張建宇 段建龍

[摘要]針對(duì)傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法存在收斂精度不高和算法容易陷入局部最優(yōu)等問題，提出一種差分進(jìn)化（Differential Evolution， DE）算法的改進(jìn)方案，并用于機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)。首先，利用Newton-Euler方法建立含有關(guān)節(jié)摩擦特性的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的線性形式，設(shè)計(jì)嚴(yán)格滿足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)條件的傅里葉級(jí)數(shù)作為運(yùn)動(dòng)軌跡，為提高辨識(shí)精度，建立機(jī)器人觀測(cè)矩陣條件數(shù)的非線性約束模型來優(yōu)化激勵(lì)軌跡;其次，引入DE算法并對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化以提高算法的全局搜索能力和開發(fā)能力;最后，以智昌川崎RSOION機(jī)器人為對(duì)象設(shè)計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)的辮識(shí)，并對(duì)辮識(shí)結(jié)果與理論值進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果表明，采用改進(jìn)的差分進(jìn)化算法，可以準(zhǔn)確地辨識(shí)出機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)，所建立的模型能夠反映機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)特性。

[關(guān)鍵詞]參數(shù)辨識(shí);差分進(jìn)化算法;Newton-Euler法;動(dòng)力學(xué)參數(shù)

[中圖分類號(hào)]TP242 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A [文章編號(hào)]1005-0310（2020）01-0048-09

0 引言

20世紀(jì)以來科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展致使越來越多的科學(xué)家投人到機(jī)器人的研究與開發(fā)當(dāng)中。早期的機(jī)器人因軟硬件方面的不足，導(dǎo)致人們?cè)谶M(jìn)行機(jī)器人控制時(shí)主要采用控制律簡(jiǎn)單、不考慮動(dòng)力學(xué)特性的“運(yùn)動(dòng)控制”方法。此方法控制精度較低，適用于對(duì)機(jī)器人精度要求不高的場(chǎng)合，但在控制高速、高精度機(jī)器人方面有兩個(gè)明顯的缺點(diǎn)：一是難以保證受控機(jī)器人具有良好的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)品質(zhì);二是需要較大的控制能量[1]。為滿足現(xiàn)今機(jī)器人復(fù)雜而高精度的動(dòng)作要求，大部分機(jī)器人的控制器都采用具有良好動(dòng)態(tài)和靜態(tài)品質(zhì)的“動(dòng)態(tài)控制”方法，此方法利用機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)特性設(shè)計(jì)更加精細(xì)的非線性控制律來實(shí)現(xiàn)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制[2]。因此，能夠準(zhǔn)確辨識(shí)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)參數(shù)，得到精確的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)實(shí)現(xiàn)機(jī)器人精確控制起著至關(guān)重要的作用。

機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)過程包括5個(gè)步驟：動(dòng)力學(xué)建模、激勵(lì)軌跡設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)采樣和濾波處理、參數(shù)辨識(shí)和模型驗(yàn)證。丁亞東等采用分步辨識(shí)的方法大大降低了辨識(shí)難度[3];Azeddien Kinsheel等提出一種基于最小二乘法的參數(shù)辨識(shí)方法，但因其計(jì)算量大、實(shí)時(shí)性差很難得到采用[4];Renders等提出一種逐步辨識(shí)機(jī)器人機(jī)械臂的質(zhì)量、質(zhì)心、慣性張量的方法，但辨識(shí)出的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)可靠性不高[5];丁力等提出一種用遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)的方法，但其算法本身編碼過程煩瑣，辨識(shí)效率不高[6];Poli R等提出的粒子群優(yōu)化算法雖然簡(jiǎn)單，但由于搜索空間有限，不能保證其達(dá)到全局最優(yōu)[7]。

差分進(jìn)化（Differential Evolution，DE）算法于1995年被Rainer Storn和Kenneth Price提出，是一種模擬自然界種群的以“優(yōu)勝劣汰，適者生存”為進(jìn)化規(guī)律的搜索算法，具有簡(jiǎn)單易用以及很強(qiáng)的全局收斂能力，目前已用于多個(gè)領(lǐng)域?，F(xiàn)有研究表明，該算法在處理多維、非線性的復(fù)雜函數(shù)方面明顯優(yōu)于遺傳算法、粒子群算法等智能算法，已成為各行業(yè)不可或缺的解決復(fù)雜問題的方法[8]。

為提高機(jī)器人參數(shù)辨識(shí)精度，本文提出一種基于改進(jìn)差分進(jìn)化算法的參數(shù)辨識(shí)方法，該方法可以動(dòng)態(tài)跟蹤算法當(dāng)前的搜索情況，以調(diào)整其搜索策略，增強(qiáng)搜索能力，提高收斂速度。通過使用智昌川崎RSO1ON機(jī)器人模型設(shè)計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了辨識(shí)算法的正確性和有效性。

1 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型

使用Euler-Lagrange方程和Newton-Euler方程都可以建立自由運(yùn)動(dòng)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程，但后一種方法常用于數(shù)值計(jì)算，而且方程具有遞推形式，其計(jì)算量比前一種要少得多，因此本文用Newton-Euler方程遞推得到n自由度機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程[9]：式中：τ_dyn是n×1的關(guān)節(jié)力矩向量;D（q）是n×n的慣性矩陣;C（q）是n×n的離心力和科里奧利向量;G（q）是n×1的重力向量;q、q、q分別表示n×1的位置向量、角速度向量和角加速度向量。

由式（1）可知機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程是通過連桿質(zhì)量、慣性張量等參數(shù)進(jìn)行定義的，要建立動(dòng)力學(xué)模型就必須要確定這些參數(shù)。但動(dòng)力學(xué)方程是個(gè)非線性方程，要確定這些參數(shù)比較困難，幸運(yùn)的是機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程在慣性參數(shù)方面是線性化的，存

但是，由于機(jī)器人各關(guān)節(jié)在運(yùn)動(dòng)過程中相互耦合以及機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)受到約束，實(shí)際上只有部分動(dòng)力學(xué)參數(shù)影響機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即實(shí)際相互獨(dú)立的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)少于10n個(gè)，這使得在用包含全部機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)的方程作參數(shù)辨識(shí)時(shí)，得到的動(dòng)力學(xué)參數(shù)是不準(zhǔn)確的。因此，尋找一個(gè)最小慣性參數(shù)集用來替代慣性參數(shù)向量從而簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)方程就顯得尤為重要。文獻(xiàn)[11]根據(jù)慣性參數(shù)重組法得到了用最小慣性參數(shù)表示的動(dòng)力學(xué)方程：

由方程（4）得到的包含最小慣性參數(shù)的動(dòng)力學(xué)方程適用于動(dòng)力學(xué)仿真，但并不適用于現(xiàn)實(shí)中的機(jī)器人，因?yàn)闄C(jī)器人在實(shí)際運(yùn)動(dòng)過程中還存在摩擦力做功的現(xiàn)象，并且電機(jī)轉(zhuǎn)子在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也需要消耗電機(jī)力矩。其中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在機(jī)器人出廠前已知，在建模時(shí)將其補(bǔ)償?shù)搅胤匠碳纯?。因此，?shí)際模型中只需考慮摩擦力的問題，機(jī)械臂摩擦模型是個(gè)非常復(fù)雜的非線性模型，很難進(jìn)行精確建模。目前比較常見的摩擦模型有Dahl模型、Stribeck模型和庫(kù)倫粘滯模型。綜合考慮辨識(shí)過程的復(fù)雜度、辨識(shí)精度等因素，本文選取只包含庫(kù)倫摩擦參數(shù)和粘滯摩擦參數(shù)的庫(kù)倫粘滯摩擦模型（12），即

由此可知，機(jī)器人剛體動(dòng)力學(xué)力矩和機(jī)器人摩擦力矩的可辨識(shí)參數(shù)僅與機(jī)器人角位移、角速度和角加速度有關(guān)。故由式（4）和式（5）可知機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型為

2 激勵(lì)軌跡的設(shè)計(jì)及優(yōu)化

為使參數(shù)辨識(shí)的精度不會(huì)因機(jī)器人建模誤差、環(huán)境噪聲等因素而受到影響，需要精心設(shè)計(jì)激勵(lì)軌跡。考慮到抗干擾能力、機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)約束等因素，本文選取數(shù)據(jù)處理方便、對(duì)干擾不靈敏、對(duì)機(jī)器人速度和加速度有良好約束的傅里葉級(jí)數(shù)作為激

將激勵(lì)軌跡導(dǎo)入到機(jī)器人進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)時(shí)，由于機(jī)器人自身各關(guān)節(jié)位置、角速度、角加速度極限值的限制，導(dǎo)致無法準(zhǔn)確獲得部分的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)參數(shù)，直接影響參數(shù)辨識(shí)的精度。為使辨識(shí)過程中能夠準(zhǔn)確估計(jì)動(dòng)力學(xué)參數(shù)，需要對(duì)激勵(lì)軌跡進(jìn)行優(yōu)化。目前激勵(lì)軌跡的優(yōu)化方法有協(xié)方差矩陣法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法等多種優(yōu)化方法，但大多數(shù)方法都以動(dòng)力學(xué)方程中觀測(cè)矩陣的條件數(shù)cond（Y）為優(yōu)化目標(biāo)。本文通過建立基于條件數(shù)的非線性約束模型來優(yōu)化激勵(lì)軌跡?；跅l件數(shù)的非線性約束模型可表述為

3 改進(jìn)差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法在處理多維、非線性的復(fù)雜函數(shù)方面明顯優(yōu)于遺傳算法、粒子群算法等智能算法，已成為各行業(yè)不可或缺的解決復(fù)雜問題的方法。本文在傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，并驗(yàn)證了改進(jìn)算法的收斂性和全局搜索能力。

3.1 標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法是基于群體智能理論的優(yōu)化算法，采用群體的全局搜索策略，其基本結(jié)構(gòu)與遺傳算法類似，主要包括變異、交叉和選擇3個(gè)部分。其基本思想由隨機(jī)產(chǎn)生的初始群體開始，通過變異和選擇操作產(chǎn)生新個(gè)體，然后通過比較新個(gè)體與此代中個(gè)體的適應(yīng)度值，淘汰劣質(zhì)個(gè)體，經(jīng)過不斷的迭代進(jìn)化使個(gè)體趨向于最優(yōu)解。標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法主要包括以下4個(gè)步驟。

3.1.1 生成初始群體

3.1.2 變異操作

變異策略為DE算法的核心部分，對(duì)目標(biāo)個(gè)體進(jìn)行擾動(dòng)來產(chǎn)生變異個(gè)體。在DE算法中目前廣泛使用的變異策略有兩種：

3.1.3 交叉操作

交叉操作是為了增加群體的多樣性，具體操作為

在滿足終止條件之前，反復(fù)執(zhí)行變異操作和選擇操作。

3.2 改進(jìn)差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法通過群體中個(gè)體間的合作和競(jìng)爭(zhēng)產(chǎn)生的群體智能來引導(dǎo)群體進(jìn)化。但是，由于種群間個(gè)體聚集，個(gè)體間相似度較高，導(dǎo)致算法在運(yùn)行過程中易陷入局部最優(yōu)、收斂速度較低的狀態(tài)[14]。針對(duì)該算法的不足之處，借助以往學(xué)者對(duì)DE算法的研究，本文對(duì)算法進(jìn)行了以下的改進(jìn)。

3.2.1 變異策略的改進(jìn)

差分進(jìn)化算法是全局搜索算法，因此在算法搜索初期需要盡可能多地在群體間進(jìn)行搜索，保證種群的多樣性，在算法后期應(yīng)快速找尋最優(yōu)個(gè)體，加快種群收斂速度。變異策略作為算法的核心部分，其變異向量的構(gòu)造形式直接關(guān)系到算法的尋優(yōu)效果。但常用的DE算法的變異策略如DE/rand/1/bin、DE/best/2/bin致使算法在不同時(shí)期具備不同的搜索能力和開發(fā)能力。針對(duì)此種情況，本文提出了一種雙策略變異算子，此變異算子可使DE算法在前期具備較強(qiáng)的搜索能力，在后期具備較強(qiáng)的收斂能力。變異算子的表達(dá)式為

3.2.2 交叉策略的改進(jìn)

交叉策略根據(jù)交叉因子決定遺傳給下一代的個(gè)體。Islam[15]為了提高算法的收斂精度，采用一種線性遞減機(jī)制，用當(dāng)代種群中隨機(jī)選取的個(gè)體代替父代個(gè)體。本文參照此方法，并使用文獻(xiàn)[16]提出的中心粒子群優(yōu)化算法中的當(dāng)代中心解取代父代個(gè)體。交叉策略優(yōu)化方法為

3.2.3 參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整

變異因子F和交叉因子CR可控制算法的種群多樣性，平衡局部與全局搜索能力。變異因子F的取值較大時(shí)，群體間差異度較大，算法易跳出局部極值但會(huì)減慢算法的收斂速度;當(dāng)變異因子F的取值較小時(shí)，算法因群體差異較小導(dǎo)致其不易跳出局部最優(yōu)。交叉因子CR過小會(huì)減小種群多樣性，使群體中的個(gè)體過早收斂;CR過大會(huì)提高算法收斂

3.3 改進(jìn)算法性能測(cè)試

為測(cè)試改進(jìn)差分進(jìn)化算法的收斂能力和全局搜索能力，采用3個(gè)常用的測(cè)試函數(shù)用以驗(yàn)證，并與其他優(yōu)化算法的測(cè)試結(jié)果進(jìn)行比對(duì)。測(cè)試函數(shù)如表1所示。

表1所示的測(cè)試函數(shù)中，f₁（x）只存在全局最優(yōu)解，因此該函數(shù)可以很好地測(cè)試算法的收斂速度;其他測(cè)試函數(shù)存在較多的局部最優(yōu)點(diǎn)，可以較好地測(cè)試算法的全局搜索能力。在算法參數(shù)設(shè)置中，種群規(guī)模M取為100，最大迭代次數(shù)R取為500，變異因子最大值和最小值分別取F_max=0.6、F_min=0.3，交叉因子最大值和最小值分別取CR_max=0.9、CR_min=0.6，維數(shù)D=30。表2和表3分別給出了3種算法對(duì)測(cè)試函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果和迭代次數(shù)。

表2的尋優(yōu)結(jié)果證實(shí)改進(jìn)DE算法不易陷入局部最優(yōu)，全局搜索能力強(qiáng);表3的數(shù)據(jù)表明，改進(jìn)DE算法的收斂能力明顯高于其他優(yōu)化算法。

4 參數(shù)辨識(shí)結(jié)果分析

機(jī)器人的參數(shù)辨識(shí)過程極其復(fù)雜，本文以智昌川崎RSOION機(jī)器人進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，機(jī)器人實(shí)體如圖1所示。圖2是其坐標(biāo)系配置。表4給出了DH參數(shù)（桿件長(zhǎng)度a_i定義為從Z_i-1軸到Z_i軸的距離，沿X_i軸的指向?yàn)檎?桿件扭角α_i定義為從Z_i-1軸到Z_i軸的轉(zhuǎn)角，繞X_i軸正向轉(zhuǎn)動(dòng)為正，且規(guī)定α_i∈（-π，π];關(guān)節(jié)距離d_i定義為從X_i-1軸到Z_i軸的距離，沿Z_i-1，軸的指向?yàn)檎?關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ_i定義為從X_i-1軸到Z_i軸的轉(zhuǎn)角，繞Z_i-1軸正向轉(zhuǎn)動(dòng)為正，且規(guī)定θ_i∈（-π，π]。表5給出了機(jī)械臂慣性參數(shù)理論值。由于典型6自由度工業(yè)機(jī)械臂的肘關(guān)節(jié)和腕關(guān)節(jié)慣性參數(shù)的差異性，前3個(gè)關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于后3個(gè)關(guān)節(jié)，因此在參數(shù)辨識(shí)時(shí)忽略后3個(gè)關(guān)節(jié)力矩的影響，只辨識(shí)前3個(gè)關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。

辨識(shí)過程分以下幾個(gè)過程完成：首先，建立智昌川崎RSOION機(jī)器人模型并將其線性化，此辨識(shí)試驗(yàn)只以仿真的形式進(jìn)行，故在建模時(shí)不需要考慮摩擦力的影響;其次，以動(dòng)力學(xué)方程中觀測(cè)矩陣的條件數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)設(shè)計(jì)激勵(lì)軌跡，使機(jī)器人沿激勵(lì)軌跡運(yùn)動(dòng);最后，采集機(jī)器人在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的各關(guān)節(jié)力矩?cái)?shù)據(jù)并將其代入優(yōu)化算法，便可得到機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。

按表6所示的機(jī)械臂前3個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件優(yōu)化激勵(lì)軌跡，其基頻為ω_f=0.1Hz（周期為10s），諧波項(xiàng)數(shù)目D=5，優(yōu)化得到激勵(lì)軌跡如圖3所示。由表4、表5給出的機(jī)器人DH參數(shù)和慣性參數(shù)，在Matlab/Simulink中建立智昌川崎RS010N機(jī)器人模型，圖4為模型的一部分。固定機(jī)器人4、5、6關(guān)節(jié)，并將圖3所示的激勵(lì)軌跡導(dǎo)入機(jī)器人模型，在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)各關(guān)節(jié)所受力矩情況如圖5所示。

將關(guān)節(jié)的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)導(dǎo)入差分進(jìn)化算法中可得到機(jī)器人前3個(gè)關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)，具體參數(shù)辨識(shí)流程如圖6所示。在參數(shù)辨識(shí)算法中，個(gè)體是通過相互比較其適應(yīng)度值來選擇進(jìn)化方向的，本文定義個(gè)體x_j^k的適應(yīng)度函數(shù)fit（x_j^k）為式中：N為采樣數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù);n為機(jī)器人的關(guān)節(jié)數(shù);τ_iμ為關(guān)節(jié)i的實(shí)際采樣力矩;τ_piμ為關(guān)節(jié)i的預(yù)測(cè)力矩;k_i∈（0，1）為機(jī)器人關(guān)節(jié)i的權(quán)重系數(shù)，其值可由出廠值獲得。算法迭代搜索的目標(biāo)是使適應(yīng)度函數(shù)達(dá)到最小，搜索空間可根據(jù)機(jī)器人出廠數(shù)據(jù)進(jìn)行設(shè)定。

因機(jī)器人前三軸的動(dòng)力學(xué)待辨識(shí)參數(shù)為21個(gè)，故改進(jìn)差分進(jìn)化算法中個(gè)體維度為21，根據(jù)機(jī)器人的出廠數(shù)據(jù)情況分析，機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)參數(shù)一般在-200～500之間取值，種群規(guī)模M取為100，最大迭代次數(shù)K取為100，變異因子最大值和最小值分別取F_max=0.6，F(xiàn)_min=0.3，交叉因子最大值和最小值分別取CR_max=0.9、CR_min=0.6。本算法從某一隨機(jī)產(chǎn)生的初始群體開始，通過個(gè)體不斷迭代進(jìn)化并最終趨向于最優(yōu)解。圖7為適應(yīng)度函數(shù)的優(yōu)化過程，由圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著迭代次數(shù)的增加，適應(yīng)度函數(shù)值逐漸降低，并且到第40代時(shí)適應(yīng)度函數(shù)值基本趨向穩(wěn)定，由此可以斷定個(gè)體在進(jìn)化過程中，沒有陷入局部最優(yōu)，通過比較適應(yīng)度函數(shù)值進(jìn)化得到的最優(yōu)個(gè)體，即為機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)待辨識(shí)參數(shù)。表7所示為機(jī)器人1、2、3關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)參數(shù)的理論值和辨識(shí)值。

表7對(duì)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)的理論值與辨識(shí)值進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)其每個(gè)參數(shù)的絕對(duì)誤差均非常小，表明本文方法可準(zhǔn)確地辨識(shí)出機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)。

5 結(jié)論

本文針對(duì)n-連桿機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)問題，提出了一種基于改進(jìn)差分進(jìn)化算法的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)新方法。該算法在傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法基礎(chǔ)上優(yōu)化了變異策略和交叉策略的構(gòu)造形式，從而提高算法的全局搜索能力和開發(fā)能力;設(shè)計(jì)滿足動(dòng)力學(xué)約束條件的激勵(lì)軌跡，通過改進(jìn)差分算法實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)，并將辨識(shí)結(jié)果與理論值進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明，文中優(yōu)化算法具備較強(qiáng)的全局收斂能力和尋優(yōu)能力、較高的辨識(shí)精度，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)的精確預(yù)測(cè)。

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（責(zé)任編輯 白麗媛）[收稿日期]2019-07-01

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51675009）。

[作者簡(jiǎn)介]張建宇（1975-），男，北京市人，北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院副教授，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真;段建龍（1993-），男，甘肅定西人，北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院碩士研究生，主要研究方向?yàn)楣I(yè)機(jī)器人軌跡規(guī)劃。E-mail：zhjy_1999@bjut.edu.cn