王語凡

(廣東工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，廣州 510006)

0 引言

盲信號(hào)分離(Blind Source Separation)是指源信號(hào)以及混合方式都無法獲知的情況下，僅依據(jù)接收端收到的觀測(cè)信號(hào)來估計(jì)各個(gè)源信號(hào)。近年來，盲信號(hào)分離在信號(hào)處理、數(shù)據(jù)挖掘、計(jì)算機(jī)視覺、語音恢復(fù)和機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-2]，是當(dāng)前研究熱點(diǎn)。

針對(duì)不同的混合方式和特性源信號(hào)，盲信號(hào)分離有很多不同的方法，如獨(dú)立成分分析[3](Independent Component Analysis， ICA)、稀疏成分分析[4](Sparse Component Analysis，SCA)以及卷積盲分離[5]。卷積混合模型相比較線性瞬時(shí)混合模型更能接近現(xiàn)實(shí)生活中信號(hào)的混合，因?yàn)樵撃Ｐ筒粌H考慮當(dāng)前時(shí)刻輸入信號(hào)的混合狀態(tài)，也會(huì)同時(shí)考慮由于時(shí)間延遲等干擾而未被計(jì)算的之前時(shí)刻的輸入信號(hào)及該信號(hào)的反射波。此外，線性瞬時(shí)混合模型在運(yùn)算過程中只考慮零均值信號(hào)，而現(xiàn)實(shí)生活中絕大多數(shù)信號(hào)具有非平穩(wěn)性，源信號(hào)會(huì)隨時(shí)間的變化而變化，因此研究非平穩(wěn)信號(hào)在卷積混合情況下的盲分離算法，顯然具有很重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

為了解決這個(gè)問題，Weinstein[6]提出利用非平穩(wěn)源信號(hào)的一組二階統(tǒng)計(jì)量來確定唯一的混合矩陣。Yellin[7]提出利用高階統(tǒng)計(jì)量可以更精確地確定混合矩陣，但這些算法為時(shí)域算法，計(jì)算復(fù)雜度較高。Smaragdis[8]提出用頻域算法，但該算法并未充分利用信號(hào)的非平穩(wěn)性。本研究提出一種頻域上類雅克比旋轉(zhuǎn)的張量分解算法來提高源信號(hào)的分離性能。利用信號(hào)的自相關(guān)矩陣在每個(gè)頻點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)張量，并對(duì)這些張量做聯(lián)合對(duì)角化。該算法的計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較低，且穩(wěn)定性和計(jì)算精度相對(duì)于同類批處理算法較高。

1 問題描述

考慮在一個(gè)混響環(huán)境下共有N個(gè)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的信號(hào)源和M個(gè)信號(hào)接收端，卷積混合模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(1)

其中，x(t)=[x1(t),…,xM(t)]T是觀測(cè)信號(hào)，s(t)=[s1(t),…,sN(t)]T是源信號(hào)，A∈PM×N是未知混合矩陣，l是時(shí)間延遲，L是混合模型的混合通道階數(shù)，v(t)=[v1(t),…,vM(t)]T是噪音信號(hào)。

然后，對(duì)該模型做短時(shí)傅里葉變換，將復(fù)雜的卷積模型轉(zhuǎn)換成頻域上的線性混疊模型，公式(1)可表示為：

xfp=Afsfp

(2)

其中，p=1,2,…P代表時(shí)間窗的編號(hào)，f=1,2,…F代表短時(shí)傅里葉變換的頻點(diǎn)數(shù)，而xfn=[x1,fp,…xM,fp]T、sfn=[s1,fp,…sN,fp]分別是觀測(cè)信號(hào)x(t)=[x1(t),…,xM(t)]T和源信號(hào)s(t)=[s1(t),…,sN(t)]T的傅里葉變換。本研究的目的是通過已知的觀測(cè)信號(hào)xfn=[x1,fp,…xM,fp]T，求解未知的混合矩陣Af和源信號(hào)s(t)=[s1(t),…,sN(t)]T。考慮到源信號(hào)為非平穩(wěn)信號(hào)，本研究將利用信號(hào)的短時(shí)平穩(wěn)性來處理混合信號(hào)，并對(duì)自相關(guān)矩陣構(gòu)成的張量做聯(lián)合對(duì)角化。

2 算法原理

觀測(cè)信號(hào)的自相關(guān)矩陣Rx(f,q)∈CM×N表示如下：

(3)

其中Rs(f,q)=E[s(f,q)sH(f,q)]是源信號(hào)的自相關(guān)矩陣。為推導(dǎo)方便，在接下來的表述中省略噪音項(xiàng)，留到仿真部分討論。則狀態(tài)協(xié)方差矩陣可表示為：

(4)

構(gòu)造三階張量X(f)∈CM×M×Q，X[f](:,:,q)=Rx(f,q)，則張量X[f]的對(duì)角化表示為：

(5)

其中D[f]∈CM×M×NM×M×M為對(duì)角張量，是S(f)的估計(jì)，為了方便運(yùn)算和表述，引入新的張量T：

T[f]=X[f]×1B[1]×2B[2]×3B[3]

(6)

在實(shí)際應(yīng)用中，考慮到觀測(cè)誤差和噪聲的存在，張量對(duì)角化基本不可能精準(zhǔn)地完成，只能盡可能地近似。為衡量對(duì)角化的精確程度，構(gòu)造代價(jià)函數(shù)：

×2B[2]×3B[3]}‖2,l=1,2,3

(7)

其中，ZTdiag(·)代表構(gòu)建的零對(duì)角張量，即對(duì)角線上元素為零的張量，因此最小化代價(jià)函數(shù)J(B[l])等價(jià)于最小化所有張量非對(duì)角元素的平方和。考慮到式(6)，如果矩陣B[l],l=1,2,3是正交矩陣或酉矩陣，則‖T[f]‖=‖X[f]‖，最小化式(7)等價(jià)于最大化張量T[f]所有對(duì)角線上元素的平方和，即盡可能使張量T[f]對(duì)角化。

根據(jù)文獻(xiàn)[9-10]的思想，矩陣B[l],l=1,2,3的更新規(guī)則如下：

B[l](t+1)=(I+V[l](t))B[l](t)

l=1,2,3

(8)

其中I∈RM×M為單位矩陣，B[l](0),l=1,2,3是初始狀態(tài)，t∈N是迭代次數(shù)，V[l](t)∈CM×M,l=1,2,3是對(duì)角線上元素均為0的更新矩陣，即diag(V[l](t))=0，l=1,2,3。這樣做的目的是在多次迭代中保持轉(zhuǎn)換矩陣B[l](t),l=1,2,3的非奇異性。

通過式(6)可知：

T[f](0)=X[f]×1B[1](0)×2B[2](0)×3B[3](0)

(9)

因此，顯而易見有：

T[f](t+1)=X[f]×1B[1](t+1)×2B[2](t+1)×3B[3](t+1)=X[f]×1(I+V[1](t))B[1](t)×2(I+V[2](t))B[2](t)×3(I+V[3](t))B[3](t)=T[f](t)×1(I+V[1](t))×2(I+V[2](t))×3(I+V[3](t))

(10)

不斷更新式(10)，求解最小化J(B[l])的問題，直到收斂。

考慮到Jacob算法的原理，定義類Givens矩陣的特殊參數(shù)結(jié)構(gòu)Vi,j[l][11]，其中Vi,j[l](t),l=1,2,3為僅在(i,j)和(j,i)兩個(gè)位置有非零元素的更新矩陣，即：

l=1,2,3

(11)

(12)

其中：

(13)

由[12]可知，對(duì)于張量在不同模上與矩陣相乘時(shí)，乘法計(jì)算的順序不影響最后的結(jié)果，即：

X×nB[n]×mB[m]=X×mB[m]×nB[n]

(14)

因此將式(12)的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為最小化3個(gè)子問題：

l=1,2,3

(15)

(16)

因此式(15)等價(jià)于：

(17)

將(16)帶入(17)，有：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

所以(20)可以表述為：

(23)

(24)

所以式(21)、(22)可表示為：

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

為了更加一目了然地展現(xiàn)研究算法，算法總結(jié)如表1所示。

表1 基于張量聯(lián)合對(duì)角化的非平穩(wěn)源卷積盲分離算法Tab.1 Convolutive blind separation algorithm of nonstationary sources based on joint tensor diagonalization

本研究算法每 sweep 1次，即迭代1次的復(fù)雜度為O(fM2Q)，與CP分解的運(yùn)算復(fù)雜度相同，和其他主流批量處理的運(yùn)算復(fù)雜度基本相似。

3 仿真結(jié)果

本節(jié)將通過3組實(shí)驗(yàn)展示研究所提出的張量對(duì)角化算法(Tensor Diagonalization, TD)的性能。所有源信號(hào)均來自網(wǎng)站http://www.openslr.org/28/(1個(gè)包含模擬和真實(shí)房間脈沖響應(yīng)，各向同性和點(diǎn)源噪聲的數(shù)據(jù)庫)。該數(shù)據(jù)庫中的音頻文件均為16k采樣率和16位精度，聲音時(shí)長(zhǎng)為17 s。

3.1 實(shí)際聲音信號(hào)的盲分離

為了檢測(cè)該算法的有效性，對(duì)不同的混合語音進(jìn)行了卷積盲分離。限于篇幅，以下只列出1組語音分離結(jié)果。語音信號(hào)均來自上述數(shù)據(jù)集，且所有信號(hào)均為真實(shí)語音信號(hào)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該算法具有較好的分離性能。從實(shí)驗(yàn)中所用測(cè)試數(shù)據(jù)的原始信號(hào)與分離信號(hào)的圖像觀察可知，該算法分離效果良好，但是有一定的幅值變化。此外，還通過 sound 命令對(duì)混合信號(hào)和分離信號(hào)分別試聽，并和源信號(hào)作對(duì)比，發(fā)現(xiàn)分離信號(hào)的分離效果確實(shí)良好，混合信號(hào)混合得非常均勻，很難聽出混合前的音源，而分離信號(hào)的聲音與源信號(hào)相似，與混合信號(hào)比，聲音的清晰度有了很大的提升。

3.2 BSS性能比較

該仿真中將采用三種算法(JD、CP-ALS、CBSS，其中CBSS為對(duì)頻域信號(hào)采用ICA)應(yīng)用于處理卷積信號(hào)分離問題。

信號(hào)構(gòu)造如式31所示：

(31)

其中，n(t)為噪聲信號(hào)，在本次仿真中，n(t)為高斯白噪聲。

信噪比的定義如下：

SNR=10log(σs/σn)

(32)

在該仿真中，使用J-ISI(joint inter-symble-interference)[13]評(píng)估算法精度和解亂序等性能的性能指標(biāo)，J-ISI定義：

(33)

本實(shí)驗(yàn)中，仿真參數(shù)設(shè)置如下：STFT點(diǎn)數(shù)選擇1024點(diǎn)，采用sine窗，每次移動(dòng)半個(gè)窗長(zhǎng)，噪聲系數(shù)σn=0.01，信噪比取值范圍0～15dB，100次獨(dú)立運(yùn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

由圖2可知，參與比較的三種算法(TD、CP-ALS和CBSS)在J-ISI性能上相接近，但TD算法在數(shù)據(jù)上要優(yōu)于其他兩種算法，從而說明了TD算法具有較好的算法精度，排列歧義也較少。

3.3 實(shí)際語音信號(hào)的盲分離

在本實(shí)驗(yàn)中，比較TD、CP-ALS和CBSS 3種算法在頻域分離語音信號(hào)的結(jié)果。

對(duì)于卷積混合語音的分離效果，仿真實(shí)驗(yàn)采用Vicent. E[14]等設(shè)計(jì)的盲源分離工具箱(blind source separation evaluation，BSS_EVAL)。工具箱的使用前提是每一個(gè)源信號(hào)和噪聲信號(hào)之間相互獨(dú)立。

其中，starget表示估計(jì)信號(hào)中屬于源信號(hào)的部分，einterf表示由混合信號(hào)中其他源信號(hào)造成的估計(jì)誤差，即估計(jì)信號(hào)中屬于混合信號(hào)但不屬于所分離源信號(hào)的部分，enoise表示觀測(cè)信號(hào)中的觀測(cè)誤差和噪聲干擾，eartif表示算法本身所產(chǎn)生的噪聲和誤差。

基于以上參數(shù)，該評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)給出了3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)：源---干擾比(Source-to- Interferences Ratio, SIR)，源---失真比(Source-to-Distotion Ratio, SDR)和源---人造成分比(Source-to-Artifact Ratio, SAR)。作為語音分離系統(tǒng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)，這3個(gè)指標(biāo)可以很好地從算法的分離效果、不同源信號(hào)之間的干擾程度、噪聲干擾程度等方面較為全面地評(píng)價(jià)算法的分離性能。

3個(gè)參數(shù)的表達(dá)式可分別表示如下：

顯然，SIR、SDR、SAR的值越高，表示算法的分離效果越好。

本實(shí)驗(yàn)中，仿真參數(shù)設(shè)置如下：STFT點(diǎn)數(shù)選擇1024點(diǎn)，采用sine窗，每次移動(dòng)半個(gè)窗長(zhǎng)，經(jīng)過BSS算法分離出的語音信號(hào)，通過反傅里葉變換從頻域變換到時(shí)間域，100次獨(dú)立運(yùn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 實(shí)際語音信號(hào)的仿真盲分離Tab.2 Simulation blind separation of actual speech signal

由表2可知，在卷積混合語音信號(hào)的分離效果上，相較于其他3種算法，TD算法的3個(gè)性能指標(biāo)皆高于其他算法，因此TD算法能夠很好地分離出混合的3個(gè)語音信號(hào)。

4 結(jié)論

本研究提出一種類雅克比旋轉(zhuǎn)的張量分解算法來提高源信號(hào)的分離性能。首先利用信號(hào)的自相關(guān)矩陣構(gòu)造一系列張量，將盲信號(hào)分離問題轉(zhuǎn)化為張量對(duì)角化問題，然后提出一種特殊參數(shù)結(jié)構(gòu)代替Givens矩陣做類似雅可比連續(xù)旋轉(zhuǎn)，將張量聯(lián)合對(duì)角化問題化解為一系列對(duì)特殊參數(shù)矩陣的子優(yōu)化問題，對(duì)每一個(gè)子優(yōu)化問題求閉式解，并通過閉式解估計(jì)對(duì)角矩陣，完成張量對(duì)角化，并求解了算法中參數(shù)的最優(yōu)解。實(shí)驗(yàn)結(jié)果揭示了本研究算法在分離卷積語音信號(hào)時(shí)有著良好的性能，且該算法相較于直接對(duì)矩陣進(jìn)行CP分解和常用的CBSS算法而言，在精度及解亂序能力等方面具有較好的分離性能。