◎邵 云 （滁州城市職業(yè)學(xué)院，安徽 滁州 239000）

一、懷特海教育節(jié)奏

懷特海認(rèn)為，教學(xué)應(yīng)當(dāng)遵循浪漫、精確、綜合運(yùn)用三階段螺旋式上升的節(jié)奏．在浪漫階段，已有知識作為直接認(rèn)知，學(xué)生此時的知識體系是凌亂的，未加整理和梳理．這個階段是精確階段的基礎(chǔ)，教師應(yīng)最大限度地調(diào)動學(xué)生的積極性，把碎片化的知識調(diào)出來．精確階段需要對浪漫階段凌亂的知識體系進(jìn)行梳理，對浪漫階段的一般事實(shí)做出揭示和分析，更為重要的是在分析過程中形成思維習(xí)慣，提升學(xué)習(xí)能力．綜合運(yùn)用階段是在“浪漫”和“精確”之后又重回“浪漫”，它是一個循環(huán)的結(jié)束，又是另一個循環(huán)的開始．

二、高等數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀

“懷特海三段論”在中小學(xué)課程教學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用，很多教師即便不了解這個理論，在實(shí)際的教學(xué)中也能遵循浪漫、精確、綜合運(yùn)用的教育節(jié)奏，取得良好的教學(xué)效果．而在大學(xué)課程教學(xué)中，此理論鮮少應(yīng)用．尤其是在著重計(jì)算的微積分部分，有關(guān)計(jì)算方法的研究論文很多，而對相關(guān)概念教學(xué)的研究幾乎是空白，也很少有教師深入細(xì)致地剖析概念，這在一定程度上導(dǎo)致學(xué)生對基本概念認(rèn)知模糊，造成了思維的混亂，外部表現(xiàn)就是：無法靈活運(yùn)用知識解決問題，學(xué)到的知識只是一個個碎片，無法形成知識體系．

本文以不定積分的概念教學(xué)為例，簡要分析如何在教學(xué)中靈活運(yùn)用“懷特海三段論”幫助學(xué)生學(xué)習(xí)知識，形成知識體系．

微積分作為高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面起著舉足輕重的作用，它也是后續(xù)課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)．在實(shí)際教學(xué)的過程中，教師往往看重計(jì)算，花費(fèi)大量的時間和精力總結(jié)和介紹計(jì)算方法，對概念只是簡單地按照書本講解，很少進(jìn)行剖析，更遑論與前、后知識的聯(lián)系和比較．學(xué)生雖然知道如何計(jì)算不定積分，但對其中的原理和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想?yún)s知之甚少，甚至連基本的概念都無法論述清楚．這就導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分時充滿困惑，也是很多學(xué)生覺得微積分難以理解的根本原因．

通常情況下，我們會把不定積分看作導(dǎo)數(shù)（微分）的逆運(yùn)算，計(jì)算定積分的牛頓—萊布尼茨公式也需要借助不定積分，可見不定積分在微積分中占據(jù)著極其重要的位置．對不定積分概念的理解有助于加深對導(dǎo)數(shù)（微分）的認(rèn)識，同時為定積分的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．

三、應(yīng)用“懷特海三段論”的不定積分概念教學(xué)

下面先介紹與不定積分相關(guān)的兩個定義．

定義1設(shè)函數(shù)F（x）和f（x）都在區(qū)間I 內(nèi)有意義，且對任一x∈I，都有F′（x）＝f（x）或dF（x）＝f（x）dx，則稱F（x）是f（x）在I 內(nèi)的一個原函數(shù)．

定義2函數(shù)f（x） 在某區(qū)間I 內(nèi)的全體原函數(shù)稱為f（x） 在區(qū)間I 內(nèi)的不定積分，記作

（一）浪漫階段

一般情況下，在介紹原函數(shù)的定義時，我們會提醒學(xué)生注意原函數(shù)前面的定語“一個”，而忽視對“F′（x）＝f（x）或dF（x）＝f（x）dx”的深入剖析；在介紹不定積分的概念時，我們只是簡單地將幾個符號介紹一下，由定義結(jié)合基本求導(dǎo)公式給出基本積分公式，而對于概念的深入分析少之又少．概念的模糊不清導(dǎo)致思維的混亂，混亂的思維導(dǎo)致學(xué)習(xí)定積分時困難重重．在浪漫階段，需要最大限度地調(diào)出與不定積分有關(guān)的概念，這些概念可以是混亂模糊的，也可以是精確表述的．為了幫助學(xué)生充分了解不定積分的相關(guān)信息，我們在這里提出三個問題．

問題1F′（x）＝f（x）與dF（x）＝f（x）dx 有無區(qū)別？

兩者的聯(lián)系是學(xué)生所熟知的：導(dǎo)數(shù)與微分除了形式上有區(qū)別，在計(jì)算上沒有差別．所以這里著重考察兩者之間的區(qū)別．

問題2不管課程的名稱是“高等數(shù)學(xué)”“經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)”，還是“數(shù)學(xué)分析”，該部分內(nèi)容都叫“微積分”．但是在微分部分，大部分篇幅都在介紹導(dǎo)數(shù)，對微分的介紹很少，那么為何不把該部分稱為“導(dǎo)數(shù)與積分”呢？

問題3探究的異同，以及與的異同．

解答以上三個問題時，需要調(diào)出的知識包括基本導(dǎo)數(shù)公式、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)、微分的計(jì)算、鏈?zhǔn)椒▌t等．

（二） 精確階段

我們以函數(shù)y ＝（3x ＋1）2求導(dǎo)數(shù)為例來比較復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)和鏈?zhǔn)椒▌t．

由兩個計(jì)算過程我們可以清楚地看到，微分的計(jì)算更看重整體代換．因此，熟練掌握微分的計(jì)算，可以幫助學(xué)生加深對基本積分公式的理解．

在計(jì)算復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，使用導(dǎo)數(shù)的符號不能清晰明了地表明導(dǎo)數(shù)是關(guān)于哪個變量進(jìn)行的．函數(shù)不管多么復(fù)雜，其表現(xiàn)形式都沒有區(qū)別，這就使得學(xué)生在計(jì)算過程中會誤認(rèn)為只能關(guān)于x 求導(dǎo)數(shù)．這種缺乏整體觀的慣性思維導(dǎo)致學(xué)生在面對積分變量這個概念時束手無策，從而難以靈活地進(jìn)行積分的計(jì)算．

在實(shí)際計(jì)算微分時，我們通常采用先計(jì)算相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)、然后代入微分形式的做法，這對培養(yǎng)學(xué)生的整體代換思想是極其有害的．更重要的是，在理解導(dǎo)數(shù)公式和積分公式時，不能將整體代換思想靈活運(yùn)用，會給理解微積分帶來負(fù)面影響．

下面把基本積分公式改寫成類似的形式：

由右側(cè)的公式能夠清晰地看到整體，其在應(yīng)用方面明顯優(yōu)于左側(cè)的公式．學(xué)生在識記公式時只有把整體的概念代入其中，學(xué)習(xí)換元積分法時才會水到渠成．

（三）綜合運(yùn)用階段

現(xiàn)在，我們可以引導(dǎo)學(xué)生將導(dǎo)數(shù)基本公式按照上述方法重新進(jìn)行表述．例如，我們可以將冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（xα）′＝αxα-1寫成（Wα）′＝αWα-1．當(dāng)然，這種形式不太嚴(yán)謹(jǐn)，更嚴(yán)格的應(yīng)該是（Wα）W′＝αWα-1，但這種形式很煩瑣，所以我們在對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)時通常不采用這種形式．為了清晰明了地表達(dá)這個過程，我們借助于微分形式dWα＝αWα-1dW，在這個微分表達(dá)式中可以清晰地看到此時的導(dǎo)數(shù)是關(guān)于W 進(jìn)行的，而W 可以是任何一種表達(dá)式．這是微分在表現(xiàn)形式上優(yōu)于導(dǎo)數(shù)的地方，也是我們將有關(guān)內(nèi)容稱為“微積分”的一個原因．我們在用語言表述時，可以采用“α 次方求導(dǎo)等于α 倍的（α-1）次方”這樣一種表述方法，將W 或者x 都忽略掉，僅僅把運(yùn)算表述清楚．從本質(zhì)上說，導(dǎo)數(shù)或者積分都是一種運(yùn)算，運(yùn)算針對的是函數(shù)，函數(shù)主要考察的是對應(yīng)法則也就是映射關(guān)系，而與變量的表現(xiàn)形式?jīng)]有關(guān)系．通過對前、后知識的梳理，將導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、微分運(yùn)算、不定積分運(yùn)算與函數(shù)和函數(shù)的運(yùn)算聯(lián)系起來，學(xué)生不僅對不定積分的定義有了深入的了解，也對函數(shù)有了更加深刻的認(rèn)識，從而搭建起了連接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的橋梁．

結(jié) 語

長期以來，數(shù)學(xué)教育，尤其是高等數(shù)學(xué)教育，只注重對學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)，而忽視了對基本概念的教學(xué)．基本概念的模糊不清勢必造成思維的混亂，從而導(dǎo)致學(xué)生對高等數(shù)學(xué)望而卻步．在概念教學(xué)中應(yīng)用懷特海的教育節(jié)奏理論，能更加有效地幫助學(xué)生將已有的知識進(jìn)行歸納梳理，形成知識體系，鍛煉思維，提升能力．