金耀 胡雅麗 田秋紅 宋瑾鈺

[摘 要] 針對(duì)“離散數(shù)學(xué)”課程概念多、理論性強(qiáng)、內(nèi)容抽象，而學(xué)生不易掌握，更不會(huì)應(yīng)用等現(xiàn)象，分析了離散數(shù)學(xué)在銜接自然語(yǔ)言與程序語(yǔ)言中所起的重要作用，以講授“等價(jià)關(guān)系”知識(shí)點(diǎn)為例探討了案例驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法，以期培養(yǎng)并提高學(xué)生理解與運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

[關(guān)鍵詞] 離散數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思維;教學(xué)方法

[基金項(xiàng)目] 2017年度浙江理工大學(xué)課堂教學(xué)改革項(xiàng)目“《離散數(shù)學(xué)》案例式教學(xué)的研究與實(shí)踐”（kg201707）;2019年度浙江理工大學(xué)教學(xué)改革項(xiàng)目“基于培養(yǎng)學(xué)生多元化能力的《離散數(shù)學(xué)》全英文課程的改革與完善”ylxm201908）;2017年度中國(guó)紡織工業(yè)聯(lián)合會(huì)教育教學(xué)改革項(xiàng)目“以能力培養(yǎng)為核心的《Java程序設(shè)計(jì)》實(shí)驗(yàn)教學(xué)改革與實(shí)踐”（2017BKJGLX293）

[作者簡(jiǎn)介] 金 耀（1984—），男，浙江紹興人，工學(xué)博士，浙江理工大學(xué)數(shù)字媒體技術(shù)系講師，碩士生導(dǎo)師，主要從事計(jì)算機(jī)圖形學(xué)研究;胡雅麗（1986—），女，浙江紹興人，機(jī)械工程碩士，浙江理工大學(xué)信息化辦公室工程師（通信作者），主要從事高校數(shù)據(jù)治理與大數(shù)據(jù)分析研究;田秋紅（1976—），女，遼寧興城人，理工學(xué)博士，浙江理工大學(xué)信息學(xué)院副教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事圖像處理與模式識(shí)別研究。

[中圖分類號(hào)] G642.0 ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A ? ?[文章編號(hào)] 1674-9324（2020）29-0264-03 ? ?[收稿日期]2019-09-20

一、引言

“離散數(shù)學(xué)”作為一門(mén)面向計(jì)算機(jī)類專業(yè)的數(shù)學(xué)課程，是該專業(yè)的一門(mén)重要基礎(chǔ)課程，同時(shí)也是許多其他核心課程的先導(dǎo)課程[1]。因此，學(xué)好“離散數(shù)學(xué)”課程不僅對(duì)于計(jì)算機(jī)類專業(yè)的學(xué)生非常重要，而且也賦予了教師相應(yīng)的使命感。

“離散數(shù)學(xué)”課程的特點(diǎn)是概念多、理論性強(qiáng)、內(nèi)容抽象，因而學(xué)生想掌握該課程并非易事。筆者在教學(xué)與科研實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)不同階段的學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)均存在著偏見(jiàn)。不少低年級(jí)學(xué)生認(rèn)為該課程難度大、聽(tīng)課累、興趣不高;相當(dāng)部分的高年級(jí)學(xué)生認(rèn)為該課程沒(méi)有實(shí)際用途，與專業(yè)相關(guān)性小;甚至有部分研究生也存在著類似的觀點(diǎn)，其在解決問(wèn)題時(shí)，往往繞過(guò)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推演而直接寫(xiě)代碼，從而時(shí)常出現(xiàn)代碼質(zhì)量差、準(zhǔn)確率低等問(wèn)題，而究其原因往往是沒(méi)有把問(wèn)題想明白，即未曾用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)問(wèn)題進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x與精確的建模。

“離散數(shù)學(xué)”所教授內(nèi)容雖然以數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)為主，具有較強(qiáng)的理論性，但其計(jì)算機(jī)專業(yè)的屬性又使其同時(shí)具有應(yīng)用性的特點(diǎn)，因此適合案例教學(xué)，使學(xué)生更好地掌握理解與運(yùn)用理論知識(shí)的技能。案例教學(xué)法即將教學(xué)案例引入課堂，引導(dǎo)學(xué)生以案例為基礎(chǔ)對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行理解、分析與思考[2]。不少教學(xué)工作者探索了面向“離散數(shù)學(xué)”課程的案例教學(xué)方法。其中一類探討案例教學(xué)的方法論。閔勇以創(chuàng)新實(shí)踐案例為基礎(chǔ)，利用翻轉(zhuǎn)課堂和創(chuàng)新項(xiàng)目的形式開(kāi)展教學(xué)[3]。徐周波等人結(jié)合逆向案例，將教學(xué)設(shè)計(jì)思路“提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—引入概念—抽象建?！O(shè)計(jì)分析—程序設(shè)計(jì)”貫穿于教學(xué)活動(dòng)中[4]。另一類則注重具體案例的設(shè)計(jì)與實(shí)施。吳偉以計(jì)算機(jī)鼓輪設(shè)計(jì)為例，從問(wèn)題的提出、分析與解決三階段討論了案例教學(xué)的實(shí)施過(guò)程[2]。徐周波等人以有序二叉決策圖（OBDD）為例探討了離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用場(chǎng)景[5]。陳光喜等人以“成語(yǔ)接龍”游戲?yàn)槔治隽税咐褂玫乃悸?、方法及其作用[6]。楊洪等人以若干經(jīng)典應(yīng)用案例為例從精選案例、科學(xué)設(shè)計(jì)討論問(wèn)題、討論與總結(jié)等方面探索了案例教學(xué)方法[7]。賁可榮與謝茜針對(duì)解題中的應(yīng)用案例，分析求解過(guò)程以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣[8]。

受到上述教學(xué)思路的啟發(fā)，筆者亦嘗試將案例式教學(xué)方法引入“離散數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)。與上述方法所不同的是，本文從離散數(shù)學(xué)的“樞紐地位”出發(fā)，以“等價(jià)關(guān)系”為例剖析其在問(wèn)題描述與求解中的關(guān)鍵作用，以期加深學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)概念與原理的理解，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維，提高其分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，從而達(dá)到學(xué)以致用的目的。

二、離散數(shù)學(xué)的樞紐地位

計(jì)算機(jī)類專業(yè)具有很強(qiáng)的實(shí)踐性，以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用程序語(yǔ)言解決實(shí)際問(wèn)題為目標(biāo)。然而以自然語(yǔ)言描述的實(shí)際問(wèn)題往往與程序語(yǔ)言存在“鴻溝”，往往難以運(yùn)用程序語(yǔ)言直接描述與解決問(wèn)題。而離散數(shù)學(xué)作為計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，扮演著銜接自然語(yǔ)言與程序語(yǔ)言的角色，起著上承自然語(yǔ)言，下啟程序語(yǔ)言的樞紐作用。

圖1所示即為三種語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。一方面，數(shù)學(xué)語(yǔ)言雖精確嚴(yán)謹(jǐn)，但往往晦澀難懂，因而運(yùn)用直觀的自然語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)語(yǔ)言有助于學(xué)生理解其背后的內(nèi)涵;另一方面，數(shù)學(xué)語(yǔ)言能夠?qū)⒆匀徽Z(yǔ)言所表達(dá)的問(wèn)題形式化與精確化，有助于運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。此外，數(shù)學(xué)語(yǔ)言又與程序語(yǔ)言最為貼近，為程序設(shè)計(jì)提供直接的依據(jù)，有助于提高程序設(shè)計(jì)的效率與準(zhǔn)確率。筆者嘗試運(yùn)用圖1所述離散數(shù)學(xué)的樞紐作用作為指導(dǎo)思想，結(jié)合具體案例講授離散數(shù)學(xué)課程知識(shí)，力求將知識(shí)點(diǎn)化難為易，同時(shí)強(qiáng)化學(xué)生以邏輯思維與計(jì)算思維為主的數(shù)學(xué)思維能力，為其今后的學(xué)習(xí)與研究打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

三、案例教學(xué)之“等價(jià)關(guān)系”

（一）案例設(shè)計(jì)

作為教學(xué)案例，異于例題，其應(yīng)具有趣味性、前沿性、綜合性、多樣性與可操作性等特點(diǎn)[3]，同時(shí)又能生動(dòng)地體現(xiàn)圖1所示內(nèi)涵，反映了離散數(shù)學(xué)的樞紐地位。因此案例的設(shè)計(jì)對(duì)授課教師提出了較高的要求，促使教師在日常生活中細(xì)致觀察與思考問(wèn)題，并充分挖掘科研領(lǐng)域的資源，設(shè)計(jì)出理想的案例，以期達(dá)到科研反哺教學(xué)的目的。

在設(shè)計(jì)案例內(nèi)容時(shí)，需深入思考、理解案例的本質(zhì)，明確其在離散數(shù)學(xué)樞紐地位中扮演的角色，從而能夠有效地將案例與知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合，深刻理解知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵與外延作用，在課堂講授時(shí)能夠清晰地呈現(xiàn)給學(xué)生。以下以“等價(jià)關(guān)系”這一離散數(shù)學(xué)中重要章節(jié)為例，講述案例驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法。

（二）等價(jià)關(guān)系的定義——幾何變換

教材在介紹“等價(jià)關(guān)系”時(shí)，往往直接給出其數(shù)學(xué)定義——滿足“自反、對(duì)稱與傳遞”性質(zhì)的關(guān)系。學(xué)生面對(duì)這一概念時(shí)，往往難以揣摩“等價(jià)”的含義，不明白為什么把具有這三種性質(zhì)的關(guān)系定義成等價(jià)關(guān)系，而不得不通過(guò)死記硬背的方式把該知識(shí)點(diǎn)強(qiáng)記于心。對(duì)此，筆者設(shè)計(jì)了計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中幾何變換的案例，借助自然語(yǔ)言解釋該數(shù)學(xué)概念，將抽象的數(shù)學(xué)概念運(yùn)用生活語(yǔ)言進(jìn)行描述，并通過(guò)合理的課堂設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生自己思考、定義等價(jià)關(guān)系，使其更好地理解知識(shí)點(diǎn)，領(lǐng)悟教材未能言明的內(nèi)涵。

在講授“等價(jià)關(guān)系”概念前，首先以圖2所示的三組圖形作為引子，對(duì)其進(jìn)行逐一解釋。其中（a）圖表明在等歐式距離變換下兩模型可看作同一個(gè);（b）圖表明在等測(cè)地線距離變換下兩模型也可認(rèn)為是相同的;（c）圖表明在拓?fù)浠蜻B續(xù)變換下兩模型也是等同的。三組圖共同描述了幾何對(duì)象在固定的變換下保持某種性質(zhì)不變的現(xiàn)象。然而進(jìn)行課堂討論，對(duì)學(xué)生進(jìn)行提問(wèn)“若將幾何變換是否是關(guān)系，若是則其滿足哪些性質(zhì)？”。經(jīng)過(guò)討論，學(xué)生不僅對(duì)等價(jià)關(guān)系有了直觀的認(rèn)識(shí)，而且據(jù)此可以自己給出等價(jià)關(guān)系的數(shù)學(xué)定義。進(jìn)而學(xué)生通過(guò)該案例明白了一些觀點(diǎn)：分類是人們認(rèn)識(shí)事物規(guī)律的一種常用方法;而同一類事物采用“等價(jià)”這一概念進(jìn)行描述;兩個(gè)對(duì)象“等價(jià)”是相對(duì)的，即在某種關(guān)系下等價(jià)，而在另一種關(guān)系下可能不等價(jià)，等等。

通過(guò)該實(shí)例的講解，學(xué)生不僅對(duì)等價(jià)關(guān)系有了直觀的認(rèn)識(shí)，而且據(jù)此可以自己給出等價(jià)關(guān)系的數(shù)學(xué)定義，并且后續(xù)即將學(xué)習(xí)的“等價(jià)類”與“商集”等概念也自然理解了。這種案例教學(xué)不僅調(diào)節(jié)了課堂氣氛，而且激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使其更易掌握知識(shí)點(diǎn)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)背后的思想與方法。

（三）等價(jià)關(guān)系的應(yīng)用——圖像分割

數(shù)學(xué)語(yǔ)言亦可刻畫(huà)自然語(yǔ)言，能夠準(zhǔn)確地定義問(wèn)題，理解問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)而方便問(wèn)題的建模與求解。在教學(xué)中力求將離散數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與應(yīng)用案例的緊密結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用書(shū)本所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)描述與解決實(shí)際問(wèn)題。

筆者在講授等價(jià)關(guān)系知識(shí)點(diǎn)以后，布置一個(gè)作業(yè)，即要求學(xué)生運(yùn)用等價(jià)關(guān)系與集合劃分的數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)數(shù)字圖像處理的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題——“圖像分割”下一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。圖像分割運(yùn)用自然語(yǔ)言描述即把圖像分成若干個(gè)特定的、具有獨(dú)特性質(zhì)的區(qū)域并提出感興趣目標(biāo)的技術(shù)和過(guò)程[9]，如圖3所示，將（a）圖中的表示不同對(duì)象的區(qū)域分離出來(lái)。

學(xué)生根據(jù)筆者給出的圖像及分割的描述，從具體案例中思考圖像與分割和集合與劃分之間的聯(lián)系，并嘗試用集合劃分的語(yǔ)言為其下定義。學(xué)生通過(guò)類比的方式，明白了圖像分割是一種特殊的集合劃分，既有集合劃分的共性，也有其特殊性——同一等價(jià)類是一個(gè)連通域。

通過(guò)該練習(xí)，學(xué)生不僅加深了對(duì)集合劃分概念的理解并了解了圖像分割這一重要的圖像處理問(wèn)題，而且通過(guò)多次訓(xùn)練逐步學(xué)會(huì)如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題，并掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述問(wèn)題的方法。

（四）等價(jià)關(guān)系的實(shí)現(xiàn)——等價(jià)關(guān)系的判定

離散數(shù)學(xué)既具有理論性又具有實(shí)踐性。為鞏固離散數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)提升學(xué)生用程序解決實(shí)際問(wèn)題的能力，筆者嘗試開(kāi)設(shè)少量的實(shí)驗(yàn)課，嘗試將數(shù)學(xué)描述的概念與方法，運(yùn)用程序語(yǔ)言加以實(shí)現(xiàn)。

筆者選取了一些難度相對(duì)較小又具有代表性的案例，如等價(jià)關(guān)系的判定，即給定用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的關(guān)系R，據(jù)此判斷R是否是等價(jià)關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生如何從關(guān)系的三種數(shù)學(xué)描述（集合法、關(guān)系矩陣、關(guān)系圖）出發(fā)建立相應(yīng)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，根據(jù)等價(jià)關(guān)系的三個(gè)性質(zhì)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的算法，并最終通過(guò)編寫(xiě)程序?qū)崿F(xiàn)。從而逐步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待實(shí)際問(wèn)題，用程序的思維看待數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)語(yǔ)言與程序語(yǔ)言內(nèi)在的聯(lián)系。

四、教學(xué)效果

筆者根據(jù)上述教學(xué)思路，設(shè)計(jì)了約50余個(gè)案例與大綱的一些重要或難度較大的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，并在“離散數(shù)學(xué)”課堂實(shí)施教學(xué)活動(dòng)已有兩年，取得了良好的教學(xué)效果。通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查了解到，超過(guò)93%的學(xué)生對(duì)課題教學(xué)滿意或非常滿意，近86%的學(xué)生認(rèn)為案例對(duì)理解知識(shí)點(diǎn)幫助很大，超過(guò)88%的學(xué)生希望在今后的教學(xué)中也能增加案例。關(guān)于案例的內(nèi)容與呈現(xiàn)方式，63%的學(xué)生對(duì)專業(yè)應(yīng)用案例，如人工智能、圖形圖像處理等較為感興趣，近84%的學(xué)生喜歡圖片與視頻形式的案例。上述數(shù)據(jù)表明，學(xué)生對(duì)課堂教學(xué)效果認(rèn)可度較高。此外，從平時(shí)課堂測(cè)試以及期末成績(jī)來(lái)看，大部分學(xué)生均能較好地掌握知識(shí)點(diǎn)，能夠舉一反三，并運(yùn)用離散數(shù)學(xué)的理論知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題。

五、結(jié)語(yǔ)

本文討論了離散數(shù)學(xué)在銜接自然語(yǔ)言與程序語(yǔ)言起著重要的樞紐作用，以講授“等價(jià)關(guān)系”知識(shí)點(diǎn)為例，探討了“離散數(shù)學(xué)”課程的案例式教學(xué)方法。課堂實(shí)踐表明，該教學(xué)方法不僅能夠?qū)⒔虒W(xué)內(nèi)容化難為易，更好地傳授知識(shí)點(diǎn)，而且能將理論與應(yīng)用實(shí)踐緊密結(jié)合，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維能力，起到了良好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

[1]耿素云，屈婉玲，張立昴.離散數(shù)學(xué)（第五版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2013.

[2]吳偉.淺析離散數(shù)學(xué)課程中的案例教學(xué)法[J].科教論壇，2018（12）：42.

[3]閔勇.基于創(chuàng)新實(shí)踐案例的離散數(shù)學(xué)教學(xué)方法[J].計(jì)算機(jī)教育，2016（16）：39-42.

[4]徐周波，古天龍，常亮.突顯能力培養(yǎng)的離散數(shù)學(xué)逆向案例教學(xué)改革探索[J].計(jì)算機(jī)教育，2017（12）：69-72.

[5]徐周波，古天龍.“離散數(shù)學(xué)”中的OBDD案例教學(xué)研究[J].計(jì)算機(jī)教育，2010（2）：122-124.

[6]陳光喜，古天龍，常亮，等.一個(gè)“離散數(shù)學(xué)”課程教學(xué)案例的應(yīng)用分析[J].工業(yè)和信息化教育，2018（4）：12-14.

[7]楊洪，張宏禮，朱桂英.離散數(shù)學(xué)課程案例式教學(xué)方法初探[J].計(jì)算機(jī)教育，2015（15）：27-30.

[8]賁可榮，謝茜.通過(guò)應(yīng)用案例提高離散數(shù)學(xué)教學(xué)效果探究[J].軟件導(dǎo)刊，2016，15（12）：35-37.

[9]Milan Sonka，Vadav Hhvac，Roger Boyle，et al.Image Processing，Analysis，and Machine Vision[M].北京：人民郵電出版社，2003.

[10]Lin D，Dai J，Jia J，et al.Scribblesup：Scribble-Supervised Convolutional Networks for Semantic Segmentation[C].Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition，2016：3159-3167.