山東省費縣教育和體育局(273400) 吳士友

1 試題呈現(xiàn)

圖1

(2019年臨沂中考數(shù)學第25 題) 如圖1,在正方形ABCD中,E是DC邊上一點(與D,C不重合)連接AE,將△ADE沿AE所在的直線折疊得到△AFE,延長EF交BC于點G,連接AG,作GH ⊥AG,與AE的延長線交于點H,連接CH,顯然AE是∠DAF的平分線,EA是∠DEF的平分線.仔細觀察請逐一找出圖中其他的角平分線(僅限小于180°的角的平分線),并說明理由.

2 核心素養(yǎng)視角下的特色解讀

2.1 低起點寬入口體現(xiàn)面向全體

《義務教育課程標準(2011年版)》(以下簡稱《課標》)在“課程基本理念”中指出,數(shù)學課程應致力于實現(xiàn)義務教育階段的培養(yǎng)目標,要面向全體學生,適應學生個性發(fā)展的需要,使得:人人都能獲得良好的數(shù)學教育,不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展[1].試題中讓考生尋找的角平分線共有四條:①AG是∠BAF的平分線;②GA是∠BGF的平分線;③CH是∠DCN的平分線;④GH是∠EGM的平分線.通過對題干內(nèi)容的閱讀理解和思考,大多數(shù)考生能較容易的找出角平分線AG和GA,并能很快寫出AG、GA是角平分線的邏輯推理過程,找出并證明GH、CH是角平分線的臺階逐漸升高,難度逐步增大.從整體看,找出四條角平分線并一一證明,問題設置起點低,入口寬,有梯度,區(qū)分度好,它既能考查出學習水平一般的學生所具備的基本能力,又能考查出優(yōu)秀學生的思維品質(zhì)與綜合素養(yǎng),充分體現(xiàn)了題目面向全體的課程理念.120155 名考生的答題得分情況也吻合了這一設計理念,本題共11 分,其中有86938 名考生得分,約占72%,有58684 名考生得4 分以上(含4 分),約占49%,有3169 名考生得9 分以上(含9 分),約占2.6%.

2.2 立足能力考查培養(yǎng)創(chuàng)新意識

《課標》)在“課程內(nèi)容”中指出,創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學教育的基本任務,應體現(xiàn)在數(shù)學教與學的過程之中.學生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎;獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心;歸納概括得到猜想和規(guī)律,并加以驗證,是創(chuàng)新的重要方法.創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應該從義務教育階段做起,貫穿數(shù)學教育的始終[2].試題設問中未說有幾條角平分線,考生需要經(jīng)歷觀察、測量、探究、猜想等系列思維活動逐一找出角平分線,然后通過推理論證驗證猜想,在逐一尋找和證明的過程中,充分考查了學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力,邏輯推理論證的能力,較好的培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識.

2.3 解題方法多樣凸顯素養(yǎng)導向

試題一方面考查了考生對角平分線的性質(zhì)與判斷、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等核心知識點的掌握與應用,另一方面考查考生的識圖、作圖能力;邏輯推理能力;運用數(shù)學活動經(jīng)驗綜合解決問題的能力.證明GH是∠EGM的平分線是本題的難點,但題目設計思路開闊,解題方法多樣,為不同思維層次的學生搭建了不同的平臺,考生解答呈現(xiàn)百花齊放的局面,充分凸顯了素養(yǎng)導向.下面重點展示證明GH是∠EGM平分線的部分證法,以供讀者參考.

圖2

圖3

做法一:如圖2在AB上取點N,使BN=BG,連接NG.

證法1:易證△AGN～=△GHC,∠ANG=135°.

所以∠GCH=∠ANG=135°.∠HCM=45°=∠HCD.所以CH平分∠DCM.

做法二:如圖3,過點H作GE延長線的垂線,垂足為點Q,作HN垂直CD于點N,HK垂直CM于點K.

證法2:易證∠QEH=∠NEH.HQ=HN.由CH是∠DCN的平分線(已證).知HN=HK,則HK=HN.CH平分∠DCM.

圖4

圖5

做法三:如圖4,過點H作HN ⊥CM,垂足為點N.

證法3:易證∠ABG～=△GNH(AAS).所以BG=NH,AB=GN,∠B=∠HNG=90°.則BC=GN.BG=CN.BC=GN.NH=CN.△HCN是等腰直角三角形.∠HCN=45°.∠HCN=∠DCM=45°.CH平分∠DCM.

證法4:如圖5,截取GK=BC,連接HK.易證△ABG～=△GKH.所以BG=HK,∠GKH=∠ABG=90°.由做法知CK=BG,所以CK=HK.△CHK是等腰直角三角形.∠HCK=∠KHC=45°.CH平分∠DCM.

圖6

圖7

做法五:如圖6,連接AC.

證法5:易證∠AHG=45°.所以∠AHG=∠ACG=45°.A、G、C、H四點共圓.∠ACH=∠AGH=90°.∠HCM=180°－∠ACB－∠ACH=45°.CH平 分∠DCM.

證法6:如圖6易證△AGH是等腰直角三角形.所以∠HAG=45°,因為△ABC是等腰直角三角形.∠BAC=45°,∠HAG－∠CAG=∠BAC－∠CAG.∠HAC=∠GAB.△ABG～△ACH.∠ACH=90°.∠ACB+∠HCM=90°.∠HAM=45°.CH平分∠DCM.

證法7:如圖6,易證△AGH是等腰直角三角形.所以∠AHG=45°.因為△ADC是等腰直角三角形,∠ACD=45°.∠AHG=∠ACD.易證△EAC～△EGH.所以因為∠AEG=∠CEH.所以△EAG～△ECH.∠ECH=∠EAG=45°.CH平分∠DCM.

做法六:如圖7,連接AC交GH于點K.

證法8:易證∠AHG=45°.因為∠ACB=45°.所以∠AHG=∠ACB.因為∠AKH=∠GKC.所以△AHK～△GCK.

又因為∠AKG=∠HKC.所以△AKG～△HKC.∠ACH=∠AGH=90°.∠HCM=180°－∠ACB－∠ACH=45°.所以CH平分∠DCM.

做法七:如圖8,截取GM=GE,連接HM,作HK垂直CD于點K,HN垂直BM于點N,

圖8

證法9:易證△GEH～=△GMH.所以∠GHM=∠GHE=45°,HE=HM因為∠EHK+∠KHM=∠NHM+∠KHM=90°所 以∠EHK=∠NHMRt△EHK～=Rt△MHN,HK=HN,CH平分∠DCM.

3 教學導向分析

3.1 真正回歸教材減輕學生負擔

教材是《課程標準》的載體,是課程目標和課程內(nèi)容的具體化,也是考試最公平化的素材,以教材中的問題為背景進行改編,創(chuàng)造性的開發(fā)利用教材資源,已成各地中考命題的主要方向.本題目是根據(jù)人教版八年級下冊69頁14 題改編,試題立足于教材而不拘泥于教材,命題意圖清晰,既突出基礎性,又體現(xiàn)選拔性,啟示我們教師:“題海戰(zhàn)術”練不出高分,以練代教,以練代學、以練代思的教學方式不可取,提高成績的根本出路是要認真研究教材,創(chuàng)造性的使用教材,回歸教學本源,減輕學生負擔.

3.2 注重模型積累發(fā)展核心素養(yǎng)

“數(shù)學建模”是2017年新版高中課標所要求的數(shù)學學科素養(yǎng)之一,是學生應具備的關鍵能力.立足基本模型是解決圖形問題的一個基本方法,在圖形課學習過程中,要讓學生充分認識和理解基本模型的本質(zhì),并不斷積累模型.在解決具體問題時,善于調(diào)用和挖掘一些基本模型,有時需要添加輔助線構造出相關的基本模型,再利用其性質(zhì)獲取相應的結(jié)論,達到解決問題的目的.如本題中的證法一、證法三、證法四和證法九是添加輔助線構造全等形;證法六、證法七和證法八是添加輔助線構造相似形;證法五是添加輔助線構造四點共圓;證法二是添加輔助線構造角平分線模型.本題證法思路的探索都立足于常見的基本模型(全等形、相似形、輔助圓、角平分線).學生在觀察、分析、構造和利用模型的過程中,提升了學科核心素養(yǎng).

3.3 重視基礎教學關注過程發(fā)展

重視新課教學,回歸基礎.新課緊緊圍繞四個“點”下功夫:在情境中設置興趣點,幫助基礎較薄弱的學生建立數(shù)學學習的自信心,培養(yǎng)數(shù)學學習興趣;在活動中抓住關鍵點,進入數(shù)學思考境地;提出質(zhì)疑點,引領學生發(fā)現(xiàn)問題,提出問題;形成生成點,讓學生經(jīng)歷數(shù)學基礎知識形成過程,并掌握運用法則、公理、定理進行熟練運算、推理的基本技能,真正把基礎知識和基本技能落實到位,而不能讓基礎知識和技能的學習走過場,死記硬背,導致缺乏對數(shù)學概念的真正理解.

重視思想方法引導,提高思維水平.數(shù)學思想方法的掌握是十分重要的,但思想方法的運用不是一蹴而就的,它不像知識點那樣可以去直接傳授,而應該是針對不同的數(shù)學學習內(nèi)容、不同的情境給予不同方法的引導,從而提高學生的思維水平.如就合情推理、演繹推理的熟練應用;文字語言、符號語言、圖形語言的熟練轉(zhuǎn)化;類比與歸納、抽象與概括等思想方法的運用;都需要在邏輯推理教學中適時、適當、適度的引導和培養(yǎng).