王昕陽

重慶師范大學數(shù)學科學學院

每一門數(shù)學學科都有其特有的數(shù)學思想，針對數(shù)學特性進行研究，可以真正掌握數(shù)學精神實質(zhì)，只有充分掌握數(shù)學思想方法，才能使計算發(fā)生作用。初入大學的數(shù)學專業(yè)本科生會認為不同學科對應(yīng)著不同的思維方式與解題方法，大多數(shù)學生只會將學科與其對應(yīng)的解題方法進行聯(lián)系。在數(shù)學分析和高等代數(shù)的學習中，將兩者聯(lián)系起來，才能真正解決數(shù)學分析疑難點，提高數(shù)學分析教學質(zhì)量和教學效率，完成數(shù)學課堂教學目標，充分展現(xiàn)數(shù)學教學的重要意義。為了幫助數(shù)學專業(yè)本科生理解一些數(shù)學方法的相互關(guān)聯(lián)使用，用本文將以具體實例來闡述一些技巧的交叉與應(yīng)用。

一、利用數(shù)學分析技巧解決高等代數(shù)問題

易知每個非負實數(shù)都有唯一的平方根，我們將對于一般的半正定矩陣考慮其平方根的存在性以及唯一性。

例題2.1：假設(shè)A為n階非負定矩陣，則存在唯一的n階非負定矩陣B使得A=B2。

證明：首先證明存在性。先給出正定的定義，實二次型f（x1，x2，…，xn）稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實數(shù)c1，c2，…，cn都有f（c1，c2，…，cn）>0。因A為n階非負定矩陣，根據(jù)[1]可得存在正交矩陣T以及對角上全為非負數(shù)d1，d2，…，dn的對角矩陣D使得

令F為對角矩陣D的主對角元素d1，d2，…，dn的根號值矩陣，

有B2=BB=T'FTT'FT=T'DT，即得B2=A。則存在性得證。

下面證明這個平方根的唯一性。假設(shè)存在另一個非負定矩陣C使得A=C2，然后證明兩個非負定矩陣B、C為同一矩陣即可。以下我們從高等代數(shù)和數(shù)學分析的兩種角度分別考慮。

根據(jù)T，S均為正交矩陣，通過觀察A的特征值我們不妨假設(shè)di=li2，i=1，2，…，n。

高等代數(shù)方法：將A，B，C看做是n維歐式空間上的線性變換。設(shè)λ0為A的特征值，Vλ0為所對應(yīng)的特征子空間，因此注意到AB=BA，AC=CA，可得Vλ0為B，C的不變子空間。記則易得B1，C1依然正定，并且，其中E為對應(yīng)Vλ0上的單位矩陣，所以得到B1=C1。而A可以對角化，其所有特征子空間的基可組成整個線性空間的一組基，從而存在一組基使得B，C在其上作用相同，因此B=C。

數(shù)學分析方法：Stone-Weierstrass定理定義為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可用多項式級數(shù)一致逼近和閉區(qū)間上周期為2π的連續(xù)函數(shù)可用三角函數(shù)級數(shù)一致逼近。

所以根據(jù)Stone-Weierstrass定理，存在一列實系數(shù)多項式

根據(jù)（1），（2）可得

進而對任意實系數(shù)多項式f（x）我們有

在上式中分別用fk替換f，并令k→+∞，我們可得B=C。證畢。

然而取一組多項式進行逼近是數(shù)學分析里的常規(guī)思路，事實上在代數(shù)的思想中，處理有限個數(shù)，通過范德蒙行列式表明，是存在一個具體的多項式G，使得i=1，2，…，n。因此，除了數(shù)學分析中的逼近思想以外，代數(shù)中取具體的多項式也可以得到一樣的結(jié)果。

對于代數(shù)中常用的克拉默法則，如果線性方程組

的系數(shù)矩陣A的行列式，即系數(shù)行列式d=|A|≠0，那么該線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以通過系數(shù)表為，其中dj是把矩陣A中第j列換成方程組的常數(shù)項b1，b2，…，bn所成的矩陣的行列式。在[1]中有習題，設(shè)a1，a2，a3，…，an是數(shù)域P中互不相同的數(shù)，b1，b2，b3，…，bn是數(shù)域P中任一組給定的數(shù)，那么用克拉默法則可以證明，存在唯一的數(shù)域P上的多項式f（x）=c0x（n-1）+c1x（n-2）+c2x（n-3）+…+cn-1，使f（ai）=bi，i=1，2，…，n。

以下我們再給出一個利用數(shù)學分析技巧快速解題的例子。

例題2.2：假設(shè)A是n階<實對稱矩陣。如果存在兩個n維實向量X1，X2使得X1tAX1<0，X2tAX2>0，則存在非零的n維實向量X0使得X0tAX0=0 。

該例子為[2]中一個習題，在代數(shù)方法中我們一般會通過分別說明A的正慣性指數(shù)與負慣性指數(shù)都為正數(shù)，繼而構(gòu)造相應(yīng)的X0，我們以下提供一個數(shù)學分析中應(yīng)用介值定理的簡易證明。

首先易見X1，X2線性無關(guān)，我們構(gòu)造函數(shù)

f(t）=((1-t）X1+tX2)′A((1-t）X1+tX2)，t∈ [0,1]。

根據(jù)已知f(0)<0，f(1)>0且f(t）在[0,1]上連續(xù)，根據(jù)介值定理，存在t0∈(0,1)使得f(t0）=0。取X0=(1-t0)X1+t0X2，根據(jù)X1，X2線性無關(guān)，可得X0為非零的n維實向量且滿足題目要求。證畢。

我們繼續(xù)通過一個例子來說明代數(shù)與分析對于對象的結(jié)構(gòu)刻畫的不同。

例題2.3：假設(shè)A是n階實對稱矩陣，則存在c>0使得A+cE為正定矩陣。

證明：由于A是n階實對稱矩陣，所以顯然對任意c>0，A+cE仍然為實對稱矩陣。我們從特征值和所對應(yīng)二次型的正定型兩個角度來進行刻畫。

高等代數(shù)方法：因為A是n階實對稱矩陣，所以它最多具有n個特征值均為實數(shù)，故存在c>0，使得對任意A的特征值λ，有λ+c>0。注意到λ為A的特征值當且僅當λ+c為A+cE的特征值。故A+cE的特征值全為正數(shù)，因此A+cE為正定矩陣。證畢。

數(shù)學分析方法：對任意n維實列向量x=(x1,x2,…,xn)t∈Rn，定義其長度為。易見映射x→xtAx為Rn→R的連續(xù)映射，則該映射在有界閉集上有界。記。故對任意非零n維實列向量。因此A+cE為正定矩陣。證畢。

二、結(jié)語

高等代數(shù)與數(shù)學分析雖為數(shù)學專業(yè)的兩門基礎(chǔ)課，但是這兩門課卻貫穿整個大學期間的數(shù)學學習，所以不僅僅要學好這兩門課，更重要的是理解兩者的區(qū)別與聯(lián)系，對待不同的題目靈活使用最恰當?shù)姆椒?。對于兩者的區(qū)別，前者研究出發(fā)點是基、變換與空間構(gòu)造等；而后者研究的出發(fā)點是連續(xù)、極限、可導(dǎo)可積，以及各種數(shù)學變換等等。所以高等代數(shù)從整個空間著手；而數(shù)學分析更多研究的是空間內(nèi)部元素的數(shù)理關(guān)系，元素是連續(xù)還是離散的，其變化率是否有某種規(guī)律，是否可求面積體積等。當然萬變不離其宗，我們不要將兩門課割裂了再學習，它們只是從不同的角度來看待數(shù)學的世界。高等代數(shù)關(guān)于空間的深刻研究，通過基和運算法則構(gòu)造空間，同時可通過基的變換從不同的角度來描述空間，這正好對應(yīng)了數(shù)學分析中各種的變換技巧。數(shù)學分析中所謂的技巧在高等代數(shù)的角度看來本質(zhì)都是基的變換，只有對應(yīng)不同的問題情境下采取最合適的一種技巧。

在解題過程中可以發(fā)現(xiàn)，利用分析的技巧可以解決代數(shù)的問題，而代數(shù)的方法比較能呈現(xiàn)出直觀的代數(shù)結(jié)構(gòu)，雖然分析方法在一些時候比較難以刻畫問題的結(jié)構(gòu)，但是通過局部的刻畫，有時也能給出一些較為令人意外的結(jié)果。所以數(shù)學專業(yè)的學生無論面對哪門學科的題目，都應(yīng)該學會從不同的角度看待問題，而不是拘泥于某一學科的固定的思路和方法。