黎和俊,劉盛翔,史文譜

(煙臺大學機電汽車工程學院,山東 煙臺 264005)

梁是主要用于承受彎曲變形的構件,在工程中有廣泛應用,比如路橋工程、船舶工程、膠木制作[1-2]和樁基碼頭的復合層梁板[3]等,由于膠接技術的快速發(fā)展和膠接工藝的諸多優(yōu)點(降低應力集中、操作方便和減少負重等),它在微納米機電系統(tǒng)中也有廣泛應用[4-5]．盡管如此,現(xiàn)實應用中也暴露出一些問題,比如膠層開裂,膠接不能廣泛用于重載場合等,膠接的主要失效模式是剪切破壞[5],因此膠層內的剪應力分布問題的研究是非常關鍵的,但分析難度較大,在文獻[5]中作者介紹的許多解析方法中都做了一定的預先假設后完成的,主要采用的是薄板理論．在文獻[6]中介紹的純彎曲梁內縱向纖維層間是不存在剪切應力分布的,因為梁是完整均質同一線彈性材料制作的,但膠接梁純彎曲在膠接層內是存在剪切應力的(見本文研究);張向等在文獻[7]中采用2種力學模型(單梁和雙層梁力學模型)研究了推掛輸送機雙層吊裝梁的強度問題和剛度問題;謝麗君[8]在假設層間光滑的情況下利用積分方程法研究了雙層疊合梁的變形計算;談至明[9]通過把疊合梁間接觸擬合為Goodman彈性夾層的辦法,研究了Winkler彈性地基上雙層梁的解析解問題;趙亮在文獻[10]中利用廣義哈密頓原理有限元法和Newmark數(shù)值法研究了移動質量作用下的雙層梁的動態(tài)響應計算問題;毛琦波則是在Adomian修正分解法基礎上,利用Euler-Bernoulli梁振動理論研究了Winkler彈性聯(lián)系的雙層梁在軸向力作用下的自由振動和穩(wěn)定性問題[11]．上述文獻都是針對具體問題和假設模型給出了問題的解,但關于膠接梁在考慮膠層剪切的前提下的純彎曲問題卻未見文獻發(fā)表,本文利用線彈性材料力學理論和平面假設研究了雙層膠接懸臂梁的純彎曲變形問題,通過理論研究和數(shù)值算例發(fā)現(xiàn),當膠接材質不一致時,盡管梁承受的是純彎曲載荷,但膠層內仍然存在剪切應力,且主要集中在梁的懸垂端附近,這個現(xiàn)象對于膠接梁的可靠性設計是需要關注的．

1 問題模型和分析

如圖1所示,膠接組合懸臂梁由上下梁通過中間厚度為δ的膠層膠接在一起,梁長為L,截面為矩形,寬度為b,上下梁高度分別為h1,h2,楊氏模量分別為E1,E2;膠層剪切模量為G．梁的左端固定,右端承受彎矩M的作用．本文的討論基于如下假設:

(1)懸臂上下梁的軸向變形和彎曲變形及膠層中的剪切變形均為線彈性的;

(2)上下梁變形的平面假設成立．

建立圖示3個坐標系oxw、o1z1y和o2z2y;o1,o2分別是上下梁截面的形心點．

圖1 純彎矩作用下的膠接組合懸臂梁

假設上下梁截面形心線變形后的撓度分別為w1(x),w2(x),軸向位移分別為u10(x,y),u20(x,y);上下梁截面上任意點的軸向位移分別為u1(x,y),u2(x,y)．由于組合梁在變形過程中上下梁沒有分離,故根據(jù)材料力學知,在小變形假設條件下,上下梁在同一截面上各點的撓度是一樣的,并統(tǒng)一假設為w(x),即

w1(x)=w2(x)=w(x).

(1)

此外,由梁變形的平面假設知,在組合梁任意截面x處上梁截面y1處和下梁截面y2處點的軸向位移u1,u2可分別表示為

(2)

其中:w′(x)表示撓度w(x)關于x的一階導數(shù);y1,y2分別是上下梁截面上計算位移的點離其中性軸的距離．

假設上下梁的軸向纖維的線應變分別為ε1,ε2,則由線應變和線位移之間的微分關系有

(3)

其中,w″(x)表示撓度w(x)關于x的二階導數(shù)．

膠層很薄,由于其角變形假設為線彈性的,從幾何關系上,其剪切應變γ可表示為

(4)

由拉壓和剪切的線性本構關系有

(5)

假設上下梁任意截面x處的軸向力和內力矩分別為(FN1,M1)和(FN2,M2),則它們可分別表示為如下等式

(6)

其中:S1,S2分別是上下梁橫截面面積;J1,J2分別是上下梁截面關于其各自中性軸z1,z2的截面慣性矩．

從上下梁上分別截取微元體進行受力分析如下圖2所示,容易推出軸向力FN1,FN2與剪應力τ之間滿足如下方程組

圖2 上下梁微元體受力分析

(7)

此外,根據(jù)合力矩定理,對組合梁的截面分界線取矩(忽略膠層的厚度)可得組合梁整體截面上的內力矩平衡方程為

(8)

將式(5)中的剪切應力τ代入式(7),并與式(6)一起代入式(8)可得位移函數(shù)u10,u20滿足的微分方程如下:

(9)

另外,根據(jù)材料力學中內力矩M(x)與分布載荷q(x)之間的微分關系d2M(x)/dx2=q(x),對式(9)中的第3個方程兩邊關于x連續(xù)微分2次得

(10)

由式(9)中的第一方程和第二方程,容易得到

(11)

將式(11)兩邊關于x微分一次得

(12)

將式(12)代入式(10)中整理得

(13)

對式(9)中的第一式關于x連續(xù)微分3次有

(14)

其中,w(4)是撓度函數(shù)w(x)關于x的四階導數(shù)．

將式(12)和式(13)代入式(14)中整理得

(15)

f(x),則式(15)可重新寫為

(16)

方程(16)的解為

f(x)=Ach(βx)+Bsh(βx),

即

(17)

連續(xù)對式(17)關于x積分3次有

u10(x)=β-3[Ash(βx)+Bch(βx)]+

A1x2+A2x+A3,

(18)

其中,A,B,A1,A2,A3是待定積分常數(shù)．

u20(x)=-χ{β-3[Ash(βx)+Bch(βx)]+

A1x2+A4x+A5},

(19)

其中,A4,A5是待定積分常數(shù),χ=E1S1/(E2S2)．

將式(17)代入式(13)中有

方程(20)的解可表為

w(x)=ζβ-4[Ach(βx)+Bsh(βx)]+

A6x3+A7x2+A8x+A9,

(21)

問題的邊界條件可表示為

(22)

將式(18)、(19)和(21)代入式(22),可得如下方程組:

另外,根據(jù)力矩平衡方程知,任意截面x處的總彎矩均為M,即

(24)

其中,M是常數(shù)．

將式(18)、式(19)和式(21)代入方程(24)中,通過同類項比較,可得如下待定系數(shù)方程組

(25)

通過該方程可得待定系數(shù)方程組為

(26)

聯(lián)立求解方程組(23)、(25)和(26)可得

(27)

將式(27)代入下列方程組(28)中可確定梁的撓度w(x)、軸向位移u10(x),u20(x)和膠層剪切應力τ(x)如式(29)．

(28)

(29)

2 算例與分析

假設L=1.5 m,b=0.06 m,h1=0.06 m,h2=0.08 m,E1=2.5×109N·m2,E2/E1=0.5,1.5,2.5,3.5,δ=0.000 2 m,G=2.5×107N/m2,M=100 N·m．計算結果顯示了在其他條件不變的條件下,膠接梁撓度w(x)、膠層內剪切應力τ(x)和上下梁形心線上點的位移u10(x),u20(x)隨不同梁材質E2/E1和截面位置x的變化情況,如圖3—6所示．從圖3可看出,膠接梁撓度w(x)隨著E2/E1的增大呈遞減變化,但又隨著x的增大而增大,這符合懸臂梁變形的特點;從圖4看出,在這幾種材質組合下,膠接梁膠層的剪切應力τ(x)相差不大,且主要集中在梁的懸垂端附近(x∈[1.398,1.5]m),這是膠層發(fā)生剪切破壞的主要區(qū)域,這與現(xiàn)實中的破壞現(xiàn)象是吻合的,這從圖5和圖6中上下梁形心線上點的位移變化規(guī)律也是吻合的,因為在梁的懸垂端兩者位移相差最大,最容易發(fā)生相互錯開而破壞;圖5說明了上梁形心線是發(fā)生壓縮變形的,懸垂端變形最大,且呈現(xiàn)直線規(guī)律變化;圖6說明下梁形心線發(fā)生了拉伸變形,懸垂端拉伸變形最大,且也是呈線性規(guī)律變化;此外,從圖5和圖6進一步看出,隨著E2/E1的增大,上下梁形心線上點位移的絕對值是遞減的,這說明下梁和上梁的楊氏模量比逐步增大時,上下梁形心線點的位移值是遞減的．上述結果都是符合組合懸臂梁變形特點的．

進一步的實際計算表明,當膠結劑的剪切模量和上下梁的楊氏模量都一樣時,膠層內的剪切應力將為零,吻合了材料力學中純彎曲梁內縱向纖維層間無剪切應力的結論．

圖3 膠接梁撓度隨不同材質組合和截面位置的變化

圖4 膠層剪切應力隨不同材質組合和截面位置的變化

圖5 上梁形心線軸向變形隨不同材質組合和截面位置的變化

圖6 下梁形心線軸向變形隨不同材質組合和截面位置的變化

3 結 論

通過文中理論分析和算例計算結果看,可總結出如下結論:

(1)對不同材質膠接成的組合懸臂梁,在純彎曲情況下,膠層內的剪切應力不為零,在梁的懸垂端附近剪切應力變化較大,且數(shù)值不可忽視,是容易開裂的地方．

(2)隨著下梁與上梁楊氏模量比的增大,膠接梁的撓度數(shù)值逐步減少,但梁的撓度在任何材質組合下仍然隨著截面位置x的增大而增大．

(3)對于膠接梁來說,當其懸垂端承受逆時針方向作用的彎矩時,上梁形心線承受壓縮;下梁形心線承受拉伸．