數(shù)學知識的熱忱。培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，體會數(shù)學的概念與方法是在對實際問題的分析過程中抽離出來的，反過來，這些結(jié)論又在實踐中逐步地發(fā)展、豐富與完善。進一步地，引導大家思考，除了幾何問題還有哪些實際問題可以通過定積分的元素法來求解，從而為下一節(jié)的探討做出鋪墊。