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        圓錐曲線又一統(tǒng)一性質(zhì)

        2020-08-18 06:12:28陳彥
        關(guān)鍵詞:圓錐曲線對稱軸定點(diǎn)

        【摘 要】本文以解析法探討了圓錐曲線對稱軸上任一定點(diǎn)到它的最近點(diǎn)的位置,并且為得到統(tǒng)一的解析式,引入了圓錐曲線頂點(diǎn)的曲率中心知識(shí),用該中心對對稱軸上的定點(diǎn)進(jìn)行分類討論,并以統(tǒng)一的圓錐曲線直角坐標(biāo)方程來求解,從而求得這個(gè)最近點(diǎn),得出圓錐曲線的又一統(tǒng)一性質(zhì)。?

        【關(guān)鍵詞】圓錐曲線;對稱軸;定點(diǎn);統(tǒng)一性質(zhì)

        【中圖分類號(hào)】G712 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ?【文章編號(hào)】1671-8437(2020)16-0064-02

        在高中數(shù)學(xué)中,解析幾何占有很重要的地位,其中圓錐曲線部分的知識(shí)也是高考必考的內(nèi)容。圓錐曲線包含了橢圓(圓)、拋物線及雙曲線。目前高中教材及一些文獻(xiàn)已介紹了許多關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì),本文將介紹圓錐曲線的另一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)。

        1 ? 問題的提出

        在教學(xué)實(shí)踐中,筆者碰到一個(gè)學(xué)生容易出錯(cuò)的問題:如圖1,已知圓錐曲線C,點(diǎn)B是對稱軸所在直線上的任一定點(diǎn),試在C上求一點(diǎn)A,使得A、B兩點(diǎn)的距離最小。

        有部分學(xué)生想當(dāng)然地回答:頂點(diǎn)M便是所求的最近點(diǎn)。其實(shí)不盡然,那么這個(gè)最近點(diǎn)A與何因素有關(guān)、在何位置呢?結(jié)論是與圓錐曲線C的頂點(diǎn)M的曲率有關(guān)。為推導(dǎo)出點(diǎn)A在C上的確切位置,需對定點(diǎn)B進(jìn)行分類討論,并需要有以下知識(shí)儲(chǔ)備,如統(tǒng)一公式。圓錐曲線的頂點(diǎn)曲率半徑為,其中為離心率,為焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離(橢圓上的頂點(diǎn)指長軸上的頂點(diǎn))。

        即所求的最近點(diǎn)A在以為圓心,以為半徑的定圓上。至此,點(diǎn)A的位置就是圓錐曲線C自身與定圓E的交點(diǎn)。

        回顧以上關(guān)于求圓錐曲線對稱軸上任一定點(diǎn)到它的最近點(diǎn)位置的問題,引入了頂點(diǎn)的曲率中心,對該定點(diǎn)進(jìn)行分類討論,并以統(tǒng)一的圓錐曲線直角坐標(biāo)方程來求解,從而求得最近點(diǎn)的位置且總結(jié)出了圓錐曲線如下的又一統(tǒng)一性質(zhì):①當(dāng)所給定點(diǎn)與圓錐曲線頂點(diǎn)分居在頂點(diǎn)的曲率中心同側(cè)(定點(diǎn)也可取曲率中心)時(shí),最近點(diǎn)為圓錐曲線頂點(diǎn);②當(dāng)所給定點(diǎn)與圓錐曲線頂點(diǎn)分居在頂點(diǎn)的曲率中心異側(cè)時(shí),最近點(diǎn)為圓錐曲線自身與一定圓(圓心為圓錐曲線頂點(diǎn)的曲率中心與定點(diǎn)的中點(diǎn),半徑為該中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離)的交點(diǎn)。

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.平面解析幾何(全一冊)[M].北京:人民教育出版社,2000.

        [2]白富志.高等數(shù)學(xué)(第2版)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1998.

        【作者簡介】

        陳彥(1962~),男,漢族,廣東汕頭人,汕頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院自然科學(xué)系副教授,碩士。研究方向:應(yīng)用數(shù)學(xué)。

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