【摘 要】本文以解析法探討了圓錐曲線對稱軸上任一定點(diǎn)到它的最近點(diǎn)的位置，并且為得到統(tǒng)一的解析式，引入了圓錐曲線頂點(diǎn)的曲率中心知識，用該中心對對稱軸上的定點(diǎn)進(jìn)行分類討論，并以統(tǒng)一的圓錐曲線直角坐標(biāo)方程來求解，從而求得這個最近點(diǎn)，得出圓錐曲線的又一統(tǒng)一性質(zhì)。?

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線;對稱軸;定點(diǎn);統(tǒng)一性質(zhì)

【中圖分類號】G712 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2020）16-0064-02

在高中數(shù)學(xué)中，解析幾何占有很重要的地位，其中圓錐曲線部分的知識也是高考必考的內(nèi)容。圓錐曲線包含了橢圓（圓）、拋物線及雙曲線。目前高中教材及一些文獻(xiàn)已介紹了許多關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì)，本文將介紹圓錐曲線的另一個統(tǒng)一性質(zhì)。

1 ? 問題的提出

在教學(xué)實(shí)踐中，筆者碰到一個學(xué)生容易出錯的問題：如圖1，已知圓錐曲線C，點(diǎn)B是對稱軸所在直線上的任一定點(diǎn)，試在C上求一點(diǎn)A，使得A、B兩點(diǎn)的距離最小。

有部分學(xué)生想當(dāng)然地回答：頂點(diǎn)M便是所求的最近點(diǎn)。其實(shí)不盡然，那么這個最近點(diǎn)A與何因素有關(guān)、在何位置呢？結(jié)論是與圓錐曲線C的頂點(diǎn)M的曲率有關(guān)。為推導(dǎo)出點(diǎn)A在C上的確切位置，需對定點(diǎn)B進(jìn)行分類討論，并需要有以下知識儲備，如統(tǒng)一公式。圓錐曲線的頂點(diǎn)曲率半徑為，其中為離心率，為焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離（橢圓上的頂點(diǎn)指長軸上的頂點(diǎn)）。

即所求的最近點(diǎn)A在以為圓心，以為半徑的定圓上。至此，點(diǎn)A的位置就是圓錐曲線C自身與定圓E的交點(diǎn)。

回顧以上關(guān)于求圓錐曲線對稱軸上任一定點(diǎn)到它的最近點(diǎn)位置的問題，引入了頂點(diǎn)的曲率中心，對該定點(diǎn)進(jìn)行分類討論，并以統(tǒng)一的圓錐曲線直角坐標(biāo)方程來求解，從而求得最近點(diǎn)的位置且總結(jié)出了圓錐曲線如下的又一統(tǒng)一性質(zhì)：①當(dāng)所給定點(diǎn)與圓錐曲線頂點(diǎn)分居在頂點(diǎn)的曲率中心同側(cè)（定點(diǎn)也可取曲率中心）時，最近點(diǎn)為圓錐曲線頂點(diǎn);②當(dāng)所給定點(diǎn)與圓錐曲線頂點(diǎn)分居在頂點(diǎn)的曲率中心異側(cè)時，最近點(diǎn)為圓錐曲線自身與一定圓（圓心為圓錐曲線頂點(diǎn)的曲率中心與定點(diǎn)的中點(diǎn)，半徑為該中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離）的交點(diǎn)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.平面解析幾何（全一冊）[M].北京：人民教育出版社，2000.

[2]白富志.高等數(shù)學(xué)（第2版）[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1998.

【作者簡介】

陳彥（1962～），男，漢族，廣東汕頭人，汕頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院自然科學(xué)系副教授，碩士。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。