張成舉， 王聰， 王金強(qiáng)， 李聰慧

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引言

欠驅(qū)動(dòng)水面無人艇(USV)是當(dāng)前應(yīng)用較多的海洋工程設(shè)備，可進(jìn)行海洋巡邏、海洋探測等。欠驅(qū)動(dòng)USV位置跟蹤在海洋工程中具有較多的運(yùn)用，例如敵方艦艇追蹤等。恒定海流的干擾、參數(shù)不確定等給欠驅(qū)動(dòng)USV運(yùn)動(dòng)控制帶來了困難。

為解決以上問題，Xie等[1]采用級聯(lián)控制對欠驅(qū)動(dòng)USV系統(tǒng)軌跡跟蹤進(jìn)行研究，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該控制系統(tǒng)的有效性，但級聯(lián)系統(tǒng)較為復(fù)雜，工程應(yīng)用較為困難；王巖等[2]運(yùn)用滑?？刂品椒▽η夫?qū)動(dòng)USV實(shí)現(xiàn)了路徑跟蹤；王金強(qiáng)等[3]考慮未知海流和水動(dòng)力學(xué)系數(shù)不確定的影響，采用自適應(yīng)方法對未知水動(dòng)力系數(shù)進(jìn)行補(bǔ)償，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，然而，并未將模型參數(shù)不確定考慮在系統(tǒng)中；周佳加等[4]提出一種針對AUV位置跟蹤的改進(jìn)自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該控制器的有效性，但是忽略了海流的干擾；王宏建等[5]運(yùn)用濾波反步法實(shí)現(xiàn)了AUV的路徑跟蹤控制器設(shè)計(jì)，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了控制器的穩(wěn)定性，但是并未考慮參數(shù)不確定性；Dong等[6]通過運(yùn)用改進(jìn)后的反步方法對USV系統(tǒng)進(jìn)行軌跡跟蹤，效果顯著；Sonnenburg等[7]通過將級聯(lián)控制軌跡跟蹤控制器與反步法非線性軌跡跟蹤控制器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于反步法的非線性控制器比級聯(lián)控制器更有效；Wang等[8]提出一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)濾波反步法，設(shè)計(jì)了欠驅(qū)動(dòng)AUV三維路徑跟蹤控制控制器，運(yùn)用徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對系統(tǒng)不確定函數(shù)進(jìn)行有效逼近，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該控制器的有效性；張偉等[9]將AUV三維路徑跟蹤系統(tǒng)分解為運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)回路，設(shè)計(jì)了一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)逆控制器，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該控制器的有效性，但是忽略了海流的干擾；徐健等[10]設(shè)計(jì)了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)逆控制器，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該控制器的穩(wěn)定性；Yipp[11]針對該問題，提出動(dòng)態(tài)面控制算法，將反步法中虛擬控制變量輸入1階濾波器，濾波后的信號(hào)為實(shí)際控制輸入，不需對虛擬控制變量逐級求導(dǎo)；Elmokadem等[12]針對欠驅(qū)動(dòng)水下機(jī)器人提出采用滑模補(bǔ)償外界干擾，取得了較好的跟蹤效果，但是控制器是基于已知模型的，忽略了模型參數(shù)不易準(zhǔn)確獲得的難題。

綜合以上國內(nèi)外研究，雖然一些設(shè)計(jì)的控制器具有良好的控制性能，但同時(shí)考慮海流干擾與系統(tǒng)參數(shù)不確定性的相關(guān)文獻(xiàn)較少。本文考慮USV系統(tǒng)參數(shù)不確定和恒定海流干擾，對位置跟蹤問題開展研究。通過設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制器，對USV系統(tǒng)進(jìn)行跟蹤控制，并且運(yùn)用仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該控制器的有效性。

1 USV控制問題描述

1.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)簡述

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能在一個(gè)緊湊集和任意精度下逼近任何非線性函數(shù)；本文運(yùn)用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近未知函數(shù)，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法為

(1)

f=ω*Th(x)+ε，

(2)

式中：j為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層第j個(gè)節(jié)點(diǎn)；x為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入；cj為網(wǎng)絡(luò)中心向量；bj為寬度；ω*為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理想權(quán)值；h(x)為高斯函數(shù)；ε為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差，且ε≤ε0，ε0為正實(shí)數(shù)。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出為

=ωTh(x)，

(3)

1.2 USV動(dòng)力學(xué)模型

對于欠驅(qū)動(dòng)USV，設(shè)定慣性坐標(biāo)系為OEXEYE，體坐標(biāo)系為OBXBYB；對于USV而言，本文只研究水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)控制問題，USV位姿及速度可表示為{x,y,ψ}和{u,v,r}，x、y和ψ分別為USV在慣性坐標(biāo)系下的水平面橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和偏航角，u、v和r分別為USV在體坐標(biāo)系下的縱向速度、橫向速度和偏轉(zhuǎn)角速度。USV位置跟蹤如圖1所示，期望運(yùn)動(dòng)軌跡為ηh(t)，期望位置為xd、yd，運(yùn)動(dòng)軌跡誤差為{xe，ye,ψe}，xe、ye、ψe分別為慣性坐標(biāo)系下的位置和偏航角跟蹤誤差。

圖1 USV水平面軌跡跟蹤Fig.1 USV trajectory tracking on horizontal plane

欠驅(qū)動(dòng)USV運(yùn)動(dòng)特性，選取簡化后的USV水平面運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)方程[13]為

(4)

式中：vcx、vcy分別為USV在慣性坐標(biāo)系下的海流速度。

USV動(dòng)力學(xué)方程為

(5)

由于欠驅(qū)動(dòng)USV系統(tǒng)橫向沒有控制輸入，本文假設(shè)橫向速度v有界，所以后文不對橫向速度誤差進(jìn)行鎮(zhèn)定。

1.3 船體坐標(biāo)系下位置跟蹤誤差方程

定義USV在慣性坐標(biāo)系下的期望位置和偏航角為xd、yd和ψd，體坐標(biāo)系下的期望速度為uc、rc，則可定義USV在慣性坐標(biāo)系下的位置及偏航角跟蹤誤差為

xe=xd-x，ye=yd-y，ψe=ψd-ψ,

(6)

可得體坐標(biāo)系下的位置和姿態(tài)跟蹤誤差為

(7)

根據(jù)(7)式可知，若ex和ey均為0，則xe和ye也為0，反之亦然；本文設(shè)計(jì)的控制器目的是使ex和ey趨于0附近一個(gè)任意小的鄰域中。

對ex和ey分別求導(dǎo)，可得

(8)

2 USV位置跟蹤控制器設(shè)計(jì)

2.1 鎮(zhèn)定ex和ey

對于USV系統(tǒng)位置跟蹤誤差而言，建立一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)：

(9)

對(9)式求導(dǎo)，可得

(10)

定義一個(gè)新的變量：

q=vmsinψe，

(11)

(12)

式中：λ1、λ2為控制器參數(shù)，λ1>0，λ2>0；cx、cy為海流觀測器觀測速度。

(12)式代入(10)式，可得

(13)

虛擬控制變量uc和qc通過1階濾波器，可得

(14)

式中：ucf和qcf為經(jīng)過濾波器濾波后的虛擬控制變量；λu、λq為控制器參數(shù)，λu>0，λq>0.

2.2 鎮(zhèn)定eu

定義USV系統(tǒng)的速度誤差變量為

eu=u-ucf，eq=q-qcf，

(15)

(15)式代入(13)式，可得

(16)

定義一個(gè)新的李雅普諾夫函數(shù)為

(17)

對(17)式求導(dǎo)，可得

(18)

為保證控制系統(tǒng)穩(wěn)定性，可設(shè)定控制輸入τu為

(19)

式中：λ3、η1為控制器參數(shù)，λ3>0，η1>0；1為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的估計(jì)值，并且神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值估計(jì)誤差

選取自適應(yīng)律為

(20)

式中：k1、σ1為控制器參數(shù)，k1>0，δ1>0.

根據(jù)(19)式，可得

(21)

式中：κu=m22vr-Xuu-Xu|u|u|u|.

(21)式代入(18)式，可得

(22)

2.3 鎮(zhèn)定eq

為穩(wěn)定欠驅(qū)動(dòng)USV系統(tǒng)偏航角，定義一個(gè)新的李雅普諾夫函數(shù)：

(23)

對(23)式求導(dǎo)，可得

(24)

可設(shè)定r的期望值為

(25)

式中：λ4為控制器參數(shù)，λ4>0.

(25)式代入(24)式，可得

(26)

虛擬控制變量rc通過1階濾波器，得

(27)

式中：rcf為虛擬控制變量rc經(jīng)過濾波器的濾波值；λr為控制器參數(shù)，λr>0.

2.4 鎮(zhèn)定er

根據(jù)(27)式可知，rc是理想虛擬控制量。定義誤差變量

er=r-rcf，

(28)

另外定義一個(gè)新的李雅普諾夫函數(shù)：

(29)

對(29)式求導(dǎo)，可得

(30)

選擇控制輸入τr為

(31)

式中：λ5、η3為控制器參數(shù)，λ5>0，η3>0；3為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的估計(jì)值，并且神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值估計(jì)誤差

選取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)律為

(32)

式中：k3、σ3為控制器參數(shù)，k3>0，δ3>0.

(31)式代入(5)式，可得

(33)

式中：κr=(m11-m22)uv-m33fr(r)-Nrr-Nr|r|r|r|.

(33)式代入(30)式，可得

(34)

2.5 鎮(zhèn)定和

定義一個(gè)新的李雅普諾夫函數(shù)

(35)

對(35)式求導(dǎo)，可得

(36)

(21)式和(32)式代入(36)式，可得

(37)

根據(jù)文獻(xiàn)[8}，可得

(38)

(38)式代入(37)式，可得

(39)

根據(jù)文獻(xiàn)[13]，可得

(40)

2.6 觀測器設(shè)計(jì)

為估計(jì)恒定海流速度vcx和vcy，采用反步法設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)海流觀測器[15]。

定義位置x和y的估計(jì)值為和，則有

(41)

式中：r11、r21為控制器參數(shù)，r11>0，r21>0；εx和εy為位置x和y的估計(jì)誤差，則

(42)

對(42)式求導(dǎo)，可得

(43)

選取海流速度估計(jì)誤差導(dǎo)數(shù)為

(44)

式中：r12、r22為控制器參數(shù)，r12>0，r22>0.

定義一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)為

(45)

對(45)式求導(dǎo)，可得

(46)

3 穩(wěn)定性分析

考慮所設(shè)計(jì)的位置跟蹤控制器與海流觀測器所組成的閉環(huán)系統(tǒng)，通過將系統(tǒng)分解為兩個(gè)子系統(tǒng)Σ1和Σ2.

定義子系統(tǒng)Σ1為

‖x1‖=[exeyeueqer]T.

(47)

由于1階濾波器濾波前后存在誤差，為確保系統(tǒng)穩(wěn)定性，對濾波誤差進(jìn)行鎮(zhèn)定。定義1階濾波器對虛擬控制變量濾波后與濾波前的差值為

(48)

對方程組(48)式進(jìn)行求導(dǎo)，可得

(49)

式中：λz為控制器參數(shù)，λz>0.

由3個(gè)虛擬控制量式，可得

|dzc/dt|≤ζz,z=u,q,r，

(50)

式中：ζz為閉環(huán)信號(hào)連續(xù)特性。

根據(jù)文獻(xiàn)[14]，可得

(51)

定義一個(gè)新的李雅普諾夫函數(shù)：

(52)

對(52)式求導(dǎo)，可得

(53)

通過選取合適的控制器參數(shù)λ1、λ2、λ3、λ4、λ5、η1、η3、δ1、δ3、λu、λq、λr，可保證子系統(tǒng)Σ1全局一致穩(wěn)定。

(54)

對(54)式求導(dǎo)，可得

(55)

(44)式代入(55)式，可得

(56)

則子系統(tǒng)Σ2是全局一致穩(wěn)定的。

建立一個(gè)新的李雅普諾夫函數(shù)為

V=V6+E2.

(57)

對(57)式求導(dǎo)可得

(58)

(58)式可變換為

(59)

(59)式可轉(zhuǎn)化為

(60)

綜上所述，閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)所有誤差信號(hào)一致有界，所以本文所設(shè)計(jì)的控制器是穩(wěn)定的。

4 仿真分析

本文選取文獻(xiàn)[16]欠驅(qū)動(dòng)USV系統(tǒng)模型，驗(yàn)證設(shè)計(jì)的控制算法。該USV模型參數(shù)為m11=25.8 kg，m22=33.8 kg，m33=2.76 kg·m2，Xu=12 kg/s，Yv=17 kg/s，Nr=0.5 kg·m2/s，Xu|u|=2.5 kg/m，Yv|v|=17 kg/s，Nr|r|=0.1 kg·m2.

選取欠驅(qū)動(dòng)USV初始條件為x(0)=-10 m，y(0)=5 m，u(0)=0.3 m/s，v(0)=0 m/s，ψ(0)=0 rad，r(0)=0 rad/s.

欠驅(qū)動(dòng)USV應(yīng)用過程中，τu、τr是有限的，在控制器設(shè)計(jì)中，設(shè)定控制輸入為有限值：0<τu<90 N，0<|τr|<20 N·m.

在保證無人艇正常行駛的條件下，經(jīng)過多次仿真實(shí)驗(yàn)，恒定海流干擾范圍為-0.4 m/s≤vc≤0.4 m/s. 隨機(jī)選取恒定海流選取為vcx=-0.2 m/s，vcy=-0.2 m/s. 為驗(yàn)證該控制器控制性能，選取預(yù)期軌跡為xd=0.6t，yd=60sin(0.01t)。

為便于仿真結(jié)果分析，仿真時(shí)間為1 000 s，可清晰地看出運(yùn)動(dòng)軌跡，與文獻(xiàn)[16]中反步法進(jìn)行對比，仿真結(jié)果如圖2～圖7所示。為更好地呈現(xiàn)仿真結(jié)果，由于控制器穩(wěn)定后結(jié)果呈現(xiàn)周期性，圖4～圖7展現(xiàn)了前200 s的仿真結(jié)果。

圖2 預(yù)期軌跡與實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.2 Desired trajectory and practical trajectory

圖3 位置跟蹤誤差Fig.3 Position tracking errors

圖4 速度跟蹤誤差Fig.4 Velocity tracking errors

圖5 函數(shù)逼近誤差Fig.5 Function approximation errors

圖6 海流速度觀測誤差Fig.6 Observed errors of current velocity

圖7 控制力與控制力矩Fig.7 Control force and control moment

根據(jù)圖2可知，提出的控制算法可有效實(shí)現(xiàn)預(yù)期軌跡跟蹤。根據(jù)圖3和圖4可知，欠驅(qū)動(dòng)USV位置跟蹤誤差、速度跟蹤誤差均收斂到0附近的一個(gè)鄰域內(nèi)。根據(jù)圖5可知，提出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)算法可有效逼近未知函數(shù)。根據(jù)圖6可知，海流觀測器對海流速度的觀測效果較為理想。根據(jù)圖7可知，欠驅(qū)動(dòng)USV控制力及控制力矩在設(shè)定范圍內(nèi)，并且較為穩(wěn)定。

5 結(jié)論

本文針對欠驅(qū)動(dòng)USV在恒定海流干擾下的水平面位置跟蹤問題，提出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制策略。得出以下主要結(jié)論：

1) 采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可對未知函數(shù)有效估計(jì)和補(bǔ)償。

2) 通過運(yùn)用李雅普諾夫理論證明了該控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3) 通過仿真結(jié)果表明，欠驅(qū)動(dòng)USV位置跟蹤間隙誤差、偏航誤差、速度跟蹤誤差均收斂到0附近的一個(gè)鄰域內(nèi)，從而驗(yàn)證了該控制算法的有效性。