李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

一、題目呈現(xiàn)

二、分析解答

分析本題從表象看考查解斜三角形，一般綜合需要應(yīng)用正弦定理、余弦定理、面積公式、三角公式等知識作答.但是從考試統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)此題得分率很低，僅0.12，是什么原因造成的呢？深入研究才發(fā)現(xiàn)，解答本題不能走套路，它必須以平面向量為背景的中線性質(zhì)為突破口，否則解答難以推進.沒有角B的對邊AC的數(shù)據(jù)，正、余弦定理無法派上用場.

評注本題在曾經(jīng)的解斜三角形的高考題、?？碱}基礎(chǔ)上進行了創(chuàng)新，巧妙地將平面向量融入題中，體現(xiàn)了平面向量的工具性.本題將正、余弦定理進行了靈活考查，具有很好的復(fù)習(xí)教學(xué)價值，深入探究可以鞏固解斜三角形的方方面面知識，總結(jié)提升解題方法，形成解題技能，達到觸類旁通的效果，避免題海戰(zhàn)術(shù)給復(fù)習(xí)帶來的繁重負擔(dān).

三、變式探究

解斜三角形作為每年高考必考的內(nèi)容，非常重要，往往依托于三角形及其內(nèi)部的一些邊角關(guān)系，就三角函數(shù)、正弦定理、余弦定理、射影定理、面積、周長、相關(guān)圓的半徑等進行考查，往往有一定的區(qū)分度，變式研究非常必要.

評注本題與原題而言，本質(zhì)是一樣的，但是中線的向量性質(zhì)應(yīng)用更具有隱蔽性.學(xué)生思維受阻的可能性增加，必須等價轉(zhuǎn)化為原題.

評注求面積有較強的提示性，將問題等價轉(zhuǎn)化為求邊BC.培養(yǎng)學(xué)生解題的目標意識，以及公式的合理選擇.

評注求三角形內(nèi)切圓半徑須用到等積法，自然要尋找三邊之長，同樣能實現(xiàn)考查意圖，主干知識得到檢測.

評注求三角形外接圓半徑與原題的難度相當(dāng)，僅需再向前一步，應(yīng)用正弦定理中的比值常數(shù)作答.

解在△ABD中,

(為節(jié)省篇幅，以下變式不再作答)

評注以上八種變式，借助三角形的角平分線或高線，復(fù)習(xí)了三角函數(shù)的定義式、正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、和差角公式、誘導(dǎo)公式、面積公式.考查的知識點沒有變，但是問題顯得新穎，能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高實戰(zhàn)中的應(yīng)變能力.

四、教學(xué)反思

1.梳理三角形中的一些重要向量關(guān)系

本題深刻反映了平面向量的工具性.平面向量能將代數(shù)和幾何聯(lián)系起來，通過向量運算還能反應(yīng)幾何位置關(guān)系，如：平行、垂直、中點等.關(guān)鍵問題是學(xué)生不明白三角形中平面向量關(guān)系式的幾何含義，反之也不完全清楚如何用平面向量表達三角形中一些特殊位置關(guān)系.正如此題，學(xué)生不知道如何應(yīng)用條件“中線AD”.鑒于此，我們有必要梳理一下三角形中的重要的知識.

2.深刻認識一題多變

一題多變重點在于對某個問題進行多層次、多角度、多方位的探索.一題多變對培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維有極大地幫助,是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的重要手段.當(dāng)然，恰當(dāng)與否的一題多變，在教學(xué)中當(dāng)然起著不同的作用.

設(shè)計一題多變首先應(yīng)該體現(xiàn)數(shù)學(xué)的遞進性.對教材的題目進行了大膽的組合和拓廣，由易到難，由數(shù)字到字母，由具體到抽象，這恰恰是學(xué)生應(yīng)掌握的重點和難點.一題多變不僅鍛煉了學(xué)生用類比的方法去思考和學(xué)習(xí)，而且促進學(xué)生對解決問題的思路理解得更為透徹.每一變都應(yīng)體現(xiàn)層層遞進，步步深入，環(huán)環(huán)相扣的密切聯(lián)系.

數(shù)學(xué)中的一題多變設(shè)計還應(yīng)體現(xiàn)知識的一定規(guī)律和一定的關(guān)聯(lián)，便于學(xué)生解題時思維的連貫.用題目的相近性、相關(guān)性培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，了解數(shù)學(xué)從簡單到復(fù)雜，從一般到特殊的探索規(guī)律.再用不同的思路去分析，不僅使得學(xué)生對思考的問題由淺入深，而且極大的鍛煉學(xué)生類推能力和梳理思路歸納的能力.設(shè)計時還應(yīng)該注意盡可能不多給信息，不要讓學(xué)生感覺到題目在堆砌拼湊.多用簡單明了的符號或者圖形，讓學(xué)生可以從不同的角度去審題，找到自己認為有用的信息來解決問題.設(shè)計時還有很重要的一點，就是應(yīng)該能夠體現(xiàn)命題的前瞻性.

落實“一題多變”，可以對題目的“條件”“結(jié)論”“條件與結(jié)論”之間的關(guān)系進行聯(lián)想、類比、推廣，進而得到一系列新的題目，甚至得到一般性的結(jié)論.在這個過程中，學(xué)生會逐步把握題目的本質(zhì).這樣可以起到“做好一題，帶活一片”的效果.