◎朱孟瀅 （江蘇大學(xué)教師教育學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）

著名的教育心理學(xué)家布魯納曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，“教學(xué)過(guò)程是一種提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的持續(xù)不斷的活動(dòng)”．美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯也曾說(shuō)過(guò)，“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”．這句話揭示了數(shù)學(xué)這門學(xué)問(wèn)幾千年來(lái)生生不息、發(fā)展不止、生命力無(wú)限的實(shí)質(zhì)，得到了數(shù)學(xué)界的一致認(rèn)同．可見，數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)研究首先要提出一個(gè)問(wèn)題（研究問(wèn)題的一般方法）．當(dāng)學(xué)生開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知識(shí)的時(shí)候，就進(jìn)入了數(shù)學(xué)的一個(gè)未知領(lǐng)域，實(shí)質(zhì)上也是開始一種數(shù)學(xué)研究，那么作為數(shù)學(xué)的新授課教學(xué)，同樣也是首先要提出一個(gè)問(wèn)題，這個(gè)引領(lǐng)新授課教學(xué)的問(wèn)題可以被稱為“目標(biāo)問(wèn)題”，然后圍繞這個(gè)目標(biāo)問(wèn)題展開研究活動(dòng)．有了目標(biāo)問(wèn)題，一節(jié)課的數(shù)學(xué)活動(dòng)就有了明確的目標(biāo)．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)就是教師從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，正確地引導(dǎo)學(xué)生探索新知，將未知轉(zhuǎn)化為已知的這樣一個(gè)活動(dòng)．所以從本質(zhì)上說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是一種研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的活動(dòng)．在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，要真正教會(huì)學(xué)生思考，就要求教師在進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)做到課堂問(wèn)題結(jié)構(gòu)化，用問(wèn)題結(jié)構(gòu)推進(jìn)教學(xué)．

問(wèn)題結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)形式．問(wèn)題結(jié)構(gòu)化是以構(gòu)成思維導(dǎo)向的問(wèn)題為主線，以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題——解決問(wèn)題——再發(fā)現(xiàn)問(wèn)題——再解決問(wèn)題為全過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)中，每一節(jié)新授課都要去解決一個(gè)目標(biāo)問(wèn)題．所謂的目標(biāo)問(wèn)題就是與本節(jié)課主要教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的基本問(wèn)題．目標(biāo)問(wèn)題的提出有助于幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)數(shù)學(xué)新概念、新方法，說(shuō)明正是要解決這個(gè)問(wèn)題才產(chǎn)生了今天要學(xué)習(xí)的這個(gè)數(shù)學(xué)概念，這個(gè)解題方法，從而激起學(xué)生的求知欲，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)熱情．提出一個(gè)目標(biāo)問(wèn)題，為了解決它就很可能要提出一系列的子問(wèn)題．每解決一個(gè)子問(wèn)題就向著目標(biāo)問(wèn)題的解決前進(jìn)了一步，全部問(wèn)題解決了，那個(gè)目標(biāo)問(wèn)題就解決了，這樣就形成了問(wèn)題導(dǎo)向、形成結(jié)構(gòu)、環(huán)環(huán)相扣、逐個(gè)解決、層層推進(jìn)的過(guò)程．

下面以高中數(shù)學(xué)教學(xué)的兩個(gè)案例中的問(wèn)題結(jié)構(gòu)為例，展示如何設(shè)計(jì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)“用問(wèn)題結(jié)構(gòu)推進(jìn)教學(xué)”．

案例一：任意角的三角函數(shù)．

（1）什么叫函數(shù)？

（2）在初中，我們?cè)谥苯侨切沃袑?duì)銳角的正、余弦以及正切這幾個(gè)三角函數(shù)進(jìn)行了學(xué)習(xí)．回憶一下：這些三角函數(shù)各是怎樣定義的？

（3）對(duì)于確定的銳角，它的正弦、余弦、正切值會(huì)不會(huì)隨“斜邊”的變化而變化？

（4）我們已將角的概念由銳角推廣到了任意角，那么三角函數(shù)的概念是否也能推廣到任意角呢？

（5）在對(duì)角的概念進(jìn)行推廣時(shí)，我們是把角放在哪里來(lái)研究的呢？

（6）你能把剛才的直角三角形放到直角坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)表示銳角的正弦、余弦、正切值嗎？

（7）如下圖，對(duì)于確定的角α，若點(diǎn)P 在終邊上的位置改變了，這三個(gè)比值也會(huì)改變嗎？ 為什么？

（8）銳角的終邊在第一象限，那么終邊在第一象限的角的三角函數(shù)如何定義？

（9）任意角的三角函數(shù)值該如何定義呢？

（10）既然對(duì)于給定的角，其三角函數(shù)值與點(diǎn)P 在終邊上的位置無(wú)關(guān)，那么大家有沒(méi)有辦法讓所得到的定義形式變得更簡(jiǎn)單一點(diǎn)呢？

（11）當(dāng)角的大小發(fā)生變化時(shí)，單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值會(huì)改變嗎？

（12）我們已經(jīng)知道角的終邊的位置決定了角的三角函數(shù)值，那么角的終邊旋轉(zhuǎn)一周，角的大小如何變化？ 其三角函數(shù)值又如何變化？

（13）你能否給出正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域？

（14）你能用函數(shù)的概念對(duì)任意角的三角函數(shù)的定義進(jìn)行完整的闡述嗎？

此案例的問(wèn)題結(jié)構(gòu)中，問(wèn)題是按照一定的邏輯聯(lián)系構(gòu)成序列的，對(duì)課堂教學(xué)的推進(jìn)具有思維導(dǎo)向作用．

問(wèn)題（1）到問(wèn)題（2）存在邏輯聯(lián)系和問(wèn)題導(dǎo)向．問(wèn)題（1）引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行回顧，問(wèn)題（2）引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)初中所學(xué)的三角函數(shù)定義．由函數(shù)到三角函數(shù)是由一般到特殊、由共性到個(gè)性的關(guān)系．學(xué)生在掌握函數(shù)概念的基礎(chǔ)上再學(xué)習(xí)三角函數(shù)，實(shí)際上是從一般到特殊的演繹過(guò)程，亦是用具體函數(shù)來(lái)豐富函數(shù)概念的過(guò)程．這里讓學(xué)生回想函數(shù)的概念，是為了明確函數(shù)概念的本質(zhì)，在認(rèn)知上為學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)概念做好準(zhǔn)備．

在問(wèn)題（1）的基礎(chǔ)上，問(wèn)題（2）和問(wèn)題（3）帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)．此外，問(wèn)題（2）和問(wèn)題（3）的設(shè)計(jì)由學(xué)生已有的認(rèn)知出發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生有針對(duì)性地復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)，為下面三角函數(shù)的定義由銳角擴(kuò)展到任意角做好鋪墊．

通過(guò)本章前一節(jié)“任意角、弧度制”內(nèi)容的學(xué)習(xí)，角的概念已經(jīng)推廣到任意角．那么，從思維的角度出發(fā)，學(xué)生順理成章地會(huì)想到“三角函數(shù)的概念也要進(jìn)行擴(kuò)展，銳角三角函數(shù)的概念是否也能推廣到任意角”這個(gè)問(wèn)題．至此，這節(jié)課的目標(biāo)問(wèn)題就提出來(lái)了．目標(biāo)問(wèn)題提出來(lái)了，就得尋找解決問(wèn)題的方案．如何尋找，從方法論的角度來(lái)講，人類解決問(wèn)題都是從已知去探求未知，去聯(lián)系過(guò)去有沒(méi)有類似的問(wèn)題，于是，問(wèn)題（5）到（9）就應(yīng)運(yùn)而生．這五個(gè)問(wèn)題之間的邏輯聯(lián)系和思維導(dǎo)向關(guān)系是顯而易見的：在直角坐標(biāo)系中研究任意角→用坐標(biāo)表示銳角的三角函數(shù)值→用坐標(biāo)表示第一象限角的三角函數(shù)值→用坐標(biāo)表示任意角的三角函數(shù)值．這種由特殊到一般的思想很重要．為了順利實(shí)現(xiàn)推廣，可以構(gòu)建中間橋梁，使之與前面所學(xué)知識(shí)相結(jié)合，自然轉(zhuǎn)化到任意角的情形，這是正確理解任意角三角函數(shù)概念至關(guān)重要的一步，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要思想方法．培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力，能夠幫助學(xué)生為之后的學(xué)習(xí)中對(duì)知識(shí)的推廣拓展奠定基礎(chǔ)．

問(wèn)題（10）是為引入單位圓而設(shè)計(jì)的．教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所提問(wèn)題進(jìn)行討論時(shí)，也可以設(shè)置以下幾個(gè)小問(wèn)題來(lái)啟發(fā)學(xué)生：我們是用什么來(lái)定義1 弧度角的？ 其與圓的半徑大小有關(guān)嗎？ 那么，為了使定義更簡(jiǎn)單，讓圓的半徑多大比較好呢？ 在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出問(wèn)題（11），能夠幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)值和單位圓與角的終邊交點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．這個(gè)時(shí)候緊接著提出問(wèn)題（12），學(xué)生就很容易理解和回答了．這樣做的目的是引導(dǎo)學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的變化規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上順理成章地引出第一組誘導(dǎo)公式，突出三角函數(shù)呈周期性變化的特征．

問(wèn)題（13）是為了引導(dǎo)學(xué)生在得出定義的基礎(chǔ)上求三角函數(shù)的定義域，對(duì)三角函數(shù)的概念進(jìn)行了完善，加深了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的概念的理解．問(wèn)題（7）到問(wèn)題（14）緊扣函數(shù)概念的本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，與問(wèn)題（1）遙相呼應(yīng)，是從函數(shù)知識(shí)演繹到三角函數(shù)知識(shí)的重要依據(jù)，從而幫助學(xué)生正確理解三角函數(shù)的概念，把三角函數(shù)知識(shí)納入函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)學(xué)生的函數(shù)觀念．

案例二：

（1）設(shè)A 點(diǎn)和B 點(diǎn)分別在河的兩岸，現(xiàn)要測(cè)量A，B 之間的距離是多少．測(cè)量者在A 點(diǎn)所在一側(cè)的河岸邊取一點(diǎn)C，測(cè)出A，C 之間的距離為55 m，∠ACB ＝60°，∠BAC ＝45°，請(qǐng)由此求出A，B 間的距離．——數(shù)學(xué)化為“任務(wù)一：尋找三角形的邊角關(guān)系．”

（2）直角三角形中存在怎樣的邊角數(shù)量關(guān)系？

（3）其他三角形中是否也存在類似的關(guān)系？

（4）你能否大膽地做出合理的猜想？

（5）如何證明猜想？ ——進(jìn)而呈現(xiàn)“任務(wù)二：證明猜想．”

（6）分析正弦定理的表達(dá)式，利用正弦定理解三角形需要知道三角形的哪些元素？

（7） 你會(huì)用正弦定理求解A，B 兩點(diǎn)之間的距離嗎？ ——進(jìn)而進(jìn)入“任務(wù)三：小定理大應(yīng)用”．

由上述7 個(gè)問(wèn)題構(gòu)成的問(wèn)題結(jié)構(gòu)揭示了正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用的主要過(guò)程，將正弦定理的教學(xué)層層推進(jìn)．該問(wèn)題的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)的思想，圍繞定理的三個(gè)要素，問(wèn)題結(jié)構(gòu)化為7 個(gè)子問(wèn)題，步步為營(yíng)，環(huán)環(huán)相扣，導(dǎo)向清晰，目標(biāo)明確．

每節(jié)課的首要任務(wù)是提出本節(jié)課要研究的問(wèn)題，這一點(diǎn)十分重要．在處理問(wèn)題（1）時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型：在△ABC 中，已知∠A，∠C 的大小以及一邊AC 的長(zhǎng)度，求另一邊AB 的長(zhǎng)，即：已知三角形的兩個(gè)角和一邊，求其他的邊．這可以使學(xué)生明白數(shù)學(xué)知識(shí)總是從問(wèn)題開始的，從而明白本節(jié)課學(xué)習(xí)的目的．問(wèn)題提出后，接下來(lái)就要解決問(wèn)題．問(wèn)題（2）引導(dǎo)學(xué)生回憶直角三角形中的邊角關(guān)系，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題（3），（4），（5）．在證明猜想的過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生分類討論，分別按最大角是銳角和鈍角來(lái)研究，然后按照將未知轉(zhuǎn)化為已知的研究思路，化斜為直——構(gòu)造直角三角形來(lái)證明．通過(guò)猜想和證明得到了正弦定理，接下來(lái)自然要研究這個(gè)定理可以解決哪些問(wèn)題．問(wèn)題（6）引導(dǎo)學(xué)生從方程的角度對(duì)正弦定理進(jìn)行分析，確定在解三角形問(wèn)題中正弦定理的適用范圍，進(jìn)而提出問(wèn)題（7）．至此已經(jīng)得出正弦定理以及運(yùn)用正弦定理所能解決的問(wèn)題，所以再回過(guò)頭來(lái)探究本節(jié)課一開始提出的實(shí)際問(wèn)題如何解決，學(xué)以致用，讓學(xué)生在問(wèn)題的解決中體會(huì)到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣．

通過(guò)以上兩個(gè)案例可以看出，用以推進(jìn)教學(xué)的問(wèn)題結(jié)構(gòu)是具有思維導(dǎo)向和一定邏輯聯(lián)系的問(wèn)題結(jié)構(gòu)，旨在教會(huì)學(xué)生提出問(wèn)題，建構(gòu)概念，尋找思路，研究問(wèn)題的一般方法．問(wèn)題結(jié)構(gòu)不同于一般意義的“問(wèn)題串”，“問(wèn)題串”可以是毫無(wú)關(guān)聯(lián)的一串問(wèn)題，而問(wèn)題結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)形式，問(wèn)題結(jié)構(gòu)化是以構(gòu)成思維導(dǎo)向的問(wèn)題為主線，以“問(wèn)題——解決——問(wèn)題——解決……”的問(wèn)題導(dǎo)向結(jié)構(gòu)推進(jìn)教學(xué)過(guò)程的進(jìn)行．