廣東省佛山市順德區(qū)均安中學(528329) 陳 鎖

1 試題呈現(xiàn)

例1 (2019 全國Ⅲ卷理科數(shù)學第18 題) 已知ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsinA.

(1)求B;

(2)若ΔABC為銳角三角形,且c=1,求ΔABC面積的取值范圍.

2 解法探究

本題第(1)問簡單,通過正弦定理的邊角互化即可解決.第(2)問思路也很清晰,正弦定理和余弦定理均可,但是問題是用哪個較為合適呢?從表面看,我們用余弦定理直觀明了,得到方程a2－a+1－b2=0.從解析幾何的角度來說,這是一個焦點在軸上,對稱中心為圖像范圍在第一象限的部分雙曲線.從函數(shù)的角度來說,這是一個關于a,b的函數(shù)三角形面積所以需要通過三邊關系來確定的取值范圍,從而求出面積的最值.由于正弦定理與余弦定理的等價性,我們也可以用正弦定理來解決此問題.由于由正弦定理得三角形面積再通過角的關系找出C的取值范圍,從而求出面積的最值.

解法一(1)(過程略)

(2)由余弦定理b2=a2+c2－2accosB可得

由于ΔABC為銳角三角形,所以即

同理:

拓展延伸當三角形給定一個角度與其一鄰邊,如果我們從余弦定理入手的話,其實是研究一個二元二次方程的另外兩邊的變量關系.由于另外兩邊是一個函數(shù)關系式,當求其面積或者邊長的取值范圍的時候,可以利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并求其范圍.該題也可以變式為求三角形的邊長關系.例如該三角形周長當a＞0 時,所以周長l在為增函數(shù),所以周長l取值范圍為也可以解決更一般的問題,比如的取值范圍等.

解法二(1)(過程略)

(2)由正弦定理

可得

所以有

由于ΔABC為銳角三角形且則

拓展延伸當三角形給定一個角度與其一鄰邊,如果我們從正弦定理入手的話,其實是研究一個分式型三角函數(shù).當求面積或邊長的取值范圍的時候,我們可以從分式型三角函數(shù)的特點出發(fā),利用導數(shù)求出取值范圍,也可以利用兩點的斜率公式求取值范圍.例如該三角形的周長

3 問題拓展

對于解三角形的最值問題,我們通過未知條件的變化,大體可以歸結(jié)為三類:①已知一個角和其一條鄰邊的問題,②已知一個角和其對邊的問題,③已知兩條邊的問題.從2007年的新高考以來,我們發(fā)現(xiàn)第一類問題在近兩年有出現(xiàn),分別是2018年江蘇卷和2019年全國Ⅲ卷.第二類問題歷年高考出現(xiàn)的頻率較多,很多學生只是停留在用基本不等式求其最值,從正弦定理與余弦定理方面來探討的較少.第三類問題全國卷暫時沒有出現(xiàn)過,但值得去探討.下面我們通過兩個例題來探討后面兩種情況的最值問題.

例2已知a,b,c分別為銳角ΔABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sinA－sinB)=(c－b)sinC,求ΔABC的周長l和面積SΔABC的取值范圍.

試題分析本題化簡后出現(xiàn)了2 sinA,bsinB,csinC,我們考慮可以用正弦定理把其轉(zhuǎn)化為a2,b2,c2,然后用余弦定理得到又由于a=2,我們利用余弦定理得到二元二次方程b2+c2－bc=4.從解析幾何的角度來看,這是一個焦點在直線c=b,對稱中心在(0,0),圖像范圍在第一象限的部分橢圓;從函數(shù)的角度來說,這是一個關于b,c的函數(shù)而面積與周長均為關于b的函數(shù).由于正弦定理與余弦定理的等價性,利用正弦定理得得到面積與周長均為關于C的函數(shù).

解法一由已知條件及正弦定理得(a+b)(a－b)=(c－b)c,即b2+c2－a2=bc.又因為所以又因為b2+c2－bc－4=0,所以周長得,當l′=0 時,b=2,當b ∈(0,2),l′＞0,l為增函數(shù);當l為減函數(shù)所以b=2 時,周長的最大值l=6.

又因為 ΔABC為銳角三角形,所以即所以

解法二同上由正弦定理得得到

拓展延伸本題從正弦定理和余弦定理出發(fā)得到的函數(shù)類型是不一樣的.如果該三角形有限定條件,則從余弦定理出發(fā)的等式需要從邊的角度找到其限定范圍,從正弦定理出發(fā)的等式需要從角的角度找到其范圍.這兩種方法均能解決一般的問題.比如2011年全國卷第16 題“ΔABC中,則AB+2BC的最大值為____”.如果從等式b2+c2=bc+4 的結(jié)構(gòu)來看,利用基本不等b2+c2≥2bc求面積和周長的最值無疑是非常簡潔的.因為4+bc=b2+c2≥2bc,所以bc≤4,等號成立時,b=c=2.SΔABC=所以當b=c=2時,面積的最大值

又因為(b+c)2－4=3bc≤所以b+c≤4,等號成立時,b=c=2.所以當b=c=2 時,周長的最大值l=6.但求銳角三角形的面積和周長的范圍時,該方法就有所欠缺了,更不要說求AB+2BC取值范圍了.

例3已知a,b,c分別為銳角ΔABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,b=1,求ΔABC的周長l和面積SΔABC的取值范圍.

試題分析利用余弦定理得到一個關于c的函數(shù)從而可以得到關于面積與周長的函數(shù)關系式.從正弦定理出發(fā),我們能得到A,B,C的關系式,從而得到關于面積與周長的關系式.

解析由余弦定理得

又因為ΔABC為銳角三角形,所以即即所

解法二由正弦定理得所以sinA=2 sinB,

又因為ΔABC為銳角三角形,所以 又所以所以又因為

所以有

又因為

顯然l是關于cosA的增函數(shù).所以關于單調(diào)遞增.所以

拓展延伸本題顯然從余弦定理出發(fā),從邊的角度去尋找角度的范圍要簡潔得多;由于三個角度沒有確定,如果從角A,B,C的關系去尋找角度范圍要復雜得多.當然我們也可以從邊角關系聯(lián)立尋找角度范圍也很簡潔.由已知得即3＜c2＜5,即又因為得所以

4 方法總結(jié)

對于解三角形問題的最值問題,一般是通過對正弦定理與余弦定理為橋梁,通過知二求二的問題形式呈現(xiàn),這類問題基本上都可以從函數(shù)的角度來考慮求解.如果題目限定了條件,比如三角形為銳角三角形,我們可以從邊和角的關系分別去確定角度的取值范圍,從而得到最值的范圍.